專題確定帶電粒子在磁場中運動軌跡的方法

1、確定帶電粒子在磁場中運動軌跡的方法簡約課堂第1頁確定確定帶電粒子在磁場中運動軌跡的方法帶電粒子在磁場中運動軌跡的方法帶電粒子在勻強磁場中作圓周運動的問題是近幾年高考的熱點，這些考題不但涉及到洛倫茲力作用下的動力學(xué)問題，而且往往與平面圖形的幾何關(guān)系相聯(lián)系，成為考查學(xué)生綜合分析問題、運用數(shù)字知識解決物理問題的難度較大的考題。但無論這類問題情景多么新穎、設(shè)問多么巧妙，其關(guān)鍵一點在于規(guī)范、準(zhǔn)確地畫出帶電粒子的運動軌跡。只要確定了帶電粒子的運動軌

2、跡，問題便迎刃而解。下面舉幾種確定帶電粒子運動軌跡的方法。一、對稱法一、對稱法帶電粒子如果從勻強磁場的直線邊界射入又從該邊界射出，則其軌跡關(guān)于入射點和出射點線段的中垂線對稱，且入射速度方向與出射速度方向與邊界的夾角相等（如圖1）；帶電粒子如果沿半徑方向射入具有圓形邊界的勻強磁場，則其射出磁場時速度延長線必過圓心（如圖2）。利用這兩個結(jié)論可以輕松畫出帶電粒子的運動軌跡，找出相應(yīng)的幾何關(guān)系。例1如圖3所示，直線MN上方有磁感應(yīng)強度為B的勻強

3、磁場。正、負(fù)電子同時從同一點O以與MN成30角的同樣速度v射入磁場（電子質(zhì)量為m，電荷為e），它們從磁場中射出時相距多遠(yuǎn)？射出的時間差是多少？解析：解析：正、負(fù)電子的半徑和周期是相同的。只是偏轉(zhuǎn)方向相反。先確定圓心，畫出半徑和軌跡（如圖4），由對稱性知：射入、射出點和圓心恰好組成正三角形。所以兩個射出點相距，由圖還看出經(jīng)歷時間s=2r=2相差，所以解此題的關(guān)鍵是找圓心、找半徑和用對稱。?=23=4π3例2如圖5所示，在半徑為r的圓形區(qū)域

4、內(nèi)，有一個勻強磁場。一帶電粒子以速度v0從M點沿半徑方向射入磁場區(qū)，并由N點射出，O點為圓心。當(dāng)∠MON＝120時，求：帶電粒子在磁場區(qū)的偏轉(zhuǎn)半徑R及在磁場區(qū)中的運動時間。解析：解析：分別過M、N點作半徑OM、ON的垂線，此兩垂線的交點O即為帶電粒子作圓周運動時圓弧軌道的圓心，如圖6所示。由圖中的幾何關(guān)系可知，圓弧MN所對的軌道圓心角為60，O、O的邊線為該圓心角的角平分線，由此可得帶電粒子圓軌道半徑為R=rtan30=3r又帶電粒子的

5、軌道半徑可表示為：故帶電粒子運動周期：R=0T=2πmqB=23π0確定帶電粒子在磁場中運動軌跡的方法簡約課堂第3頁從O點以半徑R（）作“動態(tài)圓”，如圖11所示，由圖不難看出，在磁場中運動時間最長的粒子，a2＜R＜a其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場的邊界相切。設(shè)該粒子在磁場中的運動時間為t，依題意，所以t=4。∠OCA＝π2設(shè)最后離開磁場的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為α，由幾何關(guān)系得：，，再加上，Rsinα=R?α2Rα=a?R

6、cosαsin2αcos2α=1解得：，。R=(2?62)=(2?62)sinα=6?610三、縮放圓法三、縮放圓法帶電粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入勻強磁場中，作圓周運動的半徑隨著速度的變化而變化，因此其軌跡為半徑縮放的動態(tài)圓（如圖12），利用縮放的動態(tài)圓，可以探索出臨界點的軌跡，使問題得到解決。例5如圖13所示，勻強磁場中磁感應(yīng)強度為B，寬度為d，一電子從左邊界垂直勻強磁場射入，入射方向與邊界的夾角為θ，已知電子的質(zhì)量為m，

7、電量為e，要使電子能從軌道的另一側(cè)射出，求電子速度大小的范圍。解析：解析：如圖14所示，當(dāng)入射速度很小時電子會在磁場中轉(zhuǎn)動一段圓弧后又從同一側(cè)射出，速率越大，軌道半徑越大，當(dāng)軌道與邊界相切時，電子恰好不能從另一側(cè)射出，當(dāng)速率大于這個臨界值時便從右邊界射出，設(shè)此時的速率為v0，帶電粒子在磁場中作圓周運動，由幾何關(guān)系得：rrcosθ=d①電子在磁場中運動時洛倫茲力提供向心力：，所以：②0B=m20=mv0B聯(lián)立①②解得：，所以電子從另一側(cè)射

8、出的條件是速度大于。v0=(1θ)(1θ)例6（2010全國II卷）如圖15所示，左邊有一對平行金屬板，兩板的距離為d，電壓為U，兩板間有勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B0，方面平行于板面并垂直紙面朝里。圖中右邊有一邊長為a的正三角形區(qū)域EFG（EF邊與金屬板垂直），在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直紙面向里。假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板間的區(qū)域，

9、并經(jīng)EF邊中點H射入磁場區(qū)域。不計重力。（1）已知這些離子中的離子甲到達邊界EG后，從邊界EF穿出磁場，求離子甲的質(zhì)量；（2）已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點（圖中未畫出）穿出磁場，且GI長為3a4，求離子乙的質(zhì)量；（3）若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問磁場邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達？解析：解析：由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運動，則有：qvB0=qUd，解得離子的速度