從幾何問(wèn)題的邏輯結(jié)構(gòu)入手

1、本文發(fā)表于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬)2013年第12期幾何題的分析可以從邏輯關(guān)系入手幾何題的分析可以從邏輯關(guān)系入手——從一道中考錯(cuò)題談起從一道中考錯(cuò)題談起浙江舟山南海實(shí)驗(yàn)初中浙江舟山南海實(shí)驗(yàn)初中張宏政（張宏政（316021316021）在翻閱在翻閱20122012年各地中考試題的過(guò)程中年各地中考試題的過(guò)程中看到湖北恩施州初中學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試卷第看到湖北恩施州初中學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試卷第2323題的第題的第(3)(3)問(wèn)存在明顯的問(wèn)題問(wèn)存在明顯的問(wèn)

2、題文[1][1]業(yè)已通過(guò)不同的解法說(shuō)明了它的錯(cuò)誤原因業(yè)已通過(guò)不同的解法說(shuō)明了它的錯(cuò)誤原因.但引發(fā)筆者但引發(fā)筆者思考的是思考的是緣何這樣的重大錯(cuò)誤命題者竟然沒(méi)有發(fā)現(xiàn)緣何這樣的重大錯(cuò)誤命題者竟然沒(méi)有發(fā)現(xiàn)因此因此深入剖析產(chǎn)生問(wèn)題的根源深入剖析產(chǎn)生問(wèn)題的根源可能可能會(huì)給我們的幾何命題與解題帶來(lái)一些有益的啟示會(huì)給我們的幾何命題與解題帶來(lái)一些有益的啟示.例1(2012(2012恩施中考恩施中考)如圖如圖11ABAB是⊙O⊙O的弦的弦D為OAOA半徑

3、的半徑的中點(diǎn)中點(diǎn)過(guò)D作CD⊥OACD⊥OA交弦交弦ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)E交⊙O⊙O于點(diǎn)于點(diǎn)F且CE=CBCE=CB（1）求證）求證:BCBC是⊙O⊙O的切線的切線（2）連接）連接AFAFBFBF求∠ABF∠ABF的度數(shù)的度數(shù)（3）如果）如果CD=15CD=15BE=10BE=10sinA=sinA=求⊙O⊙O的半徑的半徑讓我們從試題的內(nèi)在邏輯關(guān)系進(jìn)行錯(cuò)因分析讓我們從試題的內(nèi)在邏輯關(guān)系進(jìn)行錯(cuò)因分析.若圓的大小給定若圓的大小給定則當(dāng)則當(dāng)時(shí)弦13

4、5sin?AABAB的位置也隨之確定的位置也隨之確定從而從而DEDE的位置也惟一確定的位置也惟一確定于是為保證于是為保證BC=CEBC=CE則C點(diǎn)就惟一確定點(diǎn)就惟一確定(即為即為BEBE的中垂線與直線的中垂線與直線DEDE的交點(diǎn)的交點(diǎn)))從而說(shuō)明從而說(shuō)明CDCD的長(zhǎng)是隨的長(zhǎng)是隨BEBE的變化而變化的變化而變化.事實(shí)上事實(shí)上設(shè)OA=OA=過(guò)O作OH⊥ABOH⊥AB于HH過(guò)C作CG⊥ABCG⊥AB于GG則易知?jiǎng)t易知AH=AH=AE=AE=r

5、r1312r2413rDE245?故EG=EG=從而從而CE=CE==rAEAHAEABEB62440721)(2121?????EG513r240407于是于是CD=CEDE=CD=CEDE=即CD=CD=.r240457BE40705941這就說(shuō)明這就說(shuō)明(3)(3)問(wèn)中問(wèn)中CD=15CD=15與BE=10BE=10這兩個(gè)條件中有一個(gè)是多余的這兩個(gè)條件中有一個(gè)是多余的.看來(lái)這里命題者好心看來(lái)這里命題者好心辦了壞事辦了壞事本想降低試題

6、難度本想降低試題難度但因給出的兩個(gè)條件不相容但因給出的兩個(gè)條件不相容以致出現(xiàn)了重大錯(cuò)誤以致出現(xiàn)了重大錯(cuò)誤.下面讓我們?cè)賮?lái)看一個(gè)引發(fā)老師困惑的問(wèn)題下面讓我們?cè)賮?lái)看一個(gè)引發(fā)老師困惑的問(wèn)題.例2如圖如圖2，在平面直角坐標(biāo)系，在平面直角坐標(biāo)系中已知拋物線已知拋物線與軸相交軸相交xoy431312????xxyy于BB與軸相交于軸相交于ACAC兩點(diǎn)兩點(diǎn).x(1)(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)三點(diǎn)的坐標(biāo)(2)(2)已知有一動(dòng)點(diǎn)已知有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)從點(diǎn)A

7、沿線段沿線段ACAC以每秒以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)的速度移動(dòng)同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)Q以同一速度從點(diǎn)以同一速度從點(diǎn)B沿BCBC移動(dòng)移動(dòng)當(dāng)其當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.t①探究探究:是否存在是否存在值使得使得△PQC△PQC為等腰為等腰△.△.若存在若存在求出所有可能的求出所有可能的值若不存在若不存在請(qǐng)tt(圖1)1)GHAOCBxyPDQ(圖2

8、)2)本文發(fā)表于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬)2013年第12期例4如圖如圖55兩個(gè)同心圓的半徑分別為兩個(gè)同心圓的半徑分別為與矩形矩形ABCDABCD的6234邊ABCDABCD分別為兩圓的弦分別為兩圓的弦.當(dāng)矩形當(dāng)矩形ABCDABCD的面積最大值時(shí)的面積最大值時(shí)求矩形求矩形ABCDABCD的周長(zhǎng)周長(zhǎng).分析一、由于兩個(gè)同心圓的半徑確定分析一、由于兩個(gè)同心圓的半徑確定因此因此當(dāng)ABAB變化時(shí)變化時(shí)ADAD也隨之變化也隨之變化即ADAD的值可以用

9、的值可以用ABAB的長(zhǎng)來(lái)表示的長(zhǎng)來(lái)表示從而想到用列函數(shù)解析式的方法求解從而想到用列函數(shù)解析式的方法求解.如圖如圖55設(shè)AB=2xAB=2x過(guò)O分別作分別作OE⊥ABOE⊥AB于EOF⊥CDEOF⊥CD于FF連結(jié)連結(jié)OAODOAOD則易知?jiǎng)t易知AD=AD=于是于是，其中，其中.224824xx??)4824(222xxxSABCD????矩形620?x＜但如何求這個(gè)函數(shù)的最大值對(duì)初中生來(lái)說(shuō)卻是難事但如何求這個(gè)函數(shù)的最大值對(duì)初中生來(lái)說(shuō)卻是難

10、事必須另辟蹊徑必須另辟蹊徑.于是于是能否把求面積的兩能否把求面積的兩個(gè)變量轉(zhuǎn)化成用一個(gè)常量、一個(gè)變量表示就自然而然了個(gè)變量轉(zhuǎn)化成用一個(gè)常量、一個(gè)變量表示就自然而然了.分析二、考慮到本題中的不變量是直徑分析二、考慮到本題中的不變量是直徑(或半徑或半徑))因此因此設(shè)想用直徑設(shè)想用直徑(或半徑或半徑)來(lái)表示面來(lái)表示面積應(yīng)該是解題的突破口積應(yīng)該是解題的突破口.于是于是下面的想法就容易生成了下面的想法就容易生成了.如圖如圖66設(shè)BCBC交小圓于交

11、小圓于EE連結(jié)連結(jié)AEAE、DEDE、ODOD過(guò)D作DF⊥AEDF⊥AE于F，易知易知.DFDFAESSADEABCD642?????矩形從而從而當(dāng)DFDF最大值時(shí)最大值時(shí)矩形矩形ABCDABCD的面積也最大的面積也最大.而DF≤OD=DF≤OD=34故當(dāng)故當(dāng)OD=DF=OD=DF=時(shí)矩形矩形ABCDABCD的最大面積為的最大面積為.34248此時(shí)此時(shí)ADAD=故AB=8AB=8從而矩形從而矩形ABCDABCD的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為.2616

12、212?例5(20115(2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試C組第組第2題)如圖如圖77已知已知P為銳角銳角△ABC△ABC內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)過(guò)P分別作分別作BCACABBCACAB的垂線的垂線垂足分別為垂足分別為D、E、F，BMBM為∠ABC∠ABC的平分線的平分線MPMP的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線交ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)N.N.若PD=PEPFPD=PEPF求證求證:CN:CN是∠ACB∠ACB的平分線的平分線分析分析:本題的關(guān)鍵顯然

13、是對(duì)本題的關(guān)鍵顯然是對(duì)P點(diǎn)位置的把握點(diǎn)位置的把握.若P點(diǎn)確定點(diǎn)確定那么它的具體位置那么它的具體位置在哪里在哪里若P點(diǎn)位置不確定點(diǎn)位置不確定則它的運(yùn)動(dòng)軌跡又是怎樣的則它的運(yùn)動(dòng)軌跡又是怎樣的先來(lái)考察特殊位置先來(lái)考察特殊位置易知易知M點(diǎn)就是符合點(diǎn)就是符合PD=PEPFPD=PEPF的一個(gè)點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)(此時(shí)此時(shí)PE=0)PE=0)從而從而∠ACB∠ACB的平分線與的平分線與ABAB的交點(diǎn)的交點(diǎn)也是符合條件的一點(diǎn)也是符合條件的一點(diǎn)(此時(shí)此時(shí)PF=0

14、)PF=0)從而從而N容易猜想容易猜想P點(diǎn)是否只能在線段點(diǎn)是否只能在線段上.若是若是則問(wèn)題得證則問(wèn)題得證.MN如圖如圖88過(guò)M分別作分別作ABBCABBC的垂線段的垂線段垂足為垂足為H、GG記MG=MH=MG=MH=過(guò)N’N’h分別作分別作ACBCACBC的垂線段的垂線段垂足為垂足為L(zhǎng)、KK記.hKNLN??若P點(diǎn)在線段點(diǎn)在線段上則有相似易得則有相似易得MN1MNPNMNPMhPE???MNPNhPF?1)1)若與BCBC不平行不平行(