化工工程師《基礎(chǔ)知識(shí)》高等數(shù)學(xué)第二章

1、2015年化工工程師年化工工程師《基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)》高等數(shù)學(xué)第三章高等數(shù)學(xué)第三章第三章第三章導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要（一）學(xué)習(xí)要求（一）學(xué)習(xí)要求1.理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念及其幾何意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)（變化率）描述一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.熟練掌握導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算法則和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式.3.熟練掌握復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的求法.4.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，熟練掌握初

2、等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法.5.了解可導(dǎo)、可微、連續(xù)之間的關(guān)系.重點(diǎn)重點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法，初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法.難點(diǎn)難點(diǎn)求復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.（二）（二）內(nèi)容提要內(nèi)容提要1.1.導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念⑴導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)處有增量，)(xfy?0xx0x)0(???xx仍在該鄰域內(nèi)時(shí)，相應(yīng)地，函數(shù)有增量，若極限xx??0)()(00xfxxfy?????0000()()limlim

3、xxfxxfxyxx???????????存在，則稱(chēng)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱(chēng)此極限值為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為，也)(xf0x)(xf0x)(0xf?可記為，即0000dddd)(xxxfxxxyxxyxy?????或.xxfxxfxyxfxx?????????????)()(limlim)(00000若極限不存在，則稱(chēng)在點(diǎn)處不可導(dǎo).)(xfy?0x若固定，令，則當(dāng)時(shí)，有，所以函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)0xxxx???00??x0xx?)(xf0x數(shù)也可表示為)

4、(0xf?.0000)()(lim)(xxxfxfxfx?????⑵左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)①函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù))(xf0x＝.)(0xf??xxfxxfxyxx?????????????)()(limlim0000②函數(shù)在點(diǎn)處的右導(dǎo)數(shù))(xf0x或，y???)4(y?)1(?nyny或，33ddxy44ddxy?11dd??nnxynnxydd二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù).6.微分微分⑴微分的定義如果函數(shù)在點(diǎn)處的改變量，可以表示成)(xfy

5、?x)()(xfxxfy?????，)(xoxAy?????其中是比高階的無(wú)窮小，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處可微，稱(chēng)為)(xo?)0(???xx)(xfy?xxA?的線性主部，又稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的微分，記為或，即y?xA?)(xfy?xyd)(dxf.xAy??d⑵微分的計(jì)算，其中為自變量.xxfxfd)()(d??xx??dx⑶一階微分形式不變性對(duì)于函數(shù)不論是自變量還是因變量總有成立.)(ufuuufufd)()(d??7.7.求導(dǎo)公式求導(dǎo)公式微分

6、公式微分公式表3.1給出了基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及微分公式.表3.13.1求導(dǎo)與微分公式求導(dǎo)與微分公式求導(dǎo)公式微分公式0??c)(為常數(shù)c0d?c)(為常數(shù)c1)(??????xx)(為實(shí)數(shù)?1d()dxxx?????)(為實(shí)數(shù)?aaaxxln)(??xaaaxxdln)(d?xxe)e(??xxxde)e(d?axxaln1)(log??xaxxadln1)(logd?xx1)(ln??xxxd1)(lnd?xxcos)(sin??x

7、xxdcos)(sind?xxsin)(cos???d(cos)sindxxx??xx2sec)(tan??xxxdsec)(tand2?xx2csc)(cot???xxxdcsc)(cotd2??xxxtansec)(sec??xxxxdtansec)(secd?xxxcotcsc)(csc???xxxxdcotcsc)(cscd??211)(arcsinxx???xxxd11)(arcsind2??基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式211)(ar