空間幾何體的表面積和體積 1

1、第2課時　空間幾何體的表面積和體積,第2課時　空間幾何體的表面積和體積,,,,,,,,,考點探究·挑戰(zhàn)高考,考向瞭望·把脈高考,,雙基研習·面對高考,雙基研習·面對高考,柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積,2πrh,Sh,πr2h,πrl,π(r1＋r2)l,Ch,Sh,4πR2,思考感悟?qū)τ诓灰?guī)則的幾何體應(yīng)如何求其體積？提示：對于求一些不規(guī)則幾何體的體積，常用割補的方法，轉(zhuǎn)化為已知體積公式的幾何

2、體進行解決．,答案：B,答案：D,4．(2010年高考上海卷)已知四棱錐P－ABCD的底面是邊長為6的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝8，則該四棱錐的體積是________．答案：96,5．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積是__________．,考點探究·挑戰(zhàn)高考,以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進行恰當?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．,(20

3、10年高考天津卷)一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為________．,【思路分析】　由三視圖知，該幾何體的上面是一正四棱錐，下面是一正四棱柱．,【方法指導】　對常見簡單幾何體及其組合體的三視圖，特別是正方體、長方體、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、球等幾何體的三視圖分別是什么圖形，數(shù)量關(guān)系有什么特點等都應(yīng)該熟練掌握．,(1)求球的表面積或體積，關(guān)鍵在于求半徑．(2)畫出輪廓圖，畫出相關(guān)的截面圓，把數(shù)量關(guān)系集中到直角三角形中．

4、(3)若球的半徑為R，截面圓半徑為r，球心到截面距離為d，則R2＝r2＋d2.,【思路分析】　球心為幾何體的中心，構(gòu)造直角三角形來解決．【解析】　由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長相等，均為a.,【答案】　B【方法指導】解決與球有關(guān)的組合體問題，可通過畫過球心的截面來分析．例如，底面半徑為r，高為h的圓錐內(nèi)部有一球O，且球與圓錐的底面和側(cè)面均相切．,過球心O作球的截面，如圖所示，則球心是等腰△ABC的內(nèi)接圓的圓心，AB

5、和AC均是圓錐的母線，BC是圓錐底面直徑，D是圓錐底面的圓心．用同樣的方法可得以下結(jié)論：(1)長方體的8個頂點在同一個球面上，則長方體的體對角線是球的直徑；球與正方體的六個面均相切，則球的直徑等于正方體的棱長；球與正方體的12條棱均相切，則球的直徑是正方體的面對角線．(2)球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑．,變式訓練1　若設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，其頂點都在一個球面上，則

6、該球的表面積為(　　) A．3πa2 B．6πa2C．12πa2 D．24πa2,弄清折疊與展開前后位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變化情況，畫出準確圖形，借助于空間幾何與平面幾何知識求解．,有一根長為3π cm，底面半徑為1 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最

7、短長度為多少？【思路分析】　把圓柱沿這條母線展開，將問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的最短距離．,【名師點評】　求立體圖形表面上兩點的最短距離問題，是立體幾何中的一個重要題型．這類題目的特點是：立體圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系分散在立體圖形的幾個平面上或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上．為了便于發(fā)現(xiàn)它們圖形間性質(zhì)與數(shù)量上的相互關(guān)系，必須將圖中的某些平面旋轉(zhuǎn)到同一平面上，或者將曲面展開為平面，使問題得到解決．其基本步驟是：展開(有時全部展開，有時部分展開)為平面圖形，找出

8、表示最短距離的線段，再計算此線段的長．,變式訓練2　把長、寬分別為4π cm、3π cm的矩形卷成圓柱，如何卷能使圓柱的體積最大？,方法技巧當給出的幾何體比較復雜，有關(guān)的計算公式無法運用，或者雖然幾何體并不復雜，但條件中的已知元素彼此離散時，我們可采用“割”、“補”的技巧，化復雜幾何體為簡單幾何體(柱、錐、臺)，或化離散為集中，給解題提供便利．(1)幾何體的“分割”幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個易求體積的

9、幾何體，進而求之．,(2)幾何體的“補形”與分割一樣，有時為了計算方便，可將幾何體補成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等．另外補臺成錐是常見的解決臺體側(cè)面積與體積的方法，由臺體的定義，我們在有些情況下，可以將臺體補成錐體研究體積．(3)有關(guān)柱、錐、臺、球的面積和體積的計算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素．,失誤防范1．將幾何體展開為平面圖形時，要注意在何處剪開，多面體要選擇一條棱剪開，旋轉(zhuǎn)

10、體要沿一條母線剪開(如例3)．,2．與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面進行解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖(如

11、例2)．,考向瞭望·把脈高考,從近幾年的高考試題來看，空間幾何體的表面積、體積等問題是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度為中、低檔．客觀題主要考查由三視圖得出幾何體的直觀圖，求其表面積、體積或由幾何體的表面積、體積得出某些量；主觀題考查較全面，考查線、面位置關(guān)系，及表面積、體積公式，無論是何種題型都考查學生的空間想象能力．,預(yù)測2012年高考仍將以空間幾何體的表面積、體積為主要考查點，重點考查學生的空間想象能

12、力、運算能力及邏輯推理能力．,【解析】　如圖所示，設(shè)正四棱錐S－ABCD的高SO＝h.,【答案】　C【名師點評】　本題考查錐體的體積公式，在求解中，利用導數(shù)求其最值，考生在求解中易忽略高h的范圍，這與學生平時考慮不嚴謹有關(guān)，試想該四棱錐體積有最小值嗎？,1．設(shè)計一個杯子，其三視圖如圖所示，現(xiàn)在向杯中勻速注水，杯中水面的高度h隨時間t變化的圖象是(　　),解析：選B.由三視圖可知杯子是圓柱形的，由于圓柱形的杯子上下大小相同，所以當向杯中

13、勻速注水時，其高度隨時間的變化是相同的，反映在圖象上，選項B符合題意．故選B.,2．一個多面體的三視圖分別為正方形、等腰三角形和矩形，如圖所示，則該多面體的體積為(　　),A．24 cm3 B．28 cm3C．32 cm3 D．48 cm3,3．已知某幾何體的三視圖如圖，其中正(主)視圖中半圓的半徑為1，則該幾何體的體積為(　　),本部分內(nèi)容講解結(jié)束,點此