第3章彈性力學基礎知識1

1、,李建宇天津科技大學,工程中的有限元方法,Finite Element Method in Engineering,內(nèi)容 3. 彈性力學基礎知識 (Ⅰ) 3.1 基本假定 3.2 基本概念 3.3 基本方程要求 理解： 彈性力學基本假定的含義 了解： 彈性力學基本概念的提煉和用途 掌握：

2、2D 彈性力學的基本方程課后作業(yè) 閱讀彈性力學基本概念、方程文獻,,,內(nèi)容回顧,彈性力學與材料力學的聯(lián)系 ——為何要有彈性力學？ 1、研究內(nèi)容2、研究對象3、研究方法,,研究內(nèi)容的聯(lián)系：材料力學： 彈性變形體在外力作用下的平衡、運動等問題，及相應變形和應力彈性力學： 彈性變形體在外力作用下的平衡、運動等問題，及相應變形和應力,

3、內(nèi)容回顧,,彈性力學與材料力學的聯(lián)系,基本沒有區(qū)別,研究對象的聯(lián)系：材料力學(研究變形體的第一門力學)： 僅為桿、梁、柱、軸等桿狀變形構件彈性力學： 任意形狀變形體,內(nèi)容回顧,,彈性力學與材料力學的聯(lián)系,彈性力學研究對象更普遍,研究方法的聯(lián)系：材料力學： 要作出一些關于構件變形狀態(tài)或應力分布的假設，例如拉壓、扭轉、彎曲平面假設，數(shù)學推演簡單, 但解是近似的彈性力學：

4、 不作假設，數(shù)學推演復雜，但解比較精確,內(nèi)容回顧,,彈性力學與材料力學的聯(lián)系,彈性力學研究方法更嚴密，但也更復雜,,彈性力學與材料力學的聯(lián)系——一個例子,考慮如下簡支梁，由材料力學，當梁跨度 l 與高度 h 之比大于5（即為細長梁）時，平面假設近似成立，并有,但，當跨高比小于5時，上述公式不成立，,什么原理？如何分析？,Ansys演示…,彈性力學——促進數(shù)學和自然科學基本理論的建立和發(fā)展；廣泛工程應用——造船、建筑、航空

5、和機械制造等。發(fā)展——形成了一些專門的分學科；現(xiàn)代科學技術和工程技術——仍然提出新的理論和工程問題。對于現(xiàn)代工程技術和科研工作者的培養(yǎng)——對于專業(yè)基礎，思維方法以及獨立工作能力都有不可替代的作用。,彈性力學的意義,研究對象——三維彈性體微分單元體入手超靜定問題靜力平衡、幾何變形和本構關系等三方面的條件,彈性力學的研究方法,數(shù)學方法實驗方法二者結合的方法彈性力學的基本方程——偏微分方程的邊值問題，求解的方法有解析法和近似

6、解法。解析法在數(shù)學上難度極大，因此僅適用于個別特殊邊界條件問題。近似解法對于彈性力學有重要意義。,彈性力學的研究方法,數(shù)值解法——計算機處理的近似解法。現(xiàn)代科學技術，特別是計算機技術的迅速發(fā)展和廣泛應用為基礎。有限元方法為代表的計算力學。以有限元為基礎的CAD, CAE等技術，使計算機不僅成為數(shù)值分析工具，而且成為設計分析工具。有限元方法以彈性力學為基礎，有限元方法將計算數(shù)學與工程分析相結合，極大地擴展和延伸了彈性力學理論

7、與方法，取得了當代力學理論應用的高度成就。,彈性力學基本假設,工程問題的復雜性是諸多方面因素組成的。如果不分主次考慮所有因素，則問題的復雜，數(shù)學推導的困難，將使得問題無法求解。根據(jù)問題性質，忽略部分暫時不必考慮的因素，提出一些基本假設。使問題的研究限定在一個可行的范圍?；炯僭O是學科的研究基礎。超出基本假設的研究領域是固體力學其它學科的研究。,工程材料的特點,金屬材料——晶體材料，是由許多原子，離子按一定規(guī)則排列起來的空間格子構成

8、，其中間經(jīng)常會有缺陷存在。高分子材料——非晶體材料，由許多分子的集合組成的分子化合物。工程材料內(nèi)部的缺陷、夾雜和孔洞等構成了固體材料微觀結構的復雜性。,彈性力學的基本假定五個基本假定： 1、連續(xù)性(Continuity) 2、線彈性(Linear elastic)3、均勻性(Homogeneity)4、各向同性(Isotropy)5、小變形假定(Small def

9、ormation),,彈性力學的基本假定1、連續(xù)性(Continuity),,整個物體的體積都被組成這個物體的介質所填滿, 不留任何空隙.即，各個質點之間不存在任何空隙,好處：物體內(nèi)的物理量,例如應力形變和應變, 才可能是連續(xù)的, 才可以用連續(xù)函數(shù)來表示;,——宏觀假設,彈性力學的基本假定2、線彈性(Linear elastic),,物體的變形與外力作用的關系是線性的，除去外力，物體可回復原狀 ，而且這個關系和時間無關，也和變形歷史

10、無關，稱為完全線彈性材料,好處：應力應變之間的函數(shù)簡化為線性函數(shù)，且材料彈性常數(shù)不隨應力或應變的變化而改變,彈性力學的基本假定3、均勻性(Homogeneity),,物體是均勻的, 整個物體由同一材料組成,好處：各部分物理性質相同，不因位置改變而改變?？梢越厝∪我獠糠譃檠芯繉ο?。,對于環(huán)氧樹脂基碳纖維復合材料，不能處理為均勻材料。,彈性力學的基本假定4、各向同性(Isotropy),,物體的彈性性質在所有各個方向都相同,好處：物體材

11、料常數(shù)不隨坐標方向改變而改變,像木材，竹子以及纖維增強材料等，屬于各向異性材料。,彈性力學的基本假定5、小變形假定(Small deformation):,,物體的位移和形變是微小的. 即物體的位移遠小于物體原來的尺寸, 而且應變和轉角都遠小于1,好處：變形與結構原尺寸相比屬高階小量，可略去因變形引起的結構尺寸變化,彈性力學的幾個基本概念,1、體力(body forces): 分布在物體體積內(nèi)的力.,,設體積△V包含P點, △V中的體

12、力為△F, 則,體力分量: 體力 f 在 x, y 和 z 軸上的投影, 分別記為 fx, fy, fz,彈性力學的幾個基本概念,2、表面力(surface forces): 分布在物體表面的力.,,設表面積△S包含P點, △S中的表面力為△F, 則,表面力分量: 表面力 在 x, y 和 z 軸上的投影, 分別記為,彈性力學的幾個基本概念,3、內(nèi)力、平均應力和應力.,,內(nèi)力 (internal forces) : 物體本身不同部分之

13、間相互 作用的力,應力(stress)：如果假設內(nèi)力分布連續(xù)，命 ΔA無 限減小并趨向 P點, 則ΔF/ΔA 將趨向一個極限 p:,平均應力( the average stress):設作用在包含P點某一個截面mn上的單元面積ΔA 上的力為ΔF ，則ΔF/ΔA 稱為ΔA 上的平均應力；,彈性力學的幾個基本概念,4、正應力與切應力,,正應力 (normal stress) :應力在作用截面法線方向的分量：,切應力( shear stre

14、ss):設應力在作用界面切線方向的分量：,單位 Pa, Pa = 1 N/㎡常用單位 MPa, 1 MPa= 106 Pa,彈性力學的幾個基本概念,5、正平行六面體應力,,從物體中取出一個微小的正平行六面體，它的棱邊分別平行于三個坐標軸，長度分別為dx, dy, dz.正平行六面體應力,切應力符號的含義,受力面的法線方向,力的方向,,,,應力張量（stress tensor）,,,彈性力學的幾個基本概念,6、位移

15、、形變、正應變、剪應變的概念,,正應變 (線應變normal strain) :各線段單位長度的伸縮： 以伸長為正；縮短為負,切應應變( 角應變shear strain):各線段之間的直角的改變： 以弧度表示，直角變小為正；變大為負,形變（deformation）: 形狀的改變，它包含長度和角度的改變。,正應變和剪應變的量綱都為一，即無量綱。,位移（displacement）: 是指位置的移動. 它在 x, y and z 軸

16、上的投影用 u, v 和w。,正應變（線應變）,,,切應變（角應變）,,直角改變量,γ=α+β,彈性力學基本變量小結,,,,,,,,,,,,,彈性力學的基本方程,,彈性力學的基本方程之幾何方程,,設變形前為平面正方形ABCD，而變形后為A’B’C’D’,從以下幾個方面描述變形：,（1）x方向的相對伸長量,（2）y方向的相對伸長量,（3）夾角的變化,彈性力學的基本方程之幾何方程,,（1）x方向的相對伸長量,彈性力學的基本方程之幾何方程,,

17、（2）y方向的相對伸長量,彈性力學的基本方程之幾何方程,,（3）夾角的改變,同理,,彈性力學的基本方程之幾何方程,,同樣方法來考察體素在XOZ和YOZ平面內(nèi)的變形情況，可得,以上是考察了體素在XOY一個平面內(nèi)的變形情況，,聯(lián)立得到幾何方程，表明應變分量與位移分量之間的關系：,彈性力學的基本方程之平衡方程,,以平面問題為例，截取正方形微元體，考察其平衡條件：,考察平衡條件：,（1）沿x方向主矢投影為零（2）沿y方向主矢投影為零（3）關

18、于任意點的主矩為零,,由于形狀的任意性，彈性力學要求變形體的任意一點均滿足平衡條件。,,,,,,同理,,,,,略去高階小量，得,,剪應力互等定理,彈性力學的基本方程之平衡方程,,二維問題平衡條件：,平衡方程：,3.3 彈性力學的基本方程之平衡方程,,三維問題微元體的平衡：,平衡方程：,彈性力學的基本方程之物理方程——廣義Hooke定律,,材料常數(shù)：E，G，v,E：彈性模量，（elastic modulus）或：楊氏模量（Young

19、’s modulus）,G：剪切模量，（shear modulus）,ν：泊松比，（Poisson’s ratio）,三個常數(shù)之間的關系：,,彈性力學的基本變量、方程小結,,基本變量：,基本方程：,15個變量,平衡方程,幾何方程,物理方程,15個方程,,,,可解否？如何解？,彈性力學的發(fā)展和研究方法,彈性力學是一門有悠久歷史的學科，早期研究可以追溯到1678年，胡克（R.Hooke）發(fā)現(xiàn)胡克定律。這一時期的研究工作主要是通過實驗方法

20、探索物體的受力與變形之間的關系。,近代彈性力學的研究是從19世紀開始的?？挛?828年提出應力、應變概念，建立了平衡微分方程，幾何方程和廣義胡克定律?？挛鞯墓ぷ魇墙鷱椥粤W的一個起點，使得彈性力學成為一門獨立的固體力學分支學科。,柯西（A.L.Cauchy）,而后，世界各國的一批學者相繼進入彈性力學研究領域，使彈性力學進入發(fā)展階段。1856年，圣維南（A.J.Saint-Venant）建立了柱體扭轉和彎曲的基本理論；,圣維南（

21、A.J.Saint-Venant）,1862年，艾瑞（G.B.Airy）發(fā)表了關于彈性力學的平面理論；1881年，赫茲建立了接觸應力理論；,赫茲（H.Hertz）,1898年，基爾霍夫建立了平板理論;,1824年生於德國，1887年逝世。曾在海登堡大學和柏林大學任物理學教授，他發(fā)現(xiàn)了電學中的“基爾霍夫定理”，同時也對彈性力學，特別是薄板理論的研究作出重要貢獻。,基爾霍夫(G.R.Kirchoff),1930年，Гадёркин發(fā)展了

22、應用復變函數(shù)理論求解彈性力學問題的方法等。另一個重要理論成果是建立各種能量原理；提出一系列基于能量原理的近似計算方法。許多科學家.像拉格朗日(J.L.Lagrange)，樂甫(A.E.H.Love)，鐵木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了貢獻。中國科學家錢偉長，錢學森，徐芝倫，胡海昌,等在彈性力學的發(fā)展，特別是在中國的推廣應用做出了重要貢獻。,錢偉長,錢學森,胡海昌,徐芝倫,楊桂通,再 見,課后作業(yè),搜索、閱讀彈性力學