概率論1.3 1

1、§5 條件概率,一 條件概率,在實(shí)際應(yīng)用中，除了要研究事件 A 的概率 P(A) 之外，有時還需要研究在事件 B 已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率。我們稱這種概率為事件 B 已發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的條件概率，記為,P( A | B ),一般說來， P (A|B) ? P(A),P(A ) =1/6， P(A|B) =？,注：已知事件B發(fā)生，此時試驗(yàn) 所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就 是 B 。

2、 B中共有3 個元素，它們的 出現(xiàn)是等可能的，其中只有 1個在集合 A中,顯然 P(A|B)= 1/3,容易看到,可以證明，在古典概型下，若 P(B)>0, 有,條件概率 P(A|B) 的實(shí)質(zhì)就是在縮減的樣本空間 B上事件 A 的概率。,由于已知事件B已經(jīng)發(fā)生，原樣本空間 S 縮減為 B，在該空間上再進(jìn)一步計(jì)算事件 A 發(fā)生的概率。,條件概率 P(A|B) 的實(shí)質(zhì),設(shè)A、B是兩個事件

3、，且P(B)>0，則稱,條件概率的定義,為在事件 B 發(fā)生的條件下，事件 A 的條件概率.,條件概率的性質(zhì),3 可列可加性：設(shè) A1 ,…, An …互不相容，則,1 非負(fù)性：對任一事件A，0≤P(A|B)≤1,2 規(guī)范性： P (S| B) =1 ；,可以證明，前面對概率所證明的一切性質(zhì)，也都適用于條件概率。,（2）在縮減的樣本空間上計(jì)算,條件概率的計(jì)算,（1）用定義計(jì)算,P(B) > 0,例 A={擲出2點(diǎn)}，B=

4、{擲出偶數(shù)點(diǎn)},,P(A|B）=,B 發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù),在縮減樣本空間中A 所含樣本點(diǎn)個數(shù),例1 盒中有4個外形相同的球，它們的標(biāo)號分別 1、2、3、4，每次從盒中取 1 球，有放回 地取兩次。設(shè)A={取出的兩球標(biāo)號之和為4}， B={第一次取出球的標(biāo)號為2}，試求P(A|B)。,其中 ( i, j ) 表示第一次取 i 號球，第二次取 j 號球,解,試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果

5、為 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4),可得,故,（1）用定義計(jì)算,事件 B 包含的所有可能結(jié)果為： (2,1) (2,2) (2,3) (2,4),事件

6、AB包含的所有可能結(jié)果為： (2,2),可得,故,已知事件 B已經(jīng)發(fā)生， B 就是縮減的樣本空間。,（2）在縮減的樣本空間上計(jì)算,此時，事件 A 包含的所有可能結(jié)果為： (2,2),則該試驗(yàn)的所有可能結(jié)果為： (2,1) (2,2) (2,3) (2,4),P(AB) = P(B) P(A|B) (1),公式（1）和（2）均稱為概率的乘法公

7、式或稱為概率的乘法定理,P(AB) = P(A) P(B|A) (2),定義 設(shè)有兩個事件A、B，,如果 P(A) > 0，則,二 乘法公式,如果 P(B) > 0，則,兩個事件的乘法公式,多個事件的乘法公式,P(ABC) = P(A) P(B|A) P(C|AB),當(dāng) P(A1A2…An-1) > 0 時，有,當(dāng) P(AB) > 0 時，有,P (A1A2…An）

8、 = P(A1) P(A2|A1) … P(An| A1A2…An-1),例2 一場精彩的足球賽將要舉行，5 個球迷好不 容易才搞到一張入場券。大家都想去，只好 用抽簽的方法來解決。,“大家不必爭先恐后，你們一個一個按次序來，誰抽到‘入場券’的機(jī)會都一樣大.”,“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會大?！?解　設(shè) Ai 表示“第 i 個人抽到入場券”

9、 i = 1, 2, 3, 4, 5。,顯然,即，第 1 個人抽到入場券的概率是1/5,則 表示“第 i個人未抽到入場券”,因?yàn)槿舻?個人抽到了入場券，第1個人肯定沒抽到.,由于,由乘法公式,即，第 2 個人抽到入場券的概率是1/5,同理,由乘法公式,即，第 3 個人抽到入場券的概率是1/5,也就是說 “ 抽簽與順序無關(guān) ”,繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn)，每個人抽到“入場券”的概率都是1/5。,例3 甲、

10、乙、丙三人參加面試抽簽，每人的試題 通過不放回抽簽的方式確定。假設(shè)被抽的10 個試題中有 4個難題簽，按甲、乙、丙次序 抽簽，試求甲抽到難題簽；甲和乙都抽到難 題簽；甲沒抽到難題簽而乙抽到難題簽；甲、 乙、丙都抽到難題簽的概率。,解 設(shè) A = “甲抽到難題簽”， B = “乙抽到難題簽”， B = “丙抽到難題簽”,在概率論

11、中常常會遇到一些較復(fù)雜的事件。這就提出如下問題：復(fù)雜事件 A的概率如何求？,三 全概率公式與貝葉斯公式公式,樣本空間的劃分,,,,,,,定義,設(shè) S 為試驗(yàn) E的樣本空間，B1,…Bn為 E的一組事件。若,則稱B1,…Bn為樣本空間S的一個劃分,上式稱為全概率公式,全概率公式,設(shè) S 為試驗(yàn) E的樣本空間，A為E的事件，B1,…Bn為 S的一個劃分，且,則,即,,,,,,,證明,化整為零各個擊破,,說明 全概率公式的主要應(yīng)

12、用在于它可以將一個 復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題，分解為若干個 簡單事件的概率計(jì)算問題，最后應(yīng)用概率 的可加性求出最終結(jié)果。,說明,我們把事件 A 看作某一過程的結(jié)果，,根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，,而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，,則我們可用全概率公式計(jì)算結(jié)果發(fā)生的概率,,看作該過程的若干個原因。,,例4 有三個箱子，分別編號為1, 2, 3，1號箱裝有 1個紅球 4個白球，2號箱

13、裝有 2紅 3白球， 3號箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱， 從中任意摸出一球，求取得紅球的概率。,解 記 A={取得紅球},顯然,1,,,,,2,,,,,3,,,,,,Bi={球取自i 號箱} i=1, 2, 3;,故，B1、B2、B3 是樣本空間的劃分,,故，由全概率公式得,由已知,例5 設(shè)甲盒有3個白球，2個紅球，乙盒有4個白球， 1 個紅球，現(xiàn)從甲盒任取2球放入乙盒，再從

14、 乙盒任取2球，求從乙盒取出2個紅球的概率。,解 設(shè) A =“從乙盒取出２個紅球”,顯然,故，B1、B2、B3 是樣本空間的劃分,B1=“從甲盒取出２個紅球” B2 =“從甲盒取出２個白球” B3=“從甲盒取出1個白球1個紅球”,由已知,故，由全概率公式得,例6 有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠 生產(chǎn)的占 30% ， 二廠生產(chǎn)的占 50% ， 三廠生產(chǎn)的占 20%，又知這三個

15、廠的產(chǎn)品 次品率分別為2% ， 1%，1%。問從這批 產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?,解 設(shè) A =“任取一件是次品”,Bi=“任取一件為 i 廠的產(chǎn)品號箱”， i=1, 2, 3;,顯然，,故，B1、B2、B3 是樣本空間的劃分,,,30%,,20%,50%,,2%,1%,1%,由已知,故，由全概率公式得,,例7（接例4）某人從三箱 中任取一箱，從中任

16、 意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是 紅球， 求該球是取自 1號箱的 概率。,1,,,,,2,,,,,3,,,,,,貝葉斯公式,實(shí)際中還有下面一類問題，“已知結(jié)果求原因”,這一類問題在實(shí)際中更為常見，它所求的是條件概率，即已知結(jié)果發(fā)生的條件下，求某原因發(fā)生可能性的大小。,,解 記 A={取得紅球},顯然，B1、B2、B3 是樣本空間的劃分,1,,,,,2,,,,,3,,,,,,Bi={球取自i

17、號箱} i=1, 2, 3;,運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(A),將這里得到的公式一般化，就得到,貝葉斯公式,設(shè) S 為試驗(yàn) E的樣本空間，A為E的事件，B1,…Bn為 S的一個劃分，且,則,上式稱為貝葉斯公式,說明,我們把事件 A 看作某一過程的結(jié)果，,根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，,而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，,,看作該過程的若干個原因。,如果已知事件A已經(jīng)發(fā)生，要求此時是由第 i個原因引起的概率，則用Bayes公式

18、,例8 對以往數(shù)據(jù)的分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得 良好時，產(chǎn)品的合格率為98%；而當(dāng)機(jī)器發(fā) 生某種故障時，產(chǎn)品的合格率為55%。每天 早上機(jī)器開動時，機(jī)器調(diào)整得良好的概率為 95%. 試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格 品時， 機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？,解 設(shè) A =“產(chǎn)品合格”,顯然,B =“機(jī)器調(diào)整良好” =“機(jī)器發(fā)生故障”,故，B、 是樣本空

19、間的劃分,故，由貝葉斯公式得,由已知,概率 0.95 是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 叫做先驗(yàn)概率，而在得到信息后再重新加以修正的概率 0.97叫后驗(yàn)概率.,即，當(dāng)生產(chǎn)出的第一件產(chǎn)品是合格品時，此時機(jī)器機(jī)器調(diào)整良好的概率為0.97,在貝葉斯公式中，P(Bi)和P(Bi |A)分別稱為原因的先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率。 P(Bi) (i=1,2,…,n) 是在沒有進(jìn)一步信息（不知道事件 A 是否發(fā)生）的情況下，人們對諸

20、事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識。當(dāng)有了新的信息（知道 A 發(fā)生），人們對諸事件發(fā)生可能性大小 P(Bi | A) 有了新的估計(jì)。,注,例9 某電子設(shè)備制造廠所用的晶體管是由三家 元件廠提供的。根據(jù)以往的記錄有以下的 數(shù)據(jù)。 元件制造廠 次品率 提供晶體管的份額 1 0.02 0.15

21、 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,,,S,B1,B2,B3,,A,,,設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的，且無區(qū)別的標(biāo)志。

22、 （1）在倉庫中隨機(jī)的取一只晶體管，求它是 次品的概率。（2）在倉庫中隨機(jī)的取一只晶體管，若已知 取到的是次品，試分析此次品出自哪家 工廠的可能性最大。,顯然，,故，B1、B2、B3 是樣本空間的劃分,解 設(shè) A ={取到的是一只次品},Bi ={取到的產(chǎn)品是由第 i 家工廠提供的} ( i= 1,2,3),元件制造廠 次品率 提供晶體管

23、的份額 1 0.02 × 0.15 2 0.01 × 0.80 3 0.03 × 0.05,,,,,,,全概率公式,,,,貝葉斯公式,,元件制造廠