概率論第1講

1、2024/3/19,1,概率論第1講,第一章　預備知識,本文件可從網(wǎng)址http://appmath.cn上下載,2024/3/19,2,概率論是研究隨機事件的規(guī)律性的一個數(shù)學分支, 直觀地說是指這樣的事件: 在一次試驗中, 它出現(xiàn)與否是具有偶然性的, 但是在大量重復試驗中, 它卻是具有內(nèi)在的必然性即規(guī)律性的.,2024/3/19,3,第一章 預備知識,第一節(jié) 排列與組合,2024/3/19,4,乘法原理: 如果一個過程可以分成兩個

2、階段進行, 第一個階段有m種不同的做法, 第二個階段有n種不同的做法, 且第一個階段的任一種做法都可以與第二個階段的任一種做法配成整個過程的一種做法, 那末整個過程應該有m?n種的做法.,2024/3/19,5,一, 排列從n個不同的元素中, 任意取出r個不同的元素(0 < r ? n)按照一定的順序排成一列, 這樣的一列元素叫做從n個不同元素中取r個不同元素組成的一種排列. 對于所有不同排列的種數(shù), 通常表示為,2024/3/

3、19,6,先設(shè)0<r<n, 每一種排列由在r個有次序位置上各放上一個元素所組成. 第一個位置上的元素有n種不同的取法; 在它取定之后, 第二個位置上的元素只有n-1種不同的取法; 前兩個元素取定之后, 第三個位置上的元素只有n-2種不同的取法; 依次類推, 第r個位置上的元素只有n-r+1種不同的取法, 因此按乘法原理, 所求排列種數(shù)為,2024/3/19,7,或改寫為,2024/3/19,8,當r=n時, 所求排列種數(shù)為n

4、!. 若規(guī)定0!=1, 則上式仍然成立. 因此, 當0<r?n時, 上述排列問題的答案總可以表達成,2024/3/19,9,例1 計算從八個不同的元素中任取三個的排列種數(shù).解 所求排列種數(shù)為,2024/3/19,10,例2 從1,2,3,4,5,6,7七個數(shù)中任取三個不同的數(shù)組成的三位數(shù)中有幾個是偶數(shù)?解 所得的三位數(shù)是偶數(shù), 它的個位上應是2,4,6中的一個. 因此, 按置在個位上的數(shù)有三種不同的取法, 而十位, 百位上的數(shù)

5、共有6?5種不同的取法. 從而所求的個數(shù)為 3?6?5=90,2024/3/19,11,以上排列問題中參加排列的元素是不允許重復的. 但有時需要考慮允許重復的情況, 例如電話號碼就允許數(shù)字重復. 現(xiàn)考慮從n個各不相同的元素里任取一個, 然后放回去, 再取一個, 然后又放回去, 這樣共進行r次, 問所得不同的排列共有多少種? 顯然, 這種情況下排列種數(shù)共有,2024/3/19,12,例3 用0,1,2,...,9這十個

6、數(shù)字組成三位數(shù), 在這些三位數(shù)中,(1) 如考慮數(shù)字可以重復, 問可以組成多少不同的三位數(shù)?(2) 三個數(shù)字沒有重復的有幾個?(3) 三個數(shù)字都相同的有幾個?(4) 只有兩個數(shù)字相同的有幾個?,2024/3/19,13,解 (1) 在數(shù)字可以重復的情況下, 計算能組成多少個不同的三位數(shù)時, 由于百位數(shù)上不能放置0, 所以組成的不同的三位數(shù)的個數(shù)應為 9?10?10=900,2024/3/19,14,(2

7、) 百位上的數(shù)字有9種不同的取法. 在百位上的數(shù)字取定后, 十位上的數(shù)字有9種不同的取法. 在百位和十位上的數(shù)字都取定后, 個位上的數(shù)字只有8種不同的取法, 所以沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為 9?9?8=648.,2024/3/19,15,(3) 由于百位上的數(shù)字有9種不同的取法, 在百位上的數(shù)字取定后, 十位上及個位上的數(shù)字隨之而定, 所以三個數(shù)字都相同的三位數(shù)的個數(shù)為9.,2024/3/19,16,(4) 只

8、有百位上與十位上的數(shù)字相同的三位數(shù)的個數(shù)為9?9, 只有十位上與個位上的數(shù)字相同的三位數(shù)的個數(shù)為9?9, 只有百位上與個位上的數(shù)字相同的三位數(shù)的個數(shù)為9?9. 所以只有兩個相同數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為9?9+9?9+9?9=243,2024/3/19,17,二, 組合設(shè)有n個不同的元素, 從它們中間任取r個(0 < r ? n)構(gòu)成一組. 這里, 不考慮這r個元素的次序, 只研究有多少種不同的取法, 這就是組合問題. 稱每一個取

9、得的組為一個組合. 對于所有不同的組合的種數(shù), 通常把它記作,2024/3/19,18,從n個不同元素中任取r個元素出來, 得到一個組合, 對這r個元素進行各種排列, 共得r!種不同的排列, 但所有這些排列均是由一種組合變來的, 所以排列的種數(shù),是組合種數(shù),的r!倍, 即,2024/3/19,19,例4 有五本不同的數(shù)學書, 八本不同的物理書, 從中任取兩本數(shù)學書, 四本物理書. 問有多少種不同的取法?解 從五本數(shù)學書中任取兩本, 種

10、數(shù)為,從八本物理書中任取四本, 種數(shù)為,因此所求總數(shù)為10?70=700.,2024/3/19,20,第二節(jié) 集合,2024/3/19,21,集合, 有時簡稱為集, 是具有某種特定性質(zhì)的事物所組成的集體. 通常用大寫字母A,B,C,...來表示集合. 組成集合的各個事物稱為這集合的元素. 如果e是集合A的一個元素, 便記作e?A. 如果e不是A的元素記作e?A. 如果集合A是由元素e1,e2,...等組成的, 記作A={e1,e2,

11、...},2024/3/19,22,集合的元素可以是任意種類的對象: 點, 數(shù), 函數(shù), 事件, 人等等. 例如,(1) 全體自然數(shù)組成的集合A, 表示為:A={1,2,...};(2)在給定直線上全體點組成的集合;(3)平面上區(qū)域D中所有點組成的集合;(4)數(shù)軸上所有區(qū)間組成的一個集合;(5)定義域為區(qū)間(a,b)的所有連續(xù)函數(shù);(6)某地區(qū)所有學齡前兒童組成的一個集合.,2024/3/19,23,在討論集合時, 重復

12、的元素只算一次. 例如把{1,2,2,3}與{1,2,3}看作是同一個集合.,2024/3/19,24,如果一個集合中只有有限多個元素, 稱這集合為有限集. 如果一個集合中有無限多個元素, 稱這集合為無限集.如果一個無限集中的諸元素能與全體自然數(shù)構(gòu)成一一對應關(guān)系, 則稱這無限集為可數(shù)集或可列集, 否則為不可數(shù)集.,2024/3/19,25,2024/3/19,26,集合之間的關(guān)系與集合的運算,2024/3/19,27,一, 子集如果

13、屬于集合A的任一元素都屬于集合B, 則稱集合A是集合B的子集, 記作A?B(或B?A), 讀作A含于B(或B包含A).,,,B,A,2024/3/19,28,例如, 由所有偶數(shù)組成的集合是由所有整數(shù)組成的集合的子集; 區(qū)間(1,2)是區(qū)間(1,4)的子集. 特別地, 一個集合A是它自己的一個子集. 顯然, 當A?B且B?C時, A?C.,2024/3/19,29,為了討論方便, 把不含任何元素的集合稱為空集, 記作?. 把空集?作為任一

14、集合A的子集, 即對任一集合A, ??A.如果A?B且B?A, 則稱集合A,B相等, 記作A=B,書上印錯,2024/3/19,30,二, 并集由至少屬于集合A或集合B二者之一的所有元素所組成的集合稱為集合A與集合B的并集, 記作A?B.,,,,A,B,2024/3/19,31,例如, 集合{1,2,3}與集合{3,4,5}的并集為集合{1,2,3,4,5}; 區(qū)間(1,3)與(2,4)的并集為區(qū)間(1,4); 區(qū)間

15、(-?,3)與區(qū)間(-?,1)的并集為區(qū)間(-?,3),2024/3/19,32,,,由平面上坐標滿足1<x<2的點的全體組成的集合與由坐標滿足2<y<4的點的全體組成的集合的并集如圖所示:,,,,,,,O,1,2,2,4,y,x,2024/3/19,33,,三, 交集由同時屬于集合A及集合B的所有元素所組成的集合稱為集合A與集合B的交集, 記作A?B,,,A,B,2024/3/19,34,例如, 區(qū)間(-

16、?, 3)與區(qū)間(1, +?)的交集為區(qū)間(1,3); 由平面上圓x2+y2=1內(nèi)的所有點的集合與由橫坐標大于零的所有點組成的集合的交集如圖所示的右半圓.,,,,,x,y,1,1,O,2024/3/19,35,如果A?B=?, 即A,B無公共元素, 就稱集合A與集合B互不相交.例如, 由所有正數(shù)組成的集合與由所有負數(shù)組成的集合互不相交; 區(qū)間(1,2)與區(qū)間(2,3)互不相交.,2024/3/19,36,,集合的并與交滿足如下的分配率

17、:(A?B)?C=(A?C)?(B?C).,,,,A,B,C,2024/3/19,37,證 下列諸關(guān)系式是相互等價的:e?(A?B)?C,e?A?B且e?C,e?A?C或e?B?C,e?(A?C)?(B?C).從而上述分配律成立.,2024/3/19,38,集合的并及交可以從兩個推廣到有限多個或可數(shù)多個集合上去, 諸集合A1,A2,...的并集A1?A2?...就是由至少屬于A1,A2,...中一個的所有元素組成的集

18、合; 諸集合A1,A2,...的交集A1?A2?...就是由同時屬于A1,A2,...的所有元素組成的集合. 分配律對于有限個或可數(shù)多個集合的并集也成立,即(A1?A2?...)?C=(A1?C)?(A2?C)?...,2024/3/19,39,,四, 差集 余集設(shè)A,B為任意兩個集合, 稱由屬于集合A而不屬于集合B的所有元素組成的集合為集合A與集合B的差集, 記作A-B,,,A,B,2024/3/19,40,例如, 區(qū)間(1,4)

19、與區(qū)間(0,2)的差集為區(qū)間[2,4). 特殊地, 如果A與B不相交, 則A-B=A,2024/3/19,41,設(shè)B?U, 稱U-B為B在U內(nèi)的余集, 記作,,,B,U,2024/3/19,42,例如, 當U為整個數(shù)軸時, 區(qū)間(-?,a)在U內(nèi)的余集為[a,+?),2024/3/19,43,下面給出幾條關(guān)于余集的性質(zhì), 設(shè)A,B,...等都是U的子集, 為簡便起見, 略去表達余集時的下標U.,2024/3/19,44,作業(yè): 第1