[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)柴中林第12講

1、,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第十二講,主講教師：柴中林副教授,中國(guó)計(jì)量學(xué)院理學(xué)院,前面介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)期望體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的重要的數(shù)字特征。,但在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的，還需了解其他數(shù)字特征。,,§4.2 方差,例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：,因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近。,又如，甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮

2、彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：,甲炮射擊結(jié)果,乙炮射擊結(jié)果,因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近 。,為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征，用它來度量隨機(jī)變量取值偏離其中心(均值)的程度。,這個(gè)數(shù)字特征就是我們要介紹的方差。,4.2.1 方差的定義,注: 有的書上也將Var(X)記成 D(X)。,定義1: 設(shè) X 是一隨機(jī)變量，若E[X-E(X)]2 存在, 則稱其為X 的方差，記成 Var(X)，即

3、 Var(X)= E[X-E(X)]2 ; (1),并稱 為X的標(biāo)準(zhǔn)差。,采用平方是為了保證一切差值[X-E(X)]都起正的作用,若X 的取值比較分散，則方差較大。,若方差Var(X)=0，則 X 以概率1取常數(shù)。,方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的偏離程度 。,若X 的取值比較集中，則方差較??；,均值E(X),X為離散型，P{X=xk}=pk,由定義知，方差是隨機(jī)變量X

4、的函數(shù)g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望 。,X為連續(xù)型，f (x)為密度。,計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式,Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 .,展開,證：Var(X)=E[X-E(X)]2,=E{X2-2X E(X)+[E(X)]2},=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2,=E(X2)-[E(X)]2.,利用期望性質(zhì),例1：設(shè) X 服從幾何分布，概率分布為,P(X=k) = p(1- p)k-1, k=1,

5、 2, …,,其中 0<p<1, 求 Var(X)。,解：,記 q=1-p，則,交換求和與求導(dǎo)次序,無窮遞縮等比級(jí)數(shù)求和公式,求 Var(X)。,例 2：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的密度函數(shù)為:,解：,例3：設(shè)X為某加油站在一天開始時(shí)貯存的油量，Y 為一天中賣出的油量(當(dāng)然Y≤X)。設(shè)(X,Y)具有概率密度函數(shù),這里1表明1個(gè)容積單位，求每日賣出的油量Y 的期望與方差。,解：當(dāng) y 1 時(shí),,當(dāng)0≤y≤1時(shí),,4.2.2

6、方差的性質(zhì),(1). 設(shè)C是常數(shù), 則Var(C)=0;,(2). 若C是常數(shù)，則Var(CX)=C2 Var(X);,(3). 若X1與X2 獨(dú)立，則 Var(X1±X2)= Var(X1)+Var(X2);,可推廣為：若X1, X2, …, Xn相互獨(dú)立，則,(4). Var(X)=0 P(X= C)=1，這里C=E(X)。,例4：設(shè)隨機(jī)變量X 的期望和方差分別為E(X)和Var(X)，

7、且Var(X)> 0，求,解：,4.2.3 幾種常用隨機(jī)變量的方差,1. 兩點(diǎn)分布,若 X ~ B(1, p)，則 Var(X) = p(1-p)；,2. 二項(xiàng)分布,若 X ~ B(n, p)，則 Var(X) = n p(1-p)；,3. 泊松分布,若 X ~ P(λ)，則 Var(X) = λ ；,利用前面講過的 E(X) =λ，得,而,4. 均勻分布,若 X ～ U(a, b) ，則,利用E(X)=(a+b)/2，得,

8、5.指數(shù)分布,6.正態(tài)分布,若 X ～ N(?, ? 2)，則,例5：設(shè)隨機(jī)變量X~ N(?, ? 2)，計(jì)算,(1). P{ ?-? < X< ?+? } ;(2). P{ ?-2? <X< ?+2? }；(3). P{ ?-3? <X< ?+3? }。,解：由(X-?)/? ~ N(0, 1)，得,(1).,(2).,(3).,小結(jié),本講介紹了隨機(jī)變量方差的概念、性質(zhì)及計(jì)算，給出了幾種