[學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第3講

1、,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三講,主講教師：柴中林副教授,中國計量學院理學院,有時, 除了要考慮事件A發(fā)生的概率外，還要考慮“事件B已發(fā)生”的條件下A發(fā)生的概率。,1.4.1 條件概率,通常記事件B發(fā)生的條件下, 事件A發(fā)生的概率為 P(A|B)。,一般情況下， P(A|B) ≠P(A) 。,§1.4 條件概率,例如：有一兇殺案，甲乙丙丁4人是嫌犯，其中1人是兇手，則甲是兇手的機會是1/4.若有新證據(jù)顯示丙不是兇手，此時甲是

2、兇手的機會就不是1/4而是1/3了。,例1：100件產(chǎn)品中有5件不合格品，而5件不合格品中又有3件是次品，2件是廢品?，F(xiàn)從100件產(chǎn)品中任意抽取一件，假定每件產(chǎn)品被抽到的可能性都相同，求,(1).抽到的產(chǎn)品是次品的概率；(2).在抽到的產(chǎn)品是不合格品條件下, 產(chǎn)品是 次品的概率。,解：,設(shè) A={抽到的產(chǎn)品是次品}， B={抽到的產(chǎn)品是不合格品}。,(1). 按古典概型計算公式，有,可見，P(A) ≠P(A|B)

3、。,(2). 由于5件不合格品中有3件是次品，故可得,雖然 P(A) 與 P(A|B) 不同，但二者之間存在什么關(guān)系呢?,先來計算P(B)和P(AB)。,因為100件產(chǎn)品中有5件是不合格品，所以P(B)=5/100。,P(AB)=3/100。,而P(AB)表示事件“抽到的產(chǎn)品是不合格品、又是次品”的概率，再由100件產(chǎn)品中只有3件即是不合格品又是次品，得,通過簡單運算，得,有,P(A)=1/6，,又如：擲一顆均勻骰子，A={擲出2點}

4、，,B={擲出偶數(shù)點}，,求P(A|B)。,已知事件B發(fā)生，此時試驗所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B。,于是，P(A|B)= 1/3。,B中共有3個元素，每個元素出現(xiàn)是等可能的，且其中只有1個(2點)在集合A中。,可以得到：,受此啟發(fā)，對條件概率進行 如下定義。,若事件B已發(fā)生, 則為使 A也發(fā)生 , 試驗結(jié)果必須是既在 B 中又在A中的樣本點 , 即此點必屬于AB。 由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生, 故B就變成了新的樣本空間 ,

5、 于是 就有(1)。,II. 條件概率定義,為在事件B發(fā)生條件下，事件A的條件概率。,定義1: 設(shè)A、B是兩個事件，且P(B)>0，稱,III. 條件概率的性質(zhì),設(shè)B是一事件，且P(B)>0, 則,1. 對任一事件A，0≤P(A|B)≤1;,2. P(Ω|B)=1；,而且，前面對概率所證明的一切性質(zhì)，也都適用于條件概率。,3. 設(shè)A1, A2,…互斥，則,例2：有外觀相同的三極管6只，按電流放大系數(shù)分類,4只屬甲類

6、, 兩只屬乙類。不放回地抽取三極管兩次, 每次只抽一只。求在第一次抽到是甲類三極管的條件下, 第二次又抽到甲類三極管的概率。,解:記Ai= {第 i 次抽到的是甲類三極管}, i=1,2,,A1A2={兩次抽到的都是甲類三極管},,由第2講中的例1.3.3，可知,再由P(A1)=4/6=2/3，得,由條件概率的定義：,即 若P(B)>0, 則 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2),而 P(AB) =

7、P(BA)，,1.4.2 乘法公式,在已知P(B), P(A|B)時, 可反解出P(AB)。,將 A、B的位置對調(diào)，有,故 P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A) 。 (3),若 P(A)>0, 則P(BA)=P(A)P(B|A) ，,(2)和(3)式都稱為乘法公式, 利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率。,當 P(A1A2…An-1) > 0 時，有 P (A1A2…A

8、n）= P(A1) P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1) .,多個事件乘法公式的推廣:,例 3: 一批燈泡共100只，其中10只是次品，其余為正品，作不放回抽取，每次取一只，求: 第三次才取到正品的概率。,解：設(shè) Ai ={第 i 次取到正品}, i=1,2,3。 A ={第三次才取到正品}。則:,例4：袋中有同型號小球b+r個，其中b個是黑球，r個是紅球。每次從袋中任取一球，觀其顏色后放回,并再放

9、入同顏色，同型號的小球c 個。若 B={第一、第三次取到紅球,第二次取到黑球}，求P(B)。,解: 設(shè)Ai={第 i 次取到紅球}, i =1,2,3, 則,,全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復雜事件的概率, 它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用。,綜合運用,加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)A、B互斥,乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)>0,,,1.4.3 全概率公式與貝葉斯公式,

10、,例5: 有三個箱子, 分別編號1, 2, 3。1號箱裝有1紅球, 4白球; 2號箱裝有2紅球, 3白球; 3號箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱, 再從箱中任取一球，求取到紅球的概率。,解：記 Ai={取到第 i 號箱}, i =1,2,3; B ={取得紅球}。,即 B= A1B∪A2B∪A3B， 且 A1B、A2B、A3B兩兩互斥。,要取球，必須先取箱子，故B發(fā)生總是隨著A1,A2

11、,A3 之一同時發(fā)生，,于是，P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),運用加法公式,將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的全概率公式。,對和式中的各項運用乘法公式得,為介紹全概率公式，引入樣本空間的完備事件組（劃分）的概念 定義：設(shè)Ω為實驗E的樣本空間， A1,A2,…,An為一組事件，若A1,A2,…,An兩兩互斥，且A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An= Ω ，則稱A1,A2,…,An

12、為樣本空間Ω的一個完備事件組（劃分）。 易見，若A1,A2,…,An為樣本空間Ω的一個劃分，則每次實驗時，事件A1,A2,…,An中必有，且僅有一個發(fā)生.,設(shè)A1, A2,…, An是樣本空間Ω的一個完備事件組，且P(Ai)>0, i =1, 2, …, n; 則對任一事件B有,全概率公式,,在較復雜情況下，直接計算P(B)不容易, 但總可以適當?shù)貥?gòu)造一組兩兩互斥的Ai , 使B伴隨著某個Ai 的出現(xiàn)而出現(xiàn)，且每個

13、 P( Ai B) 容易計算?？捎盟?P( Ai B) 之和計算 P(B)。,由公式,“全部概率” P(B)，可分成多個“部分概率” P( Ai B) 之和。,它的理論和實用意義在于:,不難看出:,全概率公式示意圖如下：各Ai構(gòu)成了樣本空間Ω的一個劃分（完備事件組），因此B是劃分的子集。同時B被劃分成許多小塊，任一塊AiB是B的子集，也是Ai的子集，因此這些小塊也是互不相容的。各小塊構(gòu)成了B，因此B的概率是各AiB的概率之和，各P(

14、AiB)再由P(Ai)P(B|Ai) 算出。,實際中還有下面一類問題：已知結(jié)果求原因。,這一類問題在實際中常見，它所求的是條件概率，是某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小。,接上例，考慮如下問題：,或者問：“該球取自各箱的可能性大小” 。,某人從任意一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號箱的概率。,考慮上邊例子：記 Ai = {球取自 i 號箱}， i =1, 2, 3; B = {取得紅球}。,所求為

15、 P(A1|B)。,運用全概率公式 計算P(B),將上述公式一般化，就得貝葉斯公式。,該公式于1763年由貝葉斯 (Bayes) 給出。 它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導致B發(fā)生的每個原因的概率。,貝葉斯公式,設(shè)A1, A2,…, An是完備事件組，P(Ai)>0，i=1, 2, …, n; 則對任一事件B有,,例6: 某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對某種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗

16、反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?,則 表示“抽查的人不患癌癥”。,解：設(shè) A = {抽查的人患有癌癥}, B = {試驗結(jié)果是陽性}。,求 P(A|B)。,已知:,現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義：,代入數(shù)據(jù)計算，得 P(A | B)= 0.1066。,由貝葉斯公式，得,如果不做試驗，一個人患癌

17、癥的概率是 P(A)=0.005 。,若試驗后呈陽性反應(yīng)，則此人患癌癥的概率為 P(A|B)= 0.1066 。,說明試驗對于診斷一個人是否患癌癥有意義。,概率從0.005增加到0.1066, 約增加了21倍。,(1). 該試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無 意義？,(2). 檢出陽性是否一定患有癌癥?,,試驗結(jié)果為陽性，此人確患癌癥的概率為 P(A|B)=0.1066。,即

18、使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有10.66% (平均來說，1000個人中大約只有107人確患癌癥)，此時醫(yī)生常要通過其他試驗來確認。,,貝葉斯公式,在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分別稱為原因的驗前概率和驗后概率。,P(Ai) ( i =1, 2,…, n ) 是在沒有進一步的信息(不知道事件B是否發(fā)生) 的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認識。,當有了新的信息(知道B發(fā)生)，人們對諸事件發(fā)生

19、可能性大小 P(Ai | B) 有了新的認識。,例7：8支步槍中有5支已校準過,3支未校準。一名射手用校準過的槍射擊時，中靶概率為0.8；用未校準的槍射擊時，中靶概率為0.3?，F(xiàn)從8支槍中任取一支用于射擊，求：（1）中靶的概率。（2）若已中靶，用的槍是校準過的概率。,解：設(shè) A={射擊中靶}，B1={槍校準過}, B2={槍未校準}，則 B1,B2 是Ω一個劃分，于是,例8：一批同型號的螺釘由編號為I,II,III的三臺機器共同生產(chǎn)。各

20、臺機器生產(chǎn)的螺釘占這批螺釘?shù)谋壤謩e為35%,40%, 25%。各臺機器生產(chǎn)的螺釘?shù)拇纹仿史謩e為3%, 2%和1%?，F(xiàn)從該批螺釘中抽到一顆次品。求:這顆螺釘由I, II, III號機器生產(chǎn)的概率各為多少?,解：設(shè) A={螺釘是次品}, B1={螺釘由I號機器生產(chǎn)}, B2={螺釘由II號機器生產(chǎn)}, B3={螺釘由III號機器生產(chǎn)}。,則,由貝葉斯公式，得,P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)