[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)柴中林第6講

1、,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第六講,主講教師： 柴中林副教授,中國(guó)計(jì)量學(xué)院理學(xué)院,連續(xù)型隨機(jī)變量 X 所有可能取值充滿若干個(gè)區(qū)間。對(duì)這種隨機(jī)變量，不能象離散型隨機(jī)變量那樣, 指出其取各個(gè)值的概率， 給出概率分布。而是用“概率密度函數(shù)”表示隨機(jī)變量的概率分布。,§2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,,例1：某工廠生產(chǎn)一種零件，由于生產(chǎn)過(guò)程中各種隨機(jī)因素的影響，零件長(zhǎng)度不盡相同?，F(xiàn)測(cè)得該廠生產(chǎn)的100個(gè)零件長(zhǎng)度(單位: mm)如下:,2.3.

2、1 頻率直方圖,129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142,148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142,

3、130, 145, 148, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137,141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145

4、, 130, 136, 140, 134,142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.,這100個(gè)數(shù)據(jù)中，最小值是128，最大值是155。,128,155,,作頻率直方圖的步驟,(1). 先確定作圖區(qū)間 [a, b] ;,a = 最小數(shù)據(jù)-ε/ 2，b = 最大數(shù)據(jù)+ε/ 2，,ε 是數(shù)據(jù)的精度。,本例中 ε = 1, a = 127.5, b = 155.5 。,(2).

5、 確定數(shù)據(jù)分組數(shù) m = [1.87×(n?1)2/5 + 1]， 組距 d = (b ? a) / m， 子區(qū)間端點(diǎn) ti = a + i d, i = 0, 1, · · · , m；,,(3). 計(jì)算落入各子區(qū)間內(nèi)觀測(cè)值頻數(shù) ni = #{ xj ∈ [ti?1, ti)， j = 1, 2, · · · , n

6、}， 頻率 fi = ni / n， i = 1, 2, · · · , m；,(4). 以小區(qū)間 [ti-1，ti] 為底，yi=fi / d ( i=1, 2, …, m) 為高作一系列小矩形，組成了頻 率直方圖，簡(jiǎn)稱直方圖。,由于概率可以由頻率近似， 因此這個(gè)直方圖可近似地刻畫(huà)零件長(zhǎng)度的概率分布情況。,用上述直方圖刻畫(huà)隨機(jī)變量X的概率分布情

7、況是比較粗糙的。為更加準(zhǔn)確地刻畫(huà)X的概率分布情況，應(yīng)適當(dāng)增加觀測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù), 同時(shí)將數(shù)據(jù)分得更細(xì)一些。當(dāng)數(shù)據(jù)越來(lái)越多, 分組越來(lái)越細(xì)時(shí), 直方圖的上方外形輪廓就越來(lái)越接近于某一條曲線, 這條曲線稱為隨機(jī)變量X的概率密度曲線，可用來(lái)準(zhǔn)確地刻畫(huà)X的概率分布情況。,2.3. 2 概率密度函數(shù),定義1：若存在非負(fù)可積函數(shù) f(x), 使隨機(jī)變量X取值于任一區(qū)間 (a, b] 的概率可表示成,則稱 X為連續(xù)型隨機(jī)變量， f(x)為 X

8、 的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或密度。,這兩條性質(zhì)是判定函數(shù) f(x) 是否為某隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)的充要條件。,密度函數(shù)的性質(zhì),f(x)與 x 軸所圍 面積等于1。,(3). 對(duì) f(x)的進(jìn)一步理解：,故, X的概率密度函數(shù)f(x)在 x 這一點(diǎn)的值, 恰好是X 落在區(qū)間 [x , x +△x]上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度△x 之比的極限。 這里, 如果把概率理解為質(zhì)量，f (x)相當(dāng)于物理學(xué)中的線密度。,需要

9、注意的是：概率密度函數(shù) f (x)在點(diǎn) a 處取值，不是事件 {X =a} 的概率。但是，該值越大，X 在 a 點(diǎn)附近取值的概率越大。,若不計(jì)高階無(wú)窮小，有：,表示隨機(jī)變量 X 取值于(x , x +△ x]上的概率近似等于 f (x ) × △x 。,f (x ) × △x 在連續(xù)型隨機(jī)變量中所起的作用與 pk=P{X=xk} 在離散型隨機(jī)變量中所起的作用類似。,(4). 連續(xù)型隨機(jī)變量取任意指定值的概率為

10、0.,,,,即：,a為任意給定值。,這是因?yàn)椋?由此得，,◎ 對(duì)連續(xù)型 隨機(jī)變量 X, 有,◎ 由P(X=a)=0， 可推出,而 {X=a} 并非不可能事件,,可見(jiàn)：,由P(A)=0, 不能推出 A=Ø；,并非必然事件。,由 P(B)=1, 不能推出 B=Ω。,2.3.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù),定義2: 設(shè) X(?) 是一個(gè)隨機(jī)變量，稱函數(shù) F(x) = P{X≤x}, -∞< x <∞ 為隨機(jī)

11、變量 X 的分布函數(shù)。,分布函數(shù)的性質(zhì),(1).?a<b,總有F(a)≤F(b)(單調(diào)非減性)；(2).F(x)是一個(gè)右連續(xù)函數(shù)；(3).?x?R，總有0≤F(x)≤1(有界性)，且,證明：僅證 (1)。,因 {aa} = {X≤b} - {X≤a}，而 {X≤a} ? {X≤b}，所以 P{a<X≤b} = P{X≤b} - P{X≤a}

12、 = F(b) - F(a) .又，因 P{a<X≤b}≥0， 故 F(a)≤F(b) .,注意：上述證明中我們得到一個(gè)重要公式: P{a<X≤b}=F(b)-F(a).它表明隨機(jī)變量落在區(qū)間(a,b]上的概率可以通過(guò)分布函數(shù)來(lái)計(jì)算。,設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的概率分布為 pk = P{ X=xk } , k=1,2,…, X 的分布函數(shù)為,離散型隨機(jī)變量的分布函

13、數(shù),所以，離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) F(x) 是一個(gè)右連續(xù)的函數(shù)，在 X=xk (k=1, 2, …) 處有跳躍值 pk=P{X=xk}，如下圖所示。,P29，例2.2.1中X 的分布函數(shù)為,連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù),即分布函數(shù)是密度函數(shù)的變上限積分。,由上式，得：在 f (x)的連續(xù)點(diǎn)，有,若X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，f (x)是X 的密度函數(shù)，F(xiàn)(x)是分布函數(shù)，則對(duì)任意x∈R，總有,例4： 設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為,解：(1 )

14、 根據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì)，有,求：（1）A的值，（2） X落在區(qū)間(0,1)內(nèi)的概率，（3） F(x) .,解之得 A=1/π,（2）根據(jù)密度函數(shù)性質(zhì)，有,（3） 由定義,求連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù),解：,求 F(x) .,對(duì) x < -1，有 F(x) = 0；,對(duì) x >1， 有 F (x) = 1.,即,2.3.4 常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量,正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布,正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布。,正態(tài)分布是十

15、九世紀(jì)初，由高斯(Gauss)給出并推廣的一種分布。故，也稱高斯分布。,,1. 正態(tài)分布,這條紅色曲線近似我們將要介紹的正態(tài)分布的概率密度曲線。,I. 正態(tài)分布的定義,定義：若隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)為,記作,f (x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線。,(Normal),其中μ和σ都是常數(shù)，μ任意，σ>0，則稱X服從參數(shù)為μ和σ的正態(tài)分布。,II. 正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn),特點(diǎn)“兩頭低，中間高，左

16、右對(duì)稱”。,正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于X=μ對(duì)稱的鐘形曲線。,正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn),μ決定了圖形的中心位置, σ決定了圖形峰的陡峭程度。,故 f(x) 以 x =μ為對(duì)稱軸，并在 x=μ處達(dá)到最大值:,令x1=μ+c, x2=μ-c (c>0), 分別代入 f (x), 得,f (x1) = f (x2)，,且 f (μ+c) ≤ f (μ)， f (μ-c)≤ f (μ).,,這說(shuō)明：曲線

17、f(x) 向左右伸展時(shí)，越來(lái)越貼近 x 軸。即 f (x) 以 x 軸為漸近線。,當(dāng) x→ ?∞時(shí)，f(x) → 0。,用求導(dǎo)的方法可以證明：,為f (x)的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。,x = μ ? σ,總有P(X>μ)=P(X< μ)=0.5,為什么？,思考：若,III. 正態(tài)分布 的分布函數(shù),IV. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,稱 N(0, 1) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)和分布函數(shù)常分別用

18、 來(lái)表示。,它的依據(jù)是下面的定理：,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。,根據(jù)定理1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題。,定理1：,書(shū)末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題。,V. 正態(tài)分布表,表中給出的是 x >0時(shí)，Φ(x)的取值;,若 X～N(0, 1),,服從N(0,

19、1),例1：假設(shè)某地區(qū)成年男性的身高(單位: cm) X～N(170,7.692), 求該地區(qū)成年男性的身高超過(guò) 175cm 的概率。,解: 根據(jù)假設(shè) X～N(170 ,7.692)，知,,事件{ X >175 }的概率為,此外：若X～N(0, 1),則P(X<-1.24)= ?(-1.24)=1- ?(1.24)=1-0.8924=0.1076, P(0.3<X<2.58)= ?(2.58)- ?(0.3)=

20、0.9951-0.6179,解: 設(shè)車門(mén)高度為 h ，按設(shè)計(jì)要求,P(X≥ h)≤0.01，或 P(X< h)≥ 0.99，,下面我們來(lái)求滿足上式的最小的 h。,例2：公共汽車車門(mén)的高度是按成年男性與車門(mén)頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的。設(shè)某地區(qū)成年男性身高 (單位: cm) X～N(170, 7.692),問(wèn)車門(mén)高度應(yīng)如何確定?,因?yàn)閄～N(170,7.692),,求滿足 P(X< h)≥ 0.99 的最小 h。,故，當(dāng)

21、汽車門(mén)高度為188厘米時(shí)，可使男子與車門(mén)碰頭機(jī)會(huì)不超過(guò)0.01。,若隨機(jī)變量 X 的概率密度為：,則稱 X 服從區(qū)間 [ a, b] 上的均勻分布，記作：,X ～ U[a, b],2. 均勻分布 (Uniform),(注: 有時(shí)也記作 X ～ U(a, b) )。,若X ～ U[a, b]，則對(duì)于滿足 a≤c≤d≤b 的c 和 d，總有,容易知道，若X~U(a,b)，則,指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命服從指數(shù)分布。,

22、定義：若隨機(jī)變量 X 具有概率密度,3. 指數(shù)分布,則稱 X 服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，記成 X ~e(λ)。,例3：設(shè)某電子管的使用壽命X(單位：小時(shí))服從參數(shù)λ=0.0002的指數(shù)分布，求電子管使用壽命超過(guò)3000小時(shí)的概率。,解：,容易知道，若X~e(λ)，則,本講首先介紹連續(xù)型隨機(jī)變量、直方圖、概率密度函數(shù)及性質(zhì)；然后介紹了三種常用的連續(xù)型隨機(jī)變量：正態(tài)分布，均勻分布和指數(shù)分布；最后介紹隨機(jī)變量的分布函數(shù)。分別討論了離散型隨機(jī)