[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第8章

1、單因素試驗(yàn)的方差分析,在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科研活動(dòng)中，我們經(jīng)常遇到這樣的問題：影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量的因素很多，例如影響農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量有品種、施肥種類、施肥量等許多因素。我們要了解這些因素中哪些因素對(duì)產(chǎn)量有顯著影響，就要先做試驗(yàn)，然后對(duì)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析，作出判斷。方差分析就是分析測(cè)試結(jié)果的一種方法。,引 言,基 本 概 念,試驗(yàn)指標(biāo)——試驗(yàn)結(jié)果。,可控因素——在影響試驗(yàn)結(jié)果的眾多因素中，可人為

2、 控制的因素。,水平——可控因素所處的各種各種不同的狀態(tài)。每個(gè) 水平又稱為試驗(yàn)的一個(gè)處理。,單因素試驗(yàn)——如果在一項(xiàng)試驗(yàn)中只有一個(gè)因素改變， 其它的可控因素不變，則該類試驗(yàn)稱為 單因素試驗(yàn)。,引例,例1 （燈絲的配料方案優(yōu)選）某燈泡廠用四種配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡，在每批燈

3、泡中作隨機(jī)抽樣，測(cè)量其使用壽命（單位：小時(shí)），數(shù)據(jù)如下：,,,燈泡的使用壽命——試驗(yàn)指標(biāo),燈絲的配料方案——試驗(yàn)因素（唯一的一個(gè)）,四種配料方案（甲乙丙?。膫€(gè)水平,因此，本例是一個(gè)四水平的單因素試驗(yàn)。,引 例,用X1，X2，X3，X4分別表示四種燈泡的使用壽命，即為四個(gè)總體。假設(shè)X1，X2，X3，X4相互獨(dú)立，且服從方差相同的正態(tài)分布，即Xi~N（?i，?2）（i=1，2，3，4）,本例問題歸結(jié)為檢驗(yàn)假設(shè) H0：?1=

4、?2= ?3= ?4 是否成立,我們的目的是通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)來判斷因素 A 的不同水平對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)是否有影響。,設(shè) A 表示欲考察的因素，它的 個(gè)不同水平，對(duì)應(yīng)的指標(biāo)視作 個(gè)總體 每個(gè)水平下,我們作若干次重復(fù)試驗(yàn)： （可等重復(fù)也可不等重復(fù)），同一水平的 個(gè)結(jié)果，就是這個(gè)總體 的一個(gè)樣本：,單因素試驗(yàn)的方差分析,單因素試驗(yàn)

5、資料表,縱向個(gè)體間的差異稱為隨機(jī)誤差（組內(nèi)差異），由試驗(yàn)造成；橫向個(gè)體間的差異稱為系統(tǒng)誤差（組間差異），由因素的不同水平造成。,由于同一水平下重復(fù)試驗(yàn)的個(gè)體差異是隨機(jī)誤差，所以設(shè)：,其中 為試驗(yàn)誤差，相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布,線性統(tǒng)計(jì)模型,單因素試驗(yàn)的方差分析的數(shù)學(xué)模型,具有方差齊性。,相互獨(dú)立，從而各子樣也相互獨(dú)立。,首先，我們作如下假設(shè)：,即,令 （其中

6、 ）稱為一般平均值。,稱為因素A的第 個(gè)水平 的效應(yīng)。,則線性統(tǒng)計(jì)模型變成,于是檢驗(yàn)假設(shè)：,等價(jià)于檢驗(yàn)假設(shè)：,顯然有：,整個(gè)試驗(yàn)的均值,考察統(tǒng)計(jì)量,經(jīng)恒等變形，可分解為：,其中,反映的是各水平平均值偏離總平均值的偏離程度。,,如果H0 成立，則SSA 較小。,若H0成立，則,總離差平方和,見書P168,其中,這里,反映的是重復(fù)試驗(yàn)種隨機(jī)誤差的大小。,表示水平Ai的隨機(jī)誤差； 表示整個(gè)試驗(yàn)的隨機(jī)誤差,若假設(shè)

7、 成立，則,由P106定理5.1可推得：,將 的自由度分別記作,則,（記 ，稱作均方和）,（各子樣同分布）,則,（記

8、 ，稱作均方和）,對(duì)給定的檢驗(yàn)水平 ，由,得H0 的拒絕域?yàn)椋?F 單側(cè)檢驗(yàn),,結(jié)論：方差分析實(shí)質(zhì)上是假設(shè)檢驗(yàn)，從分析離差平方和入手，找到F統(tǒng)計(jì)量，對(duì)同方差的多個(gè)正態(tài)總體的均值是否相等進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。單因素試驗(yàn)中兩個(gè)水平的均值檢驗(yàn)可用第七章的T檢驗(yàn)法。,思考：為什么此處只做單側(cè)檢驗(yàn)？,（1）若 ，則稱因素的差異極顯著（極有統(tǒng)計(jì)意義），或稱因素A的影響高度顯著，這時(shí)作標(biāo)記

9、 ；,約 定,（2）若 ，則稱因素的差異顯著（差異有統(tǒng)計(jì)意義），或稱因素A的影響顯著，作標(biāo)記 ；,（3）若 ，則稱因素A有一定影響，作標(biāo)記（ ）；,（4）若 ，則稱因素A無顯著影響（差異無統(tǒng)計(jì)意義）。,注意：在方差分析表中，習(xí)慣于作如下規(guī)定：,簡(jiǎn)便計(jì)算公式：,其中,同一水

10、平下觀測(cè)值之和,所以觀測(cè)值之和,例2 P195 2 以 A、B、C 三種飼料喂豬，得一個(gè)月后每豬所增體重（單位：500g）于下表，試作方差分析。,解：,,解：,,不同的飼料對(duì)豬的體重的影響極有統(tǒng)計(jì)意義。,列方差分析表,例2的上機(jī)實(shí)現(xiàn)步驟,1、輸入原始數(shù)據(jù)列，并存到A，B，C列；,2、選擇Stat>ANOVA>one-way(unstacked),,,不同的飼料對(duì)豬的體重的影響極有統(tǒng)計(jì)意義。,定理 在單因素方差分析

11、模型中，有,如果H0不成立，則,所以，,即H0不成立時(shí)，,有大于1的趨勢(shì)。,所以H0為真時(shí)的小概率事件應(yīng)取在F值較大的一側(cè)。,雙因素試驗(yàn)方差分析,雙因素試驗(yàn)的方差分析,在實(shí)際應(yīng)用中，一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（試驗(yàn)指標(biāo)）往往受多個(gè)因素的影響。不僅這些因素會(huì)影響試驗(yàn)結(jié)果，而且這些因素的不同水平的搭配也會(huì)影響試驗(yàn)結(jié)果。,例如：某些合金，當(dāng)單獨(dú)加入元素A或元素B時(shí)，性能變化不大，但當(dāng)同時(shí)加入元素A和B時(shí)，合金性能的變化就特別顯著。,統(tǒng)計(jì)學(xué)上把多因素不同

12、水平搭配對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響稱為交互作用。交互作用在多因素的方差分析中，把它當(dāng)成一個(gè)新因素來處理。,我們只學(xué)習(xí)兩個(gè)因素的方差分析，更多因素的問題，用正交試驗(yàn)法比較方便。,無交互作用的雙因素試驗(yàn)的方差分析,數(shù)學(xué)模型,假設(shè)某個(gè)試驗(yàn)中，有兩個(gè)可控因素在變化，因素A有a個(gè)水平，記作A1，A2，…，Aa；因素B有b個(gè)水平，記作B1，B2，….Bb；則A與B的不同水平組合AiBj（i=1，2，…，a；j=1，2，…，b）共有ab個(gè)，每個(gè)水平組合稱

13、為一個(gè)處理，每個(gè)處理只作一次試驗(yàn)，得ab個(gè)觀測(cè)值Xij，得雙因素?zé)o重復(fù)實(shí)驗(yàn)表,雙因素?zé)o重復(fù)（無交互作用）試驗(yàn)資料表,無交互作用的雙因素試驗(yàn)的方差分析,線性統(tǒng)計(jì)模型,基本假設(shè)（1） 相互獨(dú)立； （2） ，（方差齊性）。,其中,所有期望值的總平均,水平Ai對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng),水平Bj對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng),試驗(yàn)誤差,特性：,水平Ai對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng),水平

14、Bj對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng),試驗(yàn)誤差,要分析因素A，B的差異對(duì)試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響，即為檢驗(yàn)如下假設(shè)是否成立：,總離差平方和的分解定理,仿單因素方差分析的方法，考察總離差平方和,可分解為：,稱為因素A的離差平方和，反映因素 A 對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響。,稱為因素B的離差平方和，反映因素 B 對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響。,稱為誤差平方和，反映試驗(yàn)誤差對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響。,可推得：,將

15、 的自由度分別記作,，則,若假設(shè) 成立，則：,對(duì)給定的檢驗(yàn)水平 ，,拒絕H01，即A 因素的影響有統(tǒng)計(jì)意義。,拒絕H02，即B 因素的影響有統(tǒng)計(jì)意義。,雙因素（無交互作用）試驗(yàn)的方差分析表,注意,各因素離差平方和的自由度為水平數(shù)減一，總平方和的自由度為試驗(yàn)總次數(shù)減一。,雙因素（無交互作用）試驗(yàn)的方差分析表,簡(jiǎn)便計(jì)算式：,其中：,例1 設(shè)甲、乙、丙、丁四個(gè)工人操作機(jī)器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各一天，

16、其產(chǎn)品產(chǎn)量如下表，問工人和機(jī)器對(duì)產(chǎn)品產(chǎn)量是否有顯著 影響？,解 基本計(jì)算如原表,結(jié)論：工人對(duì)產(chǎn)品的產(chǎn)量有顯著影響，機(jī)器對(duì)產(chǎn)品的產(chǎn)量有極顯著影響。,例1的上機(jī)操作,對(duì)應(yīng)例1 的數(shù)據(jù)輸入方式,原始數(shù)據(jù)，行因素水平，列因素水平,,,（A）,（B）,工人對(duì)產(chǎn)品產(chǎn)量有顯著影響，而機(jī)器對(duì)產(chǎn)品產(chǎn)量的影響極顯著。,有交互作用的雙因素試驗(yàn)的方差分析,線性統(tǒng)計(jì)模型,基本假設(shè)（1） 相互獨(dú)立； （2）

17、 ，（方差齊性）。,有檢驗(yàn)交互作用的效應(yīng)，則兩因素A，B的不同水平的搭配必須作重復(fù)試驗(yàn)。,處理方法：把交互作用當(dāng)成一個(gè)新因素來處理，即把每種搭配AiBj看作一個(gè)總體Xij。,觀測(cè)值,總平均,因素A的效應(yīng),因素B的效應(yīng),交互作用的效應(yīng),試驗(yàn)誤差,有交互作用的雙因素試驗(yàn)的方差分析,線性統(tǒng)計(jì)模型,其中,所有期望值的總平均,水平Ai對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng),水平Bj對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng),試驗(yàn)誤差,

18、交互效應(yīng),特性：,要判斷因素A，B及交互作用A?B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響，即為檢驗(yàn)如下假設(shè)是否成立：,總離差平方和的分解定理,仿單因素方差分析的方法，考察總離差平方和,可分解為：,SSA稱為因素A的離差平方和，反映因素 A 對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響。 SSB稱為因素B的離差平方和，反映因素 B 對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響。SSA?B稱為交互作用的離差平方和，反映交互作用A?B對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響。SSE稱為誤差平方和，反映試驗(yàn)誤差對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響。,若

19、“各因素、各水平及其交互作用的影響無統(tǒng)計(jì)意義”的假設(shè) 成立，則,則,可推得：,由 作右側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)來考察各因素及因素間的交互作用對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響力.,雙因素有重復(fù)（有交互作用）試驗(yàn)資料表,,,,,因素 A,,,因素 B,,雙因素（有重復(fù)）試驗(yàn)方差分析表,各離差平方和的計(jì)算公式參看出P180_

20、181,這里,例3 P183 例題2,,,,因素A（能量）,,,因素 B（蛋白質(zhì)）,,輸入數(shù)據(jù)時(shí)，C2表示行因素水平，C3表示列因素水平。第幾次重復(fù)不必列明，軟件自會(huì)識(shí)別。,,,,,結(jié)果顯示如P185,,均<0.01,飼料中能量的高低、蛋白質(zhì)含量的不同及兩者的交互作用對(duì)魚的體重的影響極有統(tǒng)計(jì)意義。,各因素，各水平，各交互作用下的均值。,作業(yè) P195 3 4（借助軟件完成） 預(yù)習(xí)第

21、三節(jié) 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì) 及其統(tǒng)計(jì)分析,正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析,引言,試驗(yàn)設(shè)計(jì)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)較大的分支，它的內(nèi)容十分豐富。我們簡(jiǎn)介正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)。,正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是利用“正交表”進(jìn)行科學(xué)地安排與分析多因素試驗(yàn)的方法。其主要優(yōu)點(diǎn)是能在很多試驗(yàn)方案中挑選出代表性強(qiáng)的少數(shù)幾個(gè)試驗(yàn)方案，并且通過這少數(shù)試驗(yàn)方案的試驗(yàn)結(jié)果的分析，推斷出最優(yōu)方案，同時(shí)還可以作進(jìn)一步的分析，得到比試驗(yàn)結(jié)果本身給出

22、的還要多的有關(guān)各因素的信息。,正交表是一種特別的表格，是正交設(shè)計(jì)的基本工具。我們只介紹它的記號(hào)、特點(diǎn)和使用方法。,正交表的記號(hào)及含義,記號(hào)及含義,如,表示,？,表示各因素的水平數(shù)為2，做8次試驗(yàn)，最多考慮7個(gè)因素（含交互作用）的正交表。,正交表的特點(diǎn),1、正交表中任意一列中，不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等；,表示：在試驗(yàn)安排中，所挑選出來的水平組合是均勻 分布的（每個(gè)因素的各水平出現(xiàn)的次數(shù)相同）

23、 ——均衡分散性,2、正交表中任意兩列，把同行的兩個(gè)數(shù)字看成有序數(shù) 對(duì)時(shí)，所有可能的數(shù)對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)相同。,表示：任意兩因素的各種水平的搭配在所選試驗(yàn)中出現(xiàn) 的次數(shù)相等 ——整齊可比性,這是設(shè)計(jì)正交試驗(yàn)表的基本準(zhǔn)則,正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本步驟,確定目標(biāo)、選定因素（包括交互作用）、確定水平；,2. 選用合適的正交表；,3. 按選定的正交表設(shè)計(jì)表頭，確定試驗(yàn)方案；,4. 組織實(shí)施試驗(yàn)；,5

24、. 試驗(yàn)結(jié)果分析。,例1 為了解決花菜留種問題，以進(jìn)一步提高花菜種子的產(chǎn)量和質(zhì)量，科技人員考察了澆水、施肥、病害防治和移入溫室時(shí)間對(duì)花菜留種的影響，進(jìn)行了四個(gè)因素各兩個(gè)水平的正交試驗(yàn)，各因素及其水平如下表：,解 第一步：選擇適當(dāng)?shù)恼槐?所以選用正交表,注：也可由試驗(yàn)次數(shù)應(yīng)滿足的條件來選擇正交表。,若考慮A與B、A與C的交互作用，則,所以還可選用正交表,其中：,由 確定。,是可求出的，

25、而 是未知的，,當(dāng)不考慮交互作用時(shí)：可取,故 N 不是唯一的。,試驗(yàn)次數(shù)N的確定原則,如三因素四水平 43 的正交試驗(yàn)至少應(yīng)安排,次以上的試驗(yàn)。,如三因素四水平 43 并包括第一、二個(gè)因素的交互作用的正交試驗(yàn)至少應(yīng)安排的試驗(yàn)次數(shù)為,若再加上包括第一、五個(gè)因素的交互作用的正交試驗(yàn)則至少應(yīng)安排的試驗(yàn)次數(shù)為,次以上的試驗(yàn)。,又如安排 的混合水平的正交試驗(yàn)至少應(yīng)安排,所以一般地，有,第二步 表頭設(shè)計(jì)—

26、—查交互作用表,表示位于第二、第四列的兩因素的交互作用要放于第六列。,注意：主效應(yīng)因素盡量不放交互列。如A、B因素已放C1、C2列，則C 因素就不放C3列。,花菜留種的表頭設(shè)計(jì),考慮交互作用A?B和A?C，則例1的表頭可設(shè)計(jì)為,注：第6列為空白列，當(dāng)隨機(jī)誤差列；也可把第7列作空白列。一般要求至少有一個(gè)空白列。,按正交表 得試驗(yàn)方案：,只需將各列中的數(shù)字“1”、“2”分別理解為所填因素在試驗(yàn)中的水平數(shù)，每一行就是

27、一個(gè)試驗(yàn)方案。,第三步 按所選定的正交試驗(yàn)方案組織試驗(yàn)，記錄試驗(yàn) 結(jié)果；,見P192 表8-22,,,第四步 分析正交試驗(yàn)結(jié)果,方法1 直觀分析（極差分析）,（1）計(jì)算極差，確定因素的主次順序,第j列的極差,或,極差越大，說明這個(gè)因素的水平改變對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響越大，極差最大的那個(gè)因素，就是最主要的因素。,對(duì)例1來說，各因素的主次順序?yàn)?（2）確定最優(yōu)方案,如果不考慮交互作用，則根據(jù)各因素在各水平下

28、的總產(chǎn)量或平均產(chǎn)量的高低確定最優(yōu)方案；如果考慮交互作用，則取各種搭配下產(chǎn)量的平均數(shù)，按優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)確定最優(yōu)方案。,本例中，不考慮交互作用，在方案A1B2C2D2最優(yōu)，但交互作用A?C是第三重要因素，所以需考慮A、C的搭配對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)的影響，取AiBj的各種搭配的平均數(shù)，結(jié)果是A1與C1 搭配最好，故本問題的最優(yōu)方案為A1B2C1D2。,方法2 方差分析法,基本思想與雙因素方差分析方法一致：將總的離差平方和分解成各因素及各交

29、互作用的離差平方和，構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量，對(duì)各因素是否對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)具有顯著影響，作F檢驗(yàn)。,要求：能利用MINITAB完成正交試驗(yàn)的方差分析。,例1的上機(jī)操作,按正交表及試驗(yàn)結(jié)果輸入數(shù)據(jù)。,,,,,不寫C3 不寫C5 要表明是交互作用,,,F<1 表示該因子的影響力比試驗(yàn)誤差更小，不必理會(huì)，（嚴(yán)重?zé)o統(tǒng)計(jì)意義）去掉這些因子，將它們?cè)斐傻奈⑿〔町悮w到試驗(yàn)誤差中（軟件會(huì)自動(dòng)處理），則可突顯其它因子的影響。,去掉C1*C2，

30、C6后再作方差分析。,由 P 值知，因素A（C1）的影響力最大， B （ C2 ）次之，再次之是交互作用A*C （ C1*C4 ）。按此順序，再根據(jù)各相關(guān)因子各水平的均值確定最優(yōu)組合。,,,選A1,,選B2,,,,在選A1的前題下選C1,最后，C6（D）無統(tǒng)計(jì)意義，選那一個(gè)水平都可以，故得兩最優(yōu)組合：A1B2C1D1和A1B2C1D2,作業(yè),P198 6(利用軟件MINITAB完成