概率論與數(shù)理統(tǒng)計第七章

1、第七章,參 數(shù) 估 計,二 、估計量的評選標準,一 、點估計,三 、區(qū)間估計,四 、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計,統(tǒng)計推斷的 基本問題,,估計問題,假設(shè)檢驗問題,,點估計,區(qū)間估計,,矩估計法,最大似然估計法,參數(shù)估計是統(tǒng)計推斷的基本問題之一,參數(shù)估計要解決的問題:,總體分布函數(shù)的形式為已知,估計,其一個或多個未知參數(shù),,點 估 計,第七章,第一節(jié),二 、矩估計法,一 、點估計問題的一般提法,三 、最大似然估計法,一 、點

2、估計問題的一般提法,是相應(yīng)的一個樣本值。,點估計就是,構(gòu)造一個適當?shù)慕y(tǒng)計量,用它的觀察值,作為未知參數(shù)的近似值。,稱,為估計量,為估計值,二 、矩估計法,其基本思想是用樣本矩估計總體矩。,它是基于一種簡單的“替換”思想建立起來的一種估計方法。,是英國統(tǒng)計學家K.皮爾遜最早提出的。,命題：若總體X 的 k 階矩,存在，則,證明,因為樣本,相互獨立且與總體X,服從相同的分布。則,也相互獨立，且,與,服從相同的分布。,由辛欽定理,即,基本思想

3、:,Eg.若X為連續(xù)型隨機變量，設(shè)概率密度為,令,解出,例1　設(shè)總體,解: 令,其中,所以λ的矩估計量為,為X的一個樣本，,估計量,估計值,例2　設(shè)總體X 的概率密度為,解,即,X1,X2,…,Xn是取自X 的樣本,求參數(shù)α的矩估計量.,令,，則,從而α的矩估計量,為X 的一個樣本，求,的矩估計量。,例3　設(shè)總體,解,令,,,,例4 設(shè),解 ：,令,其中,則,解得數(shù)學期望,的矩估計量分別為,總結(jié)：任何分布的均值和方差的矩估計量的表

4、達式都不變,例5　設(shè)總體,解 由,所以由上例可得,⑵　若X為離散型隨機變量，設(shè)其分布律為,令,，其中,為樣本，,為樣本值，,解出,三、最大似然估計法,這是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計方法 .,它首先是由德國數(shù)學家高斯在1821年提出的 ,,Gauss,Fisher,然而，這個方法常歸功于英國統(tǒng)計學家費歇 。,費歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì) .,最大似然法的基本思想：,假定一個盒子中有白、

5、黑球共3個，但不知各有幾個，,如果有放回的抽取3次球，發(fā)現(xiàn)第1，3次是黑球，第2次,是白球，試估計黑球所占的比例？,準備內(nèi)容：,當總體X是離散型，,分布律改寫為：,以泊松分布為例，,分布律為,，其中θ未知。,為X 的樣本，,為X 的樣本值，,⑴ X 為離散型,記為,—— 樣本的似然函數(shù),為θ的最大似然估計量；,為θ的最大似然估計值；,滿足條件:,具體算法：,令,,對數(shù)似然方程,設(shè)x1,x2,…,xn是取自總體 X~b(1, p) 的

6、一個,解,例1,似然函數(shù)為:,樣本值，求參數(shù)p的最大似然估計值。,所以,為 p 的最大似然估計值。,設(shè) X1, X2, …, Xn 是取自總體 X 的一個樣本,,，求參數(shù)λ的最大似然估計值。,例2,解,例2,似然函數(shù)為:,,⑵ X 為連續(xù)型,思想：隨機點,落在點,的,鄰域內(nèi)的概率近似地為,所以似然函數(shù)為,利用,或,得,例3,設(shè) X1, X2, …, Xn 是取自總體 X 的一個樣本,,X 服從參數(shù)λ 的指數(shù)分布，求λ的最大似然估計值。

7、,解,似然函數(shù),當,令,所以,設(shè) x1, x2, …, xn 是取自總體 X 的一個樣本值,,解,例4,令,所以,的最大似然估計值為,例5,解,似然函數(shù),則要使得,取最大值,注：特殊的似然函數(shù)通過求導得不到其最大， 需要從函數(shù)本身入手。,所以，最大似然估計量為,例6,解,似然函數(shù),所以θ的最大似然估計值為,例7,解,⑴ 令,所以,解得參數(shù)θ和μ的矩估計量為,⑵ 設(shè)x1, x2, …, xn是X1, X2, …, Xn

8、的樣本值，則,似然函數(shù)為,其中,當,時,令,，表明L是μ的嚴格遞增函數(shù)，,，故,所以當,時L 取到最大值,從而參數(shù)θ和μ的最大似然估計值分別為,則參數(shù)θ和μ的最大似然估計量分別為,,估計量的評選標準,第七章,第二節(jié),二 、有效性,一 、無偏性,三 、一致性,一 、無偏性,定義,結(jié)論：,無論X 服從什么分布,只要它的數(shù)學期望存在，,,總是,的無偏估計量。,例1,證明,例2,設(shè) X1, X2, …, Xn 是取自總體 X 的一個樣本,,解

9、 ⑴,故當,時結(jié)論成立.,⑵ 由于,故當,時結(jié)論成立,,一個未知數(shù)可以有不同的無偏估計量。,解,例3,二、有效性,定義：,都是參數(shù),的無偏估計量，如果,注：比較有效性，必須是在無偏估計量的前提。,例4,設(shè) X1, X2, …, Xn 是取自總體 X 的一個樣本,,⑵ 問那個估計量最有效?,解 ⑴,⑵,因為,證 (1) 由于總體,因此,例5 設(shè),得,又由,(2) 由,得,即,得,又由,因為,三、相合性（一致性）,定義：,,區(qū)

10、間 估 計,第七章,第三節(jié),二 、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計,一 、置信區(qū)間,三 、兩個正態(tài)總體均值與方差 的區(qū)間估計,例如，在估計湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個實際樣本，得到魚數(shù) N 的最大似然估計值為1000條.,[ ],也就是說，希望確定一個區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.,一 、置信區(qū)間,定義1 設(shè)總體,含一待估參數(shù),為一樣本，,滿足,則稱,為,的置信度為

11、 的置信區(qū)間，,的分布函數(shù)為,，其中,若由樣本確定的兩個統(tǒng)計量,,下限,,上限,,置信水平,通常, 采用95%的置信度, 有時也取99% 或 90%.,即置信度為,這時重復,抽樣 100次, 則在得到的100個數(shù)值區(qū)間中包含,真值,的有95個左右, 不包含,真值的有5個左右。,含義： 若,具體的計算方法,⑴ 由樣本,尋找一個樣本函數(shù),，不含其他任何未知參數(shù)，,分布已知，且只含有一個未知參數(shù)θ。,不等式,是θ的置信度為,的置信區(qū)

12、間。,⑵ 對于給定的置信水平,，找 a , b 使得,二 、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計,設(shè),為總體,的一個樣本,置信度,下，來確定,的置信區(qū)間,對于給定的,，有,可得,所以μ的置信水平為1-α的置信區(qū)間為,簡記為,注： μ的置信水平1－α的置信區(qū)間不唯一。,,可以取標準正態(tài)分布上α分位點,,-Z0.04和Z0.01，則也有,則μ的置信度為0.95的置信區(qū)間為,但對稱時的區(qū)間長度,最短。,已知幼兒身高服從正態(tài)分布，現(xiàn)從5~6歲的幼,

13、兒中隨機地抽查了9人，其高度分別為：115, 120,131, 115, 109, 115, 115, 105, 110 cm; 假設(shè)標準差,置信度為95%; 試求總體均值μ的置信區(qū)間,解 已知,由樣本值算得：,查正態(tài)分布表得,，由此得置信區(qū)間,例1,例2,從一批零件中隨機抽取16個, 測得長度（單,位:厘米) 為 2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13,,2.10, 2.15, 2.12

14、, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11設(shè),零件長度,求總體均值μ的置信水,平為 0.90 的置信區(qū)間。,解,查表得,所以μ的置信水平為0.90的,置信區(qū)間為,即:,設(shè)總體,問需要抽取容量為多,的長度不大于 0.49 ?,解 設(shè)需要抽取容量為n,的樣本, 其樣本均值為,查表得,于是μ的置,信水平為0.95的置信區(qū)間為,該區(qū)間長度,例3,解得,取,所以μ的置信水平為1-α的置信區(qū)間為,簡記為,用儀器測

15、量溫度, 重復測量7次, 測得溫度分,別為: 115, 120, 121, 115, 109, 115, 115 ; 設(shè)溫度,在置信度為95%時, 試求溫度均值,所在范圍。,例4,查表得,已知,由樣本值算得：,解,得區(qū)間：,例5,對某種型號飛機的飛行速度進行15次試驗, 測,得最大飛行速度(單位: 米/秒)為,420.3, 425.8, 423.1, 418.7, 438.3, 434.0, 412.3, 431.5,最大飛行速

16、度服從正態(tài)分布. 求飛機最大飛行速度,422.2, 417.2, 425.6,413.5, 441.3, 423.0, 428.2,,根據(jù)長期經(jīng)驗, 可以認為,的期望值的置信水平為 0.95 的置信區(qū)間。,解 以X 表示該飛機的最大飛行速度, 則,查表得,由于總體方差,未知, 因此,的置信水平為0.95,的置信區(qū)間為:,由,（均值μ未知）,設(shè),為總體,的一個樣本,并且樣本函數(shù)：,置信區(qū)間,即,標準差σ的一個置信水平為,的置信區(qū)間,

17、注意：在密度函數(shù)不對稱時，如,習慣上仍取和對稱類似的分位點，但其置信區(qū)間,的長度并不最短。,例6,某自動車床加工零件，抽查16個測得長,加工零件長度的方差。,解 先求,,度（毫米）,，怎樣估計該車床,查表,所求σ2的置信度為0.95的置信區(qū)間,例7,假設(shè)總體,求,未知，X的樣本為,的置信度為95%的置信區(qū)間。,解,⑴ μ的置信區(qū)間為,⑵ σ2的置信區(qū)間為,所以σ2的置信區(qū)間為,三 、兩個正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計,設(shè),為總體,