概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第七章第三節(jié)

1、1,,譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù)N的極大似然估計(jì)為1000條.,若我們能給出一個(gè)區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信 N 的真值位于其中. 這樣對(duì)魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了.,實(shí)際上，N的真值可能大于1000條，也可能小于1000條.,§7.3 區(qū)間估計(jì),2,也就是說，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，同時(shí)給出一個(gè)可信程度, 使其他人相信它包含參數(shù)真值.,,湖中魚數(shù)的真值,[ ],,這里所說的

2、“可信程度”是用概率來度量的，稱為置信水平(置信度).,3,定義：設(shè)總體X的分布類型已知，但有未知參數(shù)θ,對(duì)于給定?（0<?<1), 若由樣本X1,…,Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 使,則稱區(qū)間 為? 的置信水平為1??的置信區(qū)間,4,通常，采用95%的置信水平，有時(shí)也取99%或90%,,注: 1、置信區(qū)間 是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間,它能以足夠大的概率（1- ?）套住未知參數(shù)的真值。 2、

3、置信區(qū)間的觀測(cè)值, 是一個(gè)普通區(qū)間,也稱置信區(qū)間。,5,區(qū)間估計(jì) 的一般求法,6,樞軸量,僅含有一個(gè)未知參數(shù)，但其分布已知的樣本函數(shù)稱為樞軸量,如：設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體,的樣本,,分別為樣本均值和樣本方差,,則有,7,,（一）單個(gè)總體,(1) ?2已知,1、μ區(qū)間估計(jì),樞軸量,μ置信區(qū)間,8,m置信區(qū)間:,,即得,樞軸量,(2) ?2未知,令,9,10,求正態(tài)總體均值?的置信度為1- ?的置信區(qū)間的

4、步驟小結(jié),,,,方差已知,方差未知,1. 由樣本值計(jì)算,2. 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表得 u1-?/2,4. 寫出置信區(qū)間,1. 由樣本值計(jì)算,2. 查自由度為n-1的t分布上側(cè)分位數(shù)表得 t1-?/2(n-1),3. 計(jì)算,4. 寫出置信區(qū)間,3. 計(jì)算,11,2、σ2區(qū)間估計(jì)(μ未知),樞軸量,令,可得,12,s2的置信區(qū)間,可得,s的置信區(qū)間,13,例 某自動(dòng)包裝機(jī)包裝的洗衣粉重量服從正態(tài)分布，今隨機(jī)抽查12袋，測(cè)得其重

5、量（單位：克）分別為：1001，1004，1003，997，999，1000，1004，1000，996，1002，998，999。求?2 的置信度為0.95的置信區(qū)間。,解：? 未知，?2 置信區(qū)間為,1-? =0.95, ?/2 =0.025. 查得,所以, ?2 的置信度為0.95 的置信區(qū)間為,14,例 食品廠從生產(chǎn)的罐頭中隨機(jī)抽取15個(gè)稱量其重量，得樣本方差s2 =1.652（克2 ），設(shè)罐頭重量服從正態(tài)分布，試求其方差的置信

6、水平為90%的置信區(qū)間。,15,（二）兩個(gè)總體,兩樣本獨(dú)立,?1- ?2 的置信區(qū)間,樞軸量,16,樞軸量,其中,(2) 未知,?1- ?2 的置信區(qū)間,17,,① 下限>0② 上限<0③ 包含 0,認(rèn)為,沒有顯著差異,18,樞軸量,19,例 為比較Ⅰ、Ⅱ兩種型號(hào)步槍子彈的槍口速度，隨機(jī)地?、裥妥訌?0發(fā)，得槍口速度的平均值為x=500(m/s),標(biāo)準(zhǔn)差s1=1.10(m/s);隨機(jī)地?、蛐妥?/p>

7、彈20發(fā)，得槍口速度的平均值為y=496(m/s),標(biāo)準(zhǔn)差s2=1.20(m/s).假設(shè)兩總體都近似服從正態(tài)分布，且方差相等. 求兩總體均值差μ1- μ2的一個(gè)置信度為0.95的置信區(qū)間。,,解： μ1- μ2置信區(qū)間為：,故得μ1- μ2的置信度為0.95 的置信區(qū)間為,,n1=10,n2=20, 1-α=0.95, α /2=0.025， t0.975(28)=2.048,,置信下限大于0，我們認(rèn)為μ1 比μ2大.,20,例 研究

8、由機(jī)器A和機(jī)器B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑，隨機(jī)抽取機(jī)器A生產(chǎn)的鋼管18只，測(cè)的樣本方差s12=0.34(mm2); 抽取機(jī)器B生產(chǎn)的鋼管13只，測(cè)的樣本方差s22=0.29(mm2). 設(shè)兩總體相互獨(dú)立，且分別服從正態(tài)分布N(μ1, σ12) ,N(μ2, σ22) ， μ1,μ2, σ12, σ22均未知. 求方差比的置信水平為0.90的置信區(qū)間.,,解： σ12/ σ22的置信區(qū)間為：,故σ12/ σ22的置信度為0.90 的置信區(qū)間為,n1

9、=18,n2=13, 1-α=0.90, α/2=0.05 Fα/2(n1-1,n2-1)= F0.05(17,12)= 1/ F0.05(12,17)=1/2.38 F1-α/2(n1-1,n2-1)=F0.95(17,12)= 2.59,置信區(qū)間包含1，我們認(rèn)為σ12, σ22兩者無顯著差別.,21,單側(cè)置信區(qū)間,22,又若統(tǒng)計(jì)量 滿足,23,

10、例:μ的單側(cè)區(qū)間估計(jì)（σ2未知）,樞軸量,即,(1)若,∴ μ的單側(cè)置信下限：,24,即,(2) 若,∴ μ的單側(cè)置信上限：,25,例: σ2 的單側(cè)區(qū)間估計(jì)（ μ未知）,樞軸量,或,∴ σ2的單側(cè)置信上、下限分別為：,26,設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布. 求燈泡壽命均值 的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限.,例從一批燈泡中隨機(jī)抽取5只作壽命試驗(yàn)，測(cè)得壽命X（單位：小時(shí)）如下：,1050，1100，1120，1250，1280,27,