[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第4章

1、第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,數(shù)學(xué)期望,方差,* 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),大數(shù)定律與中心極限定理,數(shù)學(xué)期望的引例,Mathematical Expectation,例如：某7人的高數(shù)成績(jī)?yōu)?0，85，85，80，80， 75，60，則他們的平均成績(jī)?yōu)?以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均,,數(shù)學(xué)期望E(X),Mathematical Expectation,定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為,離散型隨機(jī)變量,隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作E

2、（X），即,數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,已知隨機(jī)變量X的分布律：,例,求數(shù)學(xué)期望E（X）,解,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X),連續(xù)型隨機(jī)變量,定義,設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為 f (x), 則,即,數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,例,求數(shù)學(xué)期望。,解,數(shù)學(xué)期望的意義,試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，X的觀測(cè)值的算術(shù)平均值 在E(X)附近擺動(dòng),數(shù)學(xué)期望又可以稱為期望值(Expected Value)，均值(Mean),,,E(X)反映了隨機(jī)變

3、量X取值的“概率平均”,是X的可能值以其相應(yīng)概率的加權(quán)平均。,二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及邊緣分布的數(shù)學(xué)期望,(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量,(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,(1) 求k,(2) 求X和Y的邊緣密度,(3) 求E(X), E(Y).,(1)由,解,所以,所以,得,（３）,時(shí),,（３）另解,無(wú)需求邊緣分布密度函數(shù),,隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,定理 1：一維情形,離散型,連續(xù)型,概率密度為,因?yàn)?所以,例,解,隨機(jī)變量

4、的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,定理 2：二維情形,聯(lián)合概率密度為,,連續(xù)型,離散型,例 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X，Y的密度函數(shù)分別為,求E（XY）,解,,數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),,.,.,,設(shè)（X,Y）在由4個(gè)點(diǎn)（0，0）（3，0），（3，2),(0,2)決定的矩形域內(nèi)服從均勻分布，求E(X+Y),E(X2)E(Y2),E(XY).,練一練,答案：,0-1分布的數(shù)學(xué)期望,X服從0-1分布，其概率分布為,P(X=1)=p,P(X=0)=1- p,若X 服

5、從參數(shù)為 p 的0-1分布， 則E(X) = p,分布律,數(shù)學(xué)期望,If X~B( n, p ), then E(X)= np,二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望,分布律,X服從二項(xiàng)分布，其概率分布為,數(shù)學(xué)期望,,其中,則,泊松分布的數(shù)學(xué)期望,If , then,分布律,數(shù)學(xué)期望,,均勻分布的期望,分布密度,數(shù)學(xué)期望,,X~ N (μ，σ2）,正態(tài)分布的期望,分布密度,,數(shù)學(xué)期望,,指數(shù)分布的

6、期望,分布密度,數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個(gè)應(yīng)用,An application of Expected Value in Medicine,考慮用驗(yàn)血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每10個(gè)人一組，把這10個(gè)人的血液樣本混合起來(lái)進(jìn)行化驗(yàn)。如果結(jié)果為陰性，則10個(gè)人只需化驗(yàn)1次；若結(jié)果為陽(yáng)性，則需對(duì)10個(gè)人在逐個(gè)化驗(yàn)，總計(jì)化驗(yàn)11次。假定人群中這種病的患病率是10%，且每人患病與否是相互獨(dú)立的。試問(wèn)：這種分組化驗(yàn)的方法與通常的逐

7、一化驗(yàn)方法相比，是否能減少化驗(yàn)次數(shù)？,分析：,設(shè)隨機(jī)抽取的10人組所需的化驗(yàn)次數(shù)為X,我們需要計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望，然后與10比較,,化驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為1，11,先求出化驗(yàn)次數(shù)X的分布律。,(X=1)=“10人都是陰性”,（X=11)=“至少1人陽(yáng)性”,結(jié)論：,分組化驗(yàn)法的次數(shù)少于逐一化驗(yàn)法的次數(shù),注意求 X期望值的步驟！,1、概率p對(duì)是否分組的影響,問(wèn)題的進(jìn)一步討論,若p=0.2，則,當(dāng)p>0.2057時(shí)，E(X)>10,

8、2、概率p對(duì)每組人數(shù)n的影響,,當(dāng)p=0.2時(shí)，可得出n<10.32，才能保證EX<10.,當(dāng)p=0.1時(shí)，為使,例 獨(dú)立地操作兩臺(tái)儀器，他們發(fā)生故障的概率分別為p1和p2.證明：產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目的數(shù)學(xué)期望為 p1 + p2,設(shè)產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目為X,則X的所有可能取值為0，1,,解,,所以,方差大數(shù)定律中心極限定理,方 差 的 引 入,E( X1 )=5,E( X2 )=5,設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下

9、：,兩種產(chǎn)品的直徑均值是相同的，但產(chǎn)品2的偏差大，如果需要使用直徑為5的產(chǎn)品，則產(chǎn)品1較產(chǎn)品2理想。,方差（Variance）的定義,定義,均方差（標(biāo)準(zhǔn)差）,設(shè) 是一隨機(jī)變量，如果 存在，則稱為 的方差，記作 或,即,方差的計(jì)算公式,Proof.,,一維隨機(jī)變量的方差,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為,離散型,連續(xù)型,設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為 f (x)

10、,其中,方 差 的 計(jì)算,E( X1 )=5,E( X2 )=5,例 設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下：,求D(X1) ,D(X2),解,0-1分布的方差,分布律,方差,其中,二項(xiàng)分布的方差,If X ~ B ( n, p ) , then D ( X ) = n p ( 1- p ),分布律,方差,X ~ B ( n, p ),其中,推導(dǎo)？,泊松分布的方差,分布律,方差,推導(dǎo)？,均勻分布的方差,分布密度,方差,,,正

11、態(tài)分布的方差,分布密度,方差,,,,指數(shù)分布的方差,分布密度,方差,,,常見(jiàn)分布及其期望和方差列表P84,分布名稱 數(shù)學(xué)期望E（X） 方差D（X）,0-1分布,二項(xiàng)分布,泊松分布,均勻分布,正態(tài)分布,指數(shù)分布,方差的計(jì)算步驟,Step 1: 計(jì)算期望 E(X),Step 2: 計(jì)算 E(X2),Step 3: 計(jì)算 D(X),離散型,連續(xù)型,離散型,連續(xù)型,方差的性質(zhì),證明,二維隨機(jī)變量的方差,(X,Y)

12、為二維離散型隨機(jī)變量,,,二維隨機(jī)變量的方差,,,(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,,,,求,.,練一練,解 因?yàn)?相互獨(dú)立，所以,而,所以,例 某地出產(chǎn)的某品種的蘋果的總量X服從正態(tài)分布。若E(X)=148, D(X)=162.寫出X的分布律和概率密度，并用積分表示,解,若隨機(jī)變量X服從均值為2，方差為σ2的正態(tài)分布，且P{2<X<4}=0.3,求P{X<0}。,練一練,所以,解,若隨機(jī)變量X服

13、從均值為2，方差為σ2的正態(tài)分布，且P{2<X<4}=0.3,求P{X<0}。,練一練,所以,得,所以,例 已知一批玉米種子的發(fā)芽率是75％，播種時(shí)每穴種三粒，求每穴發(fā)芽種子粒數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差及均方差.,,,,,,.,設(shè)發(fā)芽種子數(shù)為 X，則 X 服從二項(xiàng)分布，且,解,設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射擊命中的概率為0.4，求 X 的數(shù)學(xué)期望。,練一練,所以,所以這種動(dòng)物的平均壽命為10年，標(biāo)準(zhǔn)差為

14、10年.,解,練一練,設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求,解 X的密度函數(shù)為,練一練,設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求,所以,而,所以,解 X的密度函數(shù)為,練一練,設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求,所以,證畢,證明,,,證畢,證明,大數(shù)定律中心極限定理,大 數(shù) 定 律,在大量的隨機(jī)現(xiàn)象中，隨機(jī)事件的頻率具有穩(wěn)定性,大量的隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果具有穩(wěn)定性,概率論中用來(lái)闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理，

15、稱為大數(shù)定律（law of large number),切比雪夫（Chebyshev)不等式,設(shè)隨機(jī)變量X具有有限數(shù)學(xué)期望EX和方差DX，則對(duì)于任意正數(shù) ，如下不等式成立。,——切比雪夫不等式,證明 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為,則,證畢,切比雪夫（Chebyshev)不等式的應(yīng)用,在隨機(jī)變量X的分布未知的情況下，只利用X的期望和方差，即可對(duì)X的概率分布進(jìn)行估值。,例 已知正常男性成人血液中，每毫升白細(xì)胞數(shù)的平均

16、值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升血液含白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率。,解 設(shè)X表示每毫升血液中含白細(xì)胞個(gè)數(shù)，則,則,而,所以,練一練,設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2.5，利用切比雪夫不等式估計(jì)概率,,練習(xí) 設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2.5，利用切比雪夫不等式估計(jì)概率,解,樣本平均數(shù)穩(wěn)定性定理,定理 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，…相互獨(dú)立，且服從同一分布，并具有數(shù)學(xué)期望 及方差

17、，則對(duì)于任意正數(shù) ，恒有,觀測(cè)量X在相同的條件下重復(fù)觀測(cè)n次，當(dāng)n充分大時(shí)，“觀測(cè)值的算術(shù)平均值接近于期望”是一大概率事件。,即,依概率收斂于,即n充分大時(shí)，,——辛欽大數(shù)定理,伯努利大數(shù)定理（頻率的穩(wěn)定性）,定理 設(shè) 是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正數(shù)恒有,定理的應(yīng)用：可通過(guò)多次重復(fù)一個(gè)試驗(yàn)，確定事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率,中心極限定理（Central l

18、imit theoem),客觀背景：客觀實(shí)際中，許多隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個(gè)微小因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來(lái)，卻對(duì)總和有顯著影響，這種隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布。,概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。,獨(dú)立同分布的中心極限定理,設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，服從同一分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望 和方差

19、 ，則隨機(jī)變量 的分布函數(shù) 滿足如下極限式,定理的應(yīng)用：對(duì)于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列 ，不管 服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)n充分大時(shí)，這些隨機(jī)變量之和 近似地服從正態(tài)分布,例 一部件包括10部分，每部分的長(zhǎng)度是一個(gè)隨機(jī)變量，

20、相互獨(dú)立，且具有同一分布。其數(shù)學(xué)期望是2mm，均方差是0.05mm，規(guī)定總長(zhǎng)度為20±0.1mm時(shí)產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率。,解 設(shè)部件的總長(zhǎng)度為X，每部分的長(zhǎng)度為 Xi（i=1,2,…,10)，則,由定理4.5可知：X近似地服從正態(tài)分布,即,續(xù)解 則產(chǎn)品合格的概率為,棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理,(De Moivre-Laplace),定理 設(shè)隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布

21、 ，則對(duì)于任意區(qū)間 ，恒有,二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布,例 現(xiàn)有一大批種子，其中良種占1/6，今在其中任選6000粒，試問(wèn)在這些種子中良種所占的比例與1/6之差小于1%的概率是多少？,解 設(shè)取出的種子中的良種粒數(shù)為X，則,所求概率為,續(xù)例 種子中良種占1/6，我們有99%的把握斷定在6000粒種子中良種所占的比例與1/6之差是多少？這時(shí)相應(yīng)的良種數(shù)落在哪個(gè)范圍？,解 設(shè)良種數(shù)為X，則,設(shè)良