[學習]概率論與數理統(tǒng)計柴中林第11講

1、,,概率論與數理統(tǒng)計第十一講,主講教師：柴中林副教授,中國計量學院理學院,,前面討論了隨機變量及其分布。 如果我們知道了隨機變量 X 的概率分布，那么，關于 X 的全部概率特征也就知道了。,然而，在實際問題中，概率分布是較難確定的。且有時在實際應用中，我們并不需要知道隨機變量的所有性質，只要知道其一些數字特征就夠了。,因此，在對隨機變量的研究中，確定隨機變量的某些數字特征是非常重要的。,最常用的數字特征是：期望和方差。,4.1.1

2、離散型隨機變量的數學期望,概念引入：,某車間對工人生產情況進行考察，車工小張每天生產的廢品數 X 是一個隨機變量。如何定義 X 的平均值？,§4.1 數學期望,第四章 數字特征,若統(tǒng)計了100天小張生產產品的情況，發(fā)現：,可以得到這100天中每天的平均廢品數為,32天沒有出廢品；30天每天出一件廢品；17天每天出兩件廢品；21天每天出三件廢品。,可以想象：若另外再統(tǒng)計100天，其中不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天

3、數與前面的100天一般不會完全相同，即另外100天每天的平均廢品數也不一定就是1.27。,n0天沒有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.,可以得到這n天中，每天的平均廢品數為,(假定每天至多出三件廢品),一般來說, 若統(tǒng)計了n天,,這是以頻率為權的加權平均,由頻率與概率的關系，,,不難想到：求廢品數X的平均值時，用概率替代頻率，得平均值為：,這是以概率為權的加權平均,這樣，就得到一個確定的

4、數 ——隨機變量X的期望(均值) 。,定義1: 設X是離散型隨機變量, 概率分布為 P{X=xk}=pk , k=1,2, …。,也就是說：離散型隨機變量的數學期望是一個絕對收斂的級數和。,為X 的數學期望(或均值)。,在 X 取可列無窮個值時，級數絕對收斂可以保證“級數之值不因級數各項次序的改排而

5、發(fā)生變化”，這樣E(X)與X取值的認為與排列次序無關。,例1： 有4只盒子，編號為1, 2, 3, 4?，F有3個球，將球逐個獨立地隨機放入4只盒子中去。用X 表示其中至少有一個球的盒子的最小號碼，E(X)。,解：首先求X 的概率分布。X 所有可能取的值是1, 2, 3, 4。{X=i} 表示i號盒中至少有一個球，i=1, 2, 3, 4。,為求 P{X=1}，考慮 {X=1} 的對立事件：{1號盒中沒有球}，其概率為 (3/4)3，因此

6、,{X=2} 表示 {1號盒中沒有球，而2號盒中至少有一個球}，類似地得到：,于是，,1.兩點分布：X ～ B(1, p), 0 < p < 1，則 E(X)= 1?p + 0?(1-p) = p .,常用離散型隨機變量的數學期望,2.二項分布：X ～ B(n, p)，其中 0 < p < 1，則,例2：某種產品次品率為 0.1。檢驗員每天檢驗 4 次,每次

7、隨機抽取10件產品進行檢驗，如發(fā)現次品數大于 1, 就調整設備。 若各件產品是否為次品相互獨立, 求一天中調整設備次數的期望。,解：用X 表示10件產品中的次品數，則X~B(10, 0.1)，每次檢驗后需要調整設備的概率為,用 Y 表示一天中調整設備的次數，則Y~B(n, p)，其中n=4, p=0.2639。所求期望,3. 泊松分布: X ～ P(?)，其中? > 0 ，則 E(X)= ? .,,,4.1.2 連續(xù)

8、型隨機變量的數學期望,設X是連續(xù)型隨機變量，密度函數 f(x) 在數軸上取很密的點 x0< x1< x2<…, 則X 落在小區(qū)間 [xi , xi+1) 的概率是,在小區(qū)間[xi, xi+1)上,陰影面積≈,小區(qū)間[Xi, Xi+1),由于xi與xi+1很接近, 所以區(qū)間[xi, xi+1)中的值可用 xi 來近似地替代。,這正是,的漸近和式。,陰影面積≈,該離散型r.v 的數學期望是,從該啟示出發(fā)，我們給出如下定

9、義。,定義2：設X是連續(xù)型隨機變量，概率密度為 f (x), 如果 有限，則稱,為X的數學期望。,也就是說：連續(xù)型隨機變量的數學期望是一個絕對收斂的積分值.,例3：設隨機變量X 的概率密度為,求 E(X) 。,解：,,若X ~ U[a, b], 即X服從[a, b]上的均勻分布, 則,若X 服從參數為 λ 的指數分布，則,由隨機變量數學期望的定義，不難計算出：,若X 服從

10、 ，則,這意味著：若從該地區(qū)抽查很多成年男子，分別測量他們的身高。則這些身高的平均值近似地為1.68。,已知某地區(qū)成年男子身高X~,例4：設某型號電子管的壽命X服從指數分布,平均壽命為1000小時, 計算 P{1000<X≤1200}。,解：由 E(X) = 1/λ = 1000，知 λ = 0.001，X的概率密度為,4.1.3 隨機變量函數的數學期望,I. 問題的提出：,設隨機變量X的分布已知，需

11、要計算的量并非X的期望，而是X的某個函數的期望，比如說是 g(X) 的期望。那么，如何計算呢？,一種方法是：由于g(X) 也是隨機變量，故應有概率分布，其分布可以由X的分布求出。一旦知道了g(X) 的分布, 就可以按照期望的定義把 E[g(X)] 計算出來。,但使用該方法 必須先求出g(X)的分布。一般說來，這是比較復雜的事。,那么, 可否不求g(X)的分布，而只根據X的分布來計算 E[g(X)] 呢？,答案是肯定的。且有如下公式：

12、,設X是一個隨機變量，Y=g(X)，則,,當X為離散型時, P(X= xk)=pk ; 當X為連續(xù)型時, X 的密度函數為 f(x)。,該公式的重要性在于：當我們求 E[g(X)]時, 不必求g(X)的分布，而只需知道X的分布足矣。這對求 g(X) 的期望帶來了極大方便。,例5： 設 X ～ N(0 , 1)，求 E(X2)。,解：,例 6：設國際市場上對我國某種出口商品每年的需求量是隨機變量X(單位: 噸)。X服從區(qū)間[200

13、0, 4000] 上的均勻分布。每銷售出一噸商品,可為國家賺取外匯3萬元；若銷售不出, 則每噸商品需貯存費1萬元。求：應組織多少貨源，才能使國家收益最大?,解：設組織貨源 t 噸。顯然，應要求2000≤t ≤4000。國家收益Y(單位:萬元)是X 的函數Y=g(X)。表達式為,由已知條件, 知X的概率密度函為,可算得當 t = 3500 時， E(Y)=-2t2 + 14000t-8000000達到最大值 1.55&#

14、215;106。 因此，應組織3500噸貨源。,說明,前面我們給出了求g(X)的期望的方法。實際上，該結論可輕易地推廣到兩個隨機變量函數 Z = g(X,Y)的情形。,設二維離散型隨機向量 (X, Y) 的概率分布為 pij, i=1, 2, ? ， j=1, 2, ? . 則：,設二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)的密度函數為 f (x, y), 則:,例7：設二維離散型隨機向量(X,Y)的概率分布如下表所示，求Z=X2+Y

15、的期望.,E(Z)= g(1,1)?0.125+g(1,2)?0.25 +g(2,1)?0.5+g(2,2)?0.125,解：,= 4.25.,例8：設隨機變量X和Y相互獨立，概率密度分別為,求 E(XY)。,解：,因 G(X,Y)=XY, X 和Y 相互獨立。,所以，,3.1.4 期望的性質,(1). 設C是常數，則E(C)=C;,(4). 設 X, Y 相互獨立，則 E(XY)=E(X)E(Y);,(2)

16、. 若k是常數，則E(kX)=kE(X);,(3). E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);,注意:由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y獨立,推廣：,推廣：,(諸Xi 獨立時)。,期望性質的應用,例9: 求二項分布的數學期望。,分析：若 X ~ B(n, p)，則 X 表示n重貝努里試驗中“成功”的次數。,設,則 X = X1+X2+…+Xn，,i=1,2,…n.,,由此可見：服從參數為n, p的二項分布的

17、隨機變量X的數學期望是 np。,= np .,因為 P{Xi =1}= p,,P{Xi =0}= 1-p，,所以 E(X)=,E (Xi ) = p，,例10：將 n個球放入M個盒子中, 設每個球落入各個盒子是等可能的,求有球的盒子數X 的期望。,解：引入隨機變量,則 X=X1+X2+…+XM .于是,,E(X)=E(X1)+E(X2)+ …+E(XM).,每個Xi都服從兩點分布，i =1,2,…,M。,因每個球落入每個盒子是等可