[學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第2講

1、,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二講,主講教師：柴中林副教授,中國計量學院理學院,§1.2 事件的概率,1.2.1 事件的頻率,頻率：設A是一個事件, 在相同條件下進行n次試驗，A發(fā)生了m 次。,則稱 m為事件A在 n 次試驗中發(fā)生的頻數(shù)或頻次，稱 m與 n之比 m/n 為事件A在 n次試驗中發(fā)生的頻率，記為 fn(A)。,一般的，隨機事件在一次試驗中都是有可能發(fā)生的（除不可能事件），但它們發(fā)生的可能性卻不一樣（想想打牌吧，在一

2、把牌中你摸到紅A的機會和你同時摸到4個A的機會的不同）。不同事件在試驗中發(fā)生的可能性大小無論在理論和實際中都有重要價值。度量它們的量就是概率。,當試驗次數(shù)n充分大時，事件的頻率總在一個定值附近擺動，而且，試驗次數(shù)越多，一般說來擺動的幅度越小。這一性質(zhì)稱頻率的穩(wěn)定性。,顯然，這個定值是由事物的本質(zhì)屬性決定的，與誰做試驗和做多次此試驗無關(guān)。我們稱這個定值為事件在試驗中發(fā)生的概率。用它來度量事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小。,概率與頻率的關(guān)系

3、從哲學的角度講是“本質(zhì)決定現(xiàn)象，現(xiàn)象反映本質(zhì)”：作為本質(zhì)的概率決定了在大量試驗中頻率只能在概率的周圍波動，而作為現(xiàn)象的頻率在大量試驗中也能反映概率的大小。,我們不妨看看歷史上一些著名的擲硬幣記錄。,表1.1 歷史上的擲硬幣記錄,我們把硬幣看做是均勻的，則在每次拋擲中正反面出現(xiàn)的機會均等。若總的機會用整體1表示，則正面在每次拋擲中出現(xiàn)的機會是0.5。這個數(shù)字是由硬幣的特點決定的。而不同人的不同拋擲次數(shù)顯示，頻率的值都圍繞在0.5的周圍波動

4、。即概率決定頻率，頻率反映概率。,我們自然對反映本質(zhì)的概率感興趣，但當概率不易求出而試驗次數(shù)很大的情況下，就常用事件的頻率作為概率的估計，并稱此概率為統(tǒng)計概率。這種確定概率的方法為頻率法。,例如: 若需了解某射箭運動員中10環(huán)的概率，應對該運動員在相同條件下的多次射箭情況進行觀測、統(tǒng)計。,例如：假設其射擊 250 次，中10環(huán)67次，我們用 67/250 作為其命中10環(huán)的概率。,又如：進行產(chǎn)品檢驗時，如果檢驗了n 件產(chǎn)品,其中m 件為

5、次品，則當 n 很大時，可用 m/n 作為產(chǎn)品的次品率(概率)的估計值。,(1)? 0≤ fn(A)≤1；(2)? fn(Ω)=1, fn(Ø)=0；(3).若事件 A1,A2,…,Ak 兩兩互斥，則:,II. 頻率性質(zhì),1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學家(概率統(tǒng)計學家)柯爾莫哥洛夫 (Kolmogorov) 給出了概率如下公理化定義。,1.2.2 事件概率,I. 概率定義,概率的公理化定義,(2). P(Ω)=1 ;,(3)

6、. 若事件A1, A2 ,… 兩兩互斥，則有,設E是隨機試驗，Ω是樣本空間，對Ω中的每個事件A，賦予一個實數(shù)P(A) ，如果事件(集合)函數(shù) P(A) 滿足下述三條:,(1). P(A)≥0；,則稱P(A)為事件A 的概率。,注意：這里的函數(shù)P(A)與以前所學過的函數(shù)不同：P(A)的自變量是事件 ( 集合 )。,不難看出：這里事件概率的定義是在頻率性質(zhì)的基礎(chǔ)之上提出的。將來 我們會看到：頻率fn(A)在某種意義下收斂到概率P(A)的

7、結(jié)論。基于這一點，我們有理由用上述定義的概率 P(A)來度量事件A在一次試驗中發(fā)生的可能性大小。,II. 概率的性質(zhì),1. P(Ø)=0，即不可能事件的概率為零；,2. 若事件 A1,A2,…, An 兩兩互斥，則有： P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+…+P(An), 即互斥事件并的概率等于它們各自 概率之和(有限可加性)；,4. 對兩個事件A和B，若A?B, 則有: P(

8、B-A)=P(B)-P(A), P(B)≥P(A)。,,3. 對任一事件A, 均有,證明：,5.　對任意兩個事件A, B，有,因 AB，A－AB，B－AB兩兩互斥，且,由概率的可加性， 有,P(A∪B)=P(AB∪(A－AB) ∪(B－ AB))=P(AB)+P(A－ AB)+P(B－ AB）=P(AB)+P(A－ AB)+P(B－ AB)+P(AB) － P(AB)=P(A)+P(B) － P(AB).,A∪B = AB∪(

9、A－ AB) ∪(B－ AB)，,說明,n個事件并的多除少補公式,特別地，n = 3 時，有,§1.3 古典概率模型,I. 什么是古典概率模型,如果試驗 E 滿足 (1).試驗結(jié)果只有有限個； (2).各個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。則稱這樣的試驗模型為等可能概率模型或古典概率模型，簡稱等可能概型或古典概型。,II. 古典概率模型中事件概率求法,因試驗E的結(jié)果只有有限種，即樣本點是有限個: ?1,?2 ,

10、…,?n 。 Ω={?1}∪{?2 }∪…∪{?n}，,{?i}是基本事件，且各自發(fā)生的概率相等。,于是，有 1=P(Ω)=P({?1}∪{?2 }∪…∪{?n}) =P({?1})+P({?2 })+…+P({?n}) =n P({?i}), i=1,2,…,n。,從而， P({?i})= 1/n，i=1,2,…,n.,因此，若事件A 包含 k 個基本事件，即,則,,III. 古典概

11、模型舉例,例1：擲一顆均勻骰子，設A表示所擲結(jié)果為“四點或五點”，B表示所擲結(jié)果為“偶數(shù)點”，求P(A)和P(B)。,解：由 n=6，kA=2,得 P(A)=2/6=1/3；再由kB=3，得 P(B)=3/6=1/2。,例2：貨架上有外觀相同的商品15件，其中12件來自產(chǎn)地甲, 3件來自地乙。現(xiàn)從15件商品中隨機地抽取兩件,求這兩件商品來自一同產(chǎn)地的概率。,解：從15件商品中取出2商品，共有C215= 105種取法，且每種取法都是等可

12、能的，故n=105。令 A={兩件商品都來自產(chǎn)地甲},kA= C212=66, B={兩件商品都來自產(chǎn)地乙},kB= C23 =3，而事件: {兩件商品來自同一產(chǎn)地}=A∪B, 且A與B互斥, A∪B包含基本事件數(shù)66+3=69。故，所求概率=69/105=23/35。,例3：有外觀相同的三極管6只，按電流放大系數(shù)分類，4只屬甲類，2只屬乙類。按下列兩種方案抽取三極管兩只：(1).每次抽取一只，測試后放回，然后再抽取

13、下一只 (放回抽樣)；(2).每次抽取一只，測試后不放回，然后在剩下的三 極管中再抽取下一只(不放回抽樣)。設 A={抽到兩只甲類三極管}， B={抽到兩只同類三極管}, C={至少抽到一只甲類三極管}, D={抽到兩只不同類三極管}。求 P(A),P(B),P(C),P(D)。,解: (1).由于每次抽測后放回, 因此，每次都是在6只三極管中抽取。 因第一次從6只中取一只，共有6種可能

14、取法；第二次還是從6只中取一只，還是有6種取法。故，取兩只三極管共有6?6=36種可能的取法。從而, n=36。,注意：這種分析方法使用的是中學學過的“乘法原理”。,因每個基本事件發(fā)生的可能性相同。故第一次取一只甲類三極管共有4種可能取法,第二次再取一只甲類三極管還是有4種可能取法。故,取兩只甲類三極管共有4?4=16 種可能的取法,即kA=16。所以，P(A)=16/36=4/9； 令E={抽到兩只乙類三極管}，則 kE=2

15、?2=4。故，P(E)=4/36=1/9；因C是E的對立事件，所以 P(C)=1-P(E)=8/9;因B=A∪E, 且A與E互斥，得 P(B)=P(A)+P(E)=5/9；D是B的對立事件, 得 P(D)=1-P(B)=4/9。,(2).由于第一次抽測后不放回,所以第一次從6只中取一只, 共有6種可能的取法；第二次是從剩余的5只中取一只，有5種可能的取法。由乘法原理，知取兩只三極管共有n= 6?5=3

16、0種可能的取法。 由乘法原理，得 kA=4?3=12。從而P(A)=12/30=2/5； 類似地,得kE=2?1=2，P(E)=2/30=1/15；由C是E的對立事件,得 P(C)=1-P(E)=14/15;由B=A∪E, 且A與E互斥，得 P(B)=P(A)+P(E)=7/15；由D是B的對立事件, 得 P(D)=1-P(B)=8/15.,例4：n個球隨機地放入N(N≥n)個盒子中，若盒子的容量無限

17、制。求“每個盒子中至多有一球”的概率。,解: 因每個球都可以放入N個盒子中的任何一個，故每個球有N種放法。由乘法原理，將n個球放入N個盒子中共有 Nn 種不同的放法。 每個盒子中至多有一個球的放法(由乘法原理得): N(N-1)…(N-n+1)=ANn 種。故， P(A)= ANn / Nn .,設每個人在一年(按365天計)內(nèi)每天出生的可能性都相同，現(xiàn)隨機地選取n(n≤365)個人，則他們生日各不相

18、同的概率為 A365n / 365n。于是, n個人中至少有兩人生日相同的概率為 1-A365n / 365n。 表13是n取一些值的概率。,,許多問題和上例有相同的數(shù)學模型。,如(生日問題)：,某人群有n個人，他們中至少有兩人生日相同的概率有多大？,,從表13可以看出: 在40人左右的人群里,十有八九會發(fā)生{兩人或兩人以上生日相同}這一事件。,把 n 個物品分成k組，使第一組有n1個,第二組有n2個,…

19、,第 k 組有nk個，且 n1+ n2+…+nk=n，則不同的分組方法數(shù)為,公式,例5：某公司生產(chǎn)的15件產(chǎn)品中，有12件正品, 3件次品。現(xiàn)將它們隨機地分裝在3個箱中, 每箱裝5件，設A={每箱中恰有一件次品}, B={三件次品都在同一箱中}。求P(A)和P(B)。,解：15件產(chǎn)品裝入3個箱中，每箱裝5件，有,種等可能的裝法。,,故，基本事件總數(shù)為,把三件次品分別裝入三個箱中，共有3!種裝法。這樣的每一種裝法取定以后

20、，把其余12件正品再平均裝入3個箱中，每箱裝4件，有,個基本事件。,再由乘法原理，可知裝箱總方法數(shù)有,即A包含,從而，,把三件次品裝入同一箱中,共有3種裝法。這樣的每一種裝法取定以后,再把其余12件正品裝入3個箱中(一箱再裝2件,另兩箱各裝5件)又有,個基本事件。故，,由乘法原理，知裝箱方法共有,即B包含,例6：設N件產(chǎn)品中有K件次品，N-K件正品, K<N。現(xiàn)從N件中每次任意抽取1件產(chǎn)品，檢查其是正品還是次品后放回；這樣共抽檢產(chǎn)

21、品n次。求事件A={所取的n件產(chǎn)品中恰有k件次品}的概率，k = 0, 1, 2, …, n。,解：假定N件產(chǎn)品有編號，從中任意取出一件，每次都有N種取法。由乘法原理，n次共有Nn種取法，故，基本事件總數(shù)為Nn。 當所取的n件產(chǎn)品中恰有k件次品時，由于取到這k件次品次序之不同，因此，從次序考慮共有Cnk種情況。,這Cnk種情況確定以后,從K件次品中取出k件，共有Kk種取法；從N-K件正品中取n-k件, 共有(N-K)n-k種取法