
![[學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第2講_第1頁](https://static.zsdocx.com/FlexPaper/FileRoot/2019-9/19/23/99142182-c961-4bae-a67e-7d8123aec329/99142182-c961-4bae-a67e-7d8123aec3291.gif)
版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)
文檔簡介
1、,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二講,主講教師:柴中林副教授,中國計量學院理學院,§1.2 事件的概率,1.2.1 事件的頻率,頻率:設A是一個事件, 在相同條件下進行n次試驗,A發(fā)生了m 次。,則稱 m為事件A在 n 次試驗中發(fā)生的頻數(shù)或頻次,稱 m與 n之比 m/n 為事件A在 n次試驗中發(fā)生的頻率,記為 fn(A)。,一般的,隨機事件在一次試驗中都是有可能發(fā)生的(除不可能事件),但它們發(fā)生的可能性卻不一樣(想想打牌吧,在一
2、把牌中你摸到紅A的機會和你同時摸到4個A的機會的不同)。不同事件在試驗中發(fā)生的可能性大小無論在理論和實際中都有重要價值。度量它們的量就是概率。,當試驗次數(shù)n充分大時,事件的頻率總在一個定值附近擺動,而且,試驗次數(shù)越多,一般說來擺動的幅度越小。這一性質(zhì)稱頻率的穩(wěn)定性。,顯然,這個定值是由事物的本質(zhì)屬性決定的,與誰做試驗和做多次此試驗無關(guān)。我們稱這個定值為事件在試驗中發(fā)生的概率。用它來度量事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小。,概率與頻率的關(guān)系
3、從哲學的角度講是“本質(zhì)決定現(xiàn)象,現(xiàn)象反映本質(zhì)”:作為本質(zhì)的概率決定了在大量試驗中頻率只能在概率的周圍波動,而作為現(xiàn)象的頻率在大量試驗中也能反映概率的大小。,我們不妨看看歷史上一些著名的擲硬幣記錄。,表1.1 歷史上的擲硬幣記錄,我們把硬幣看做是均勻的,則在每次拋擲中正反面出現(xiàn)的機會均等。若總的機會用整體1表示,則正面在每次拋擲中出現(xiàn)的機會是0.5。這個數(shù)字是由硬幣的特點決定的。而不同人的不同拋擲次數(shù)顯示,頻率的值都圍繞在0.5的周圍波動
4、。即概率決定頻率,頻率反映概率。,我們自然對反映本質(zhì)的概率感興趣,但當概率不易求出而試驗次數(shù)很大的情況下,就常用事件的頻率作為概率的估計,并稱此概率為統(tǒng)計概率。這種確定概率的方法為頻率法。,例如: 若需了解某射箭運動員中10環(huán)的概率,應對該運動員在相同條件下的多次射箭情況進行觀測、統(tǒng)計。,例如:假設其射擊 250 次,中10環(huán)67次,我們用 67/250 作為其命中10環(huán)的概率。,又如:進行產(chǎn)品檢驗時,如果檢驗了n 件產(chǎn)品,其中m 件為
5、次品,則當 n 很大時,可用 m/n 作為產(chǎn)品的次品率(概率)的估計值。,(1)? 0≤ fn(A)≤1;(2)? fn(Ω)=1, fn(Ø)=0;(3).若事件 A1,A2,…,Ak 兩兩互斥,則:,II. 頻率性質(zhì),1933年,前蘇聯(lián)數(shù)學家(概率統(tǒng)計學家)柯爾莫哥洛夫 (Kolmogorov) 給出了概率如下公理化定義。,1.2.2 事件概率,I. 概率定義,概率的公理化定義,(2). P(Ω)=1 ;,(3)
6、. 若事件A1, A2 ,… 兩兩互斥,則有,設E是隨機試驗,Ω是樣本空間,對Ω中的每個事件A,賦予一個實數(shù)P(A) ,如果事件(集合)函數(shù) P(A) 滿足下述三條:,(1). P(A)≥0;,則稱P(A)為事件A 的概率。,注意:這里的函數(shù)P(A)與以前所學過的函數(shù)不同:P(A)的自變量是事件 ( 集合 )。,不難看出:這里事件概率的定義是在頻率性質(zhì)的基礎(chǔ)之上提出的。將來 我們會看到:頻率fn(A)在某種意義下收斂到概率P(A)的
7、結(jié)論。基于這一點,我們有理由用上述定義的概率 P(A)來度量事件A在一次試驗中發(fā)生的可能性大小。,II. 概率的性質(zhì),1. P(Ø)=0,即不可能事件的概率為零;,2. 若事件 A1,A2,…, An 兩兩互斥,則有: P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+…+P(An), 即互斥事件并的概率等于它們各自 概率之和(有限可加性);,4. 對兩個事件A和B,若A?B, 則有: P(
8、B-A)=P(B)-P(A), P(B)≥P(A)。,,3. 對任一事件A, 均有,證明:,5. 對任意兩個事件A, B,有,因 AB,A-AB,B-AB兩兩互斥,且,由概率的可加性, 有,P(A∪B)=P(AB∪(A-AB) ∪(B- AB))=P(AB)+P(A- AB)+P(B- AB)=P(AB)+P(A- AB)+P(B- AB)+P(AB) - P(AB)=P(A)+P(B) - P(AB).,A∪B = AB∪(
9、A- AB) ∪(B- AB),,說明,n個事件并的多除少補公式,特別地,n = 3 時,有,§1.3 古典概率模型,I. 什么是古典概率模型,如果試驗 E 滿足 (1).試驗結(jié)果只有有限個; (2).各個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。則稱這樣的試驗模型為等可能概率模型或古典概率模型,簡稱等可能概型或古典概型。,II. 古典概率模型中事件概率求法,因試驗E的結(jié)果只有有限種,即樣本點是有限個: ?1,?2 ,
10、…,?n 。 Ω={?1}∪{?2 }∪…∪{?n},,{?i}是基本事件,且各自發(fā)生的概率相等。,于是,有 1=P(Ω)=P({?1}∪{?2 }∪…∪{?n}) =P({?1})+P({?2 })+…+P({?n}) =n P({?i}), i=1,2,…,n。,從而, P({?i})= 1/n,i=1,2,…,n.,因此,若事件A 包含 k 個基本事件,即,則,,III. 古典概
11、模型舉例,例1:擲一顆均勻骰子,設A表示所擲結(jié)果為“四點或五點”,B表示所擲結(jié)果為“偶數(shù)點”,求P(A)和P(B)。,解:由 n=6,kA=2,得 P(A)=2/6=1/3;再由kB=3,得 P(B)=3/6=1/2。,例2:貨架上有外觀相同的商品15件,其中12件來自產(chǎn)地甲, 3件來自地乙。現(xiàn)從15件商品中隨機地抽取兩件,求這兩件商品來自一同產(chǎn)地的概率。,解:從15件商品中取出2商品,共有C215= 105種取法,且每種取法都是等可
12、能的,故n=105。令 A={兩件商品都來自產(chǎn)地甲},kA= C212=66, B={兩件商品都來自產(chǎn)地乙},kB= C23 =3,而事件: {兩件商品來自同一產(chǎn)地}=A∪B, 且A與B互斥, A∪B包含基本事件數(shù)66+3=69。故,所求概率=69/105=23/35。,例3:有外觀相同的三極管6只,按電流放大系數(shù)分類,4只屬甲類,2只屬乙類。按下列兩種方案抽取三極管兩只:(1).每次抽取一只,測試后放回,然后再抽取
13、下一只 (放回抽樣);(2).每次抽取一只,測試后不放回,然后在剩下的三 極管中再抽取下一只(不放回抽樣)。設 A={抽到兩只甲類三極管}, B={抽到兩只同類三極管}, C={至少抽到一只甲類三極管}, D={抽到兩只不同類三極管}。求 P(A),P(B),P(C),P(D)。,解: (1).由于每次抽測后放回, 因此,每次都是在6只三極管中抽取。 因第一次從6只中取一只,共有6種可能
14、取法;第二次還是從6只中取一只,還是有6種取法。故,取兩只三極管共有6?6=36種可能的取法。從而, n=36。,注意:這種分析方法使用的是中學學過的“乘法原理”。,因每個基本事件發(fā)生的可能性相同。故第一次取一只甲類三極管共有4種可能取法,第二次再取一只甲類三極管還是有4種可能取法。故,取兩只甲類三極管共有4?4=16 種可能的取法,即kA=16。所以,P(A)=16/36=4/9; 令E={抽到兩只乙類三極管},則 kE=2
15、?2=4。故,P(E)=4/36=1/9;因C是E的對立事件,所以 P(C)=1-P(E)=8/9;因B=A∪E, 且A與E互斥,得 P(B)=P(A)+P(E)=5/9;D是B的對立事件, 得 P(D)=1-P(B)=4/9。,(2).由于第一次抽測后不放回,所以第一次從6只中取一只, 共有6種可能的取法;第二次是從剩余的5只中取一只,有5種可能的取法。由乘法原理,知取兩只三極管共有n= 6?5=3
16、0種可能的取法。 由乘法原理,得 kA=4?3=12。從而P(A)=12/30=2/5; 類似地,得kE=2?1=2,P(E)=2/30=1/15;由C是E的對立事件,得 P(C)=1-P(E)=14/15;由B=A∪E, 且A與E互斥,得 P(B)=P(A)+P(E)=7/15;由D是B的對立事件, 得 P(D)=1-P(B)=8/15.,例4:n個球隨機地放入N(N≥n)個盒子中,若盒子的容量無限
17、制。求“每個盒子中至多有一球”的概率。,解: 因每個球都可以放入N個盒子中的任何一個,故每個球有N種放法。由乘法原理,將n個球放入N個盒子中共有 Nn 種不同的放法。 每個盒子中至多有一個球的放法(由乘法原理得): N(N-1)…(N-n+1)=ANn 種。故, P(A)= ANn / Nn .,設每個人在一年(按365天計)內(nèi)每天出生的可能性都相同,現(xiàn)隨機地選取n(n≤365)個人,則他們生日各不相
18、同的概率為 A365n / 365n。于是, n個人中至少有兩人生日相同的概率為 1-A365n / 365n。 表13是n取一些值的概率。,,許多問題和上例有相同的數(shù)學模型。,如(生日問題):,某人群有n個人,他們中至少有兩人生日相同的概率有多大?,,從表13可以看出: 在40人左右的人群里,十有八九會發(fā)生{兩人或兩人以上生日相同}這一事件。,把 n 個物品分成k組,使第一組有n1個,第二組有n2個,…
19、,第 k 組有nk個,且 n1+ n2+…+nk=n,則不同的分組方法數(shù)為,公式,例5:某公司生產(chǎn)的15件產(chǎn)品中,有12件正品, 3件次品。現(xiàn)將它們隨機地分裝在3個箱中, 每箱裝5件,設A={每箱中恰有一件次品}, B={三件次品都在同一箱中}。求P(A)和P(B)。,解:15件產(chǎn)品裝入3個箱中,每箱裝5件,有,種等可能的裝法。,,故,基本事件總數(shù)為,把三件次品分別裝入三個箱中,共有3!種裝法。這樣的每一種裝法取定以后
20、,把其余12件正品再平均裝入3個箱中,每箱裝4件,有,個基本事件。,再由乘法原理,可知裝箱總方法數(shù)有,即A包含,從而,,把三件次品裝入同一箱中,共有3種裝法。這樣的每一種裝法取定以后,再把其余12件正品裝入3個箱中(一箱再裝2件,另兩箱各裝5件)又有,個基本事件。故,,由乘法原理,知裝箱方法共有,即B包含,例6:設N件產(chǎn)品中有K件次品,N-K件正品, K<N。現(xiàn)從N件中每次任意抽取1件產(chǎn)品,檢查其是正品還是次品后放回;這樣共抽檢產(chǎn)
21、品n次。求事件A={所取的n件產(chǎn)品中恰有k件次品}的概率,k = 0, 1, 2, …, n。,解:假定N件產(chǎn)品有編號,從中任意取出一件,每次都有N種取法。由乘法原理,n次共有Nn種取法,故,基本事件總數(shù)為Nn。 當所取的n件產(chǎn)品中恰有k件次品時,由于取到這k件次品次序之不同,因此,從次序考慮共有Cnk種情況。,這Cnk種情況確定以后,從K件次品中取出k件,共有Kk種取法;從N-K件正品中取n-k件, 共有(N-K)n-k種取法
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 眾賞文庫僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- [學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第4講
- [學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第20講
- [學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第6講
- [學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第16講
- [學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第8講
- [學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第15講
- [學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第14講
- [學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第21講
- [學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第19講
- [學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第9講
- [學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第5講
- [學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第17講
- [學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第7講
- [學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第12講
- [學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第1講
- [學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第11講
- [學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第3講
- [學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第18講
- [學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林復習
- 概率論與數(shù)理統(tǒng)計
評論
0/150
提交評論