[學(xué)習(xí)]概率論完整ppt課件第30講_第1頁
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文檔簡介

1、,,引言,前面,我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì). 它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù). 但是,點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值,它沒有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍,使用起來把握不大. 區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷 .,,譬如,在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中,若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本,得到魚數(shù)N的極大似然估計(jì)為1000條.,若我們能給出一個(gè)區(qū)間,在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信 N 的真值位于其中. 這樣對(duì)魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了.,實(shí)際上,N的真

2、值可能大于1000條,也可能小于1000條.,也就是說,我們希望確定一個(gè)區(qū)間,使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.,,湖中魚數(shù)的真值,[ ],,這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的,稱為置信概率,置信度或置信水平.,置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.,例如,通常可取置信水平 =0.95或0.9等.,尋找置信區(qū)間的方法,一般是從確定誤差限入手.,使得,,稱 為 與 之間的誤差限

3、 .,我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量 ,根據(jù)置信水平 ,可以找到一個(gè)正數(shù) ,,只要知道 的概率分布,確定誤差限并不難.,下面我們就來正式給出置信區(qū)間的定義,并通過例子說明求置信區(qū)間的方法.,這個(gè)不等式就是我們所求的置信區(qū)間.,教材180頁已經(jīng)給出了概率分布的上側(cè)分位數(shù)(分位點(diǎn))的定義,為便于應(yīng)用,這里我們?cè)俸喴榻B一下.,在求置信區(qū)間時(shí),要查表求分位數(shù).,例如:,設(shè)0< <1, 對(duì)隨機(jī)

4、變量X,稱滿足,的點(diǎn) 為X的概率分布的上 分位數(shù).,,例如:,設(shè)0< <1, 對(duì)隨機(jī)變量X,稱滿足,的點(diǎn) 為X的概率分布的上 分位數(shù).,分布的上 分位數(shù),自由度為n的,,,設(shè)0< <1, 對(duì)隨機(jī)變量X,稱滿足,的點(diǎn) 為X的概率分布的上 分位數(shù).,,,書末附有 分布、t 分布、F分布的上側(cè)分位數(shù)表,供使用. 需要注意的事項(xiàng)在教材上有說

5、明.,至于如何由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表查表求得分位數(shù),若你對(duì)分布函數(shù)定義熟悉的話,這個(gè)問題不難解決.,現(xiàn)在回到置信區(qū)間題目上來.,一、 置信區(qū)間定義:,則稱區(qū)間 是 的置信水平(置信度、置信概率)為 的置信區(qū)間.,可見,,即要求估計(jì)盡量可靠.,可靠度與精度是一對(duì)矛盾,一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.,~N(0, 1),選 的點(diǎn)估計(jì)為,二、置信區(qū)間的求法,明確問題,是求什么參數(shù)的

6、置信區(qū)間?置信水平是多少?,解:,尋找一個(gè)待估參數(shù)和估計(jì)量的函數(shù) ,要求其分布為已知.,有了分布,就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率.,對(duì)給定的置信水平,查正態(tài)分布表得,對(duì)于給定的置信水平(大概率), 根據(jù)U的分布,確定一個(gè)區(qū)間, 使得U取值于該區(qū)間的概率為置信水平.,使,對(duì)給定的置信水平,查正態(tài)分布表得,使,從中解得,,也可簡記為,于是所求 的 置信區(qū)間為,從例1解題的過程,我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下:,1.

7、 明確問題, 是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?,置信水平 是多少?,2. 尋找參數(shù) 的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)T (X1,X2,…Xn),稱S(T, )為樞軸量.,3. 尋找一個(gè)待估參數(shù) 和估計(jì)量T的函數(shù) S(T, ),且其分布為已知.,5. 對(duì)“a≤S(T, )≤b”作等價(jià)變形,得到如下形式:,則 就是 的100( )%的置信區(qū)間.,而這與總體分布有關(guān),所以,總體分布的形式是否已

8、知,是怎樣的類型,至關(guān)重要.,這里,我們主要討論總體分布為正態(tài)的情形. 若樣本容量很大,即使總體分布未知,應(yīng)用中心極限定理,可得總體的近似分布,于是也可以近似求得參數(shù)的區(qū)間估計(jì).,教材上討論了以下幾種情形:,單個(gè)正態(tài)總體均值 和方差 的區(qū)間估計(jì).,兩個(gè)正態(tài)總體均值差 和方差比 的區(qū)間估計(jì).,比例 p 的區(qū)間估計(jì).,下面我們舉幾個(gè)例子,其余部分請(qǐng)自己看.,休息片刻繼續(xù),例2 已知某地

9、區(qū)新生嬰兒的體重X~,隨機(jī)抽查100個(gè)嬰兒,…,得100個(gè)體重?cái)?shù)據(jù),X1,X2,…,X100,解:這是單總體均值和方差的估計(jì),已知,先求均值 的區(qū)間估計(jì).,因方差未知,取,對(duì)給定的置信度 ,確定分位數(shù),使,即,從中解得,取樞軸量,從中解得,再求方差 的置信水平為 的區(qū)間估計(jì).,需要指出的是,給定樣本,給定置信水平,置信區(qū)間也不是唯一的.,對(duì)同一個(gè)參數(shù),我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間.,由標(biāo)準(zhǔn)正

10、態(tài)分布表,對(duì)任意a、b,我們可以求得P( a<U<b) .,~N(0, 1),由 P(-1.75≤U≤2.33)=0.95,這個(gè)區(qū)間比前面一個(gè)要長一些.,我們總是希望置信區(qū)間盡可能短.,類似地,我們可得到若干個(gè)不同的置信區(qū)間.,任意兩個(gè)數(shù)a和b,只要它們的縱標(biāo)包含f(u)下95%的面積,就確定一個(gè)95%的置信區(qū)間.,在概率密度為單峰且對(duì)稱的情形,當(dāng)a =-b時(shí)求得的置信區(qū)間的長度為最短.,,,a =-b,即使在概率密度不

11、對(duì)稱的情形,如 分布,F(xiàn)分布,習(xí)慣上仍取對(duì)稱的百分位點(diǎn)來計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間.,我們可以得到未知參數(shù)的的任何置信水平小于1的置信區(qū)間,并且置信水平越高,相應(yīng)的置信區(qū)間平均長度越長.,也就是說,要想得到的區(qū)間估計(jì)可靠度高,區(qū)間長度就長,估計(jì)的精度就差.這是一對(duì)矛盾.,實(shí)用中應(yīng)在保證足夠可靠的前提下,盡量使得區(qū)間的長度短一些 .,例3 某單位要估計(jì)平均每天職工的總醫(yī)療費(fèi),觀察了30天,其總金額的平均值是170元,標(biāo)準(zhǔn)差為30元,試決

12、定職工每天總醫(yī)療費(fèi)用平均值的區(qū)間估計(jì)(置信水平為0.95).,解:,設(shè)每天職工的總醫(yī)療費(fèi)為X,,近似服從正態(tài)分布,大樣本,由中心極限定理,,E(X)= ,D(X)=,未知,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S近似代替.,取樞軸量,近似N(0,1)分布,對(duì)給定的置信水平 , 確定分位數(shù),使,得均值 的置信水平為 的區(qū)間估計(jì)為,得均值 的置信水平為 的區(qū)間估計(jì)為,三、單側(cè)置信區(qū)間,上述置信

13、區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的,但對(duì)于有些實(shí)際問題,人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個(gè)方向的界限.,例如對(duì)于設(shè)備、元件的使用壽命來說,平均壽命過長沒什么問題,過短就有問題了.,這時(shí),可將置信上限取為+∞,而只著眼于置信下限,這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.,于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義:,又若統(tǒng)計(jì)量 滿足,由于方差 未知,取樞軸量,解: 的點(diǎn)估計(jì)取為樣本均值,

14、對(duì)給定的置信水平 ,確定分位數(shù),使,即,于是得到 的置信水平為 的單側(cè)置信區(qū)間為,將樣本值代入得,的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限是,1065小時(shí),請(qǐng)自己畫一張表,將各種情況下的區(qū)間估計(jì)加以總結(jié).,留作作業(yè),置信區(qū)間演示,為了使你對(duì)置信區(qū)間概念有更好的理解,并對(duì)樣本容量、置信水平對(duì)置信區(qū)間的影響建立直觀印象,請(qǐng)看演示:,同學(xué)們可通過練習(xí),掌握各種求未知參數(shù)的 置信區(qū)間的具體方法.,這一講,我們介

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