[學(xué)習(xí)]概率論完整ppt課件第15講

1、,,,例1 設(shè)生男孩的概率為p,生女孩的概率為q=1-p，令X表示隨機(jī)抽查出生的4個(gè)嬰兒中“男孩”的個(gè)數(shù).,一、,我們來(lái)求X的概率分布.,X的概率函數(shù)是：,男,女,X表示隨機(jī)抽查的4個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，生男孩的概率為 p.,X可取值0,1,2,3,4.,例2 將一枚均勻骰子拋擲3次，令X 表示3次中出現(xiàn)“4”點(diǎn)的次數(shù),X的概率函數(shù)是：,不難求得，,擲骰子：“擲出4點(diǎn)”，“未擲出4點(diǎn)”,一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)中我們只考慮兩個(gè)互逆

2、的結(jié)果：A或 ， 或者形象地把兩個(gè)互逆結(jié)果叫做“成功”和“失敗”.,新生兒：“是男孩”，“是女孩”,抽驗(yàn)產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”,這樣的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)稱作n重貝努里試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱貝努里試驗(yàn)或貝努里概型.,再設(shè)我們重復(fù)地進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn) ( “重復(fù)”是指這次試驗(yàn)中各次試驗(yàn)條件相同 )，,每次試驗(yàn)成功的概率都是p，失敗的概率都是q=1-p.,用X表示n重貝努里試驗(yàn)中事件A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則,（2）,不難驗(yàn)證：,（1）,稱

3、r.vX服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記作,X~B(n,p),當(dāng)n=1時(shí)，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1稱X服從0-1分布,例3 已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個(gè)，求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率.,解: 因?yàn)檫@是有放回地取3次，因此這3 次試驗(yàn)的條件完全相同且獨(dú)立，它是貝努里試驗(yàn).,依題意，每次試驗(yàn)取到次品的概率為0.05.,設(shè)X為所取的3個(gè)中的次品數(shù)，,于是，所求概率為：,

4、注：若將本例中的“有放回”改為”無(wú)放回”，那么各次試驗(yàn)條件就不同了，不是貝努里概型，此時(shí)，只能用古典概型求解.,古典概型與貝努里概型不同，有何區(qū)別？,請(qǐng)思考：,貝努里概型對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：,（1）每次試驗(yàn)條件相同；,二項(xiàng)分布描述的是n重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的概率分布.,（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或 ，,且P(A)=p ， ；,（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立.

5、,可以簡(jiǎn)單地說(shuō)，,例4 某類燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率是0.2，求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最多只有一個(gè)壞了的概率.,解: 設(shè)X為三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)已壞的燈泡數(shù) .,X ~ B (3, 0.8)，,把觀察一個(gè)燈泡的使用時(shí)數(shù)看作一次試驗(yàn),“使用到1000小時(shí)已壞”視為“成功”.每次試驗(yàn),“成功”的概率為0.8,P(X 1) =P(X=0)+P(X=1),=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2,=0.

6、104,對(duì)于固定n及p，當(dāng)k增加時(shí) ,概率P(X=k) 先是隨之增加直至 達(dá)到最大值, 隨后單調(diào)減少.,當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=[(n+1)p]達(dá)到最大值；,( [x] 表示不超過(guò) x 的最大整數(shù)),對(duì)于固定n及p，當(dāng)k增加時(shí) ,概率P(X=k) 先是隨之增加直至 達(dá)到最大值, 隨后單調(diào)減少.,當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1處達(dá)到最大值.,課下請(qǐng)自行證

7、明上述結(jié)論.,想觀看二項(xiàng)分布的圖形隨參數(shù)n,p的具體變化，請(qǐng)看演示,二項(xiàng)分布,二、二項(xiàng)分布的泊松近似,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，計(jì)算二項(xiàng)概率變得很麻煩，如教材例4中，要計(jì)算,我們先來(lái)介紹二項(xiàng)分布的泊松近似，后面第十七講中，我們將介紹二項(xiàng)分布的正態(tài)近似.,或諸如此類的計(jì)算問題，必須尋求近似方法.,證明見教材.,定理的條件意味著當(dāng) n很大時(shí)，pn 必定很小. 因此，泊松定理表明，當(dāng) n 很大，p 很小時(shí)有以下近似式：,其中,n 100,

8、 np 10 時(shí)近似效果就很好,請(qǐng)看演示,二項(xiàng)分布的泊松近似,實(shí)際計(jì)算中，,其中,此例說(shuō)明，當(dāng)p不是很小，而是很大( 接近于1)，可將問題略為轉(zhuǎn)換一下，仍然可以應(yīng)用泊松近似.,當(dāng) n很大時(shí)，p不是很小，而是很大( 接近于1)時(shí)， 能否應(yīng)用二項(xiàng)分布的泊松近似？,請(qǐng)看教材例5.,下面我們看一個(gè)應(yīng)用例子.,例5 為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修人員 . 設(shè)共有300臺(tái)設(shè)備，每臺(tái)的工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通

9、常的情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障可由一人來(lái)處理 . 問至少應(yīng)配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?,我們先對(duì)題目進(jìn)行分析：,300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.01. 一臺(tái)設(shè)備故障一人來(lái)處理. 問至少配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?,設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，,300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，每臺(tái)出故障概率p=0.01 . 可看作n=

10、300的貝努里概型.,X~B(n,p)，n=300, p=0.01,可見，,300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.01 . 一臺(tái)設(shè)備故障一人來(lái)處理. 問至少配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?,設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，,X~B(n,p)，n=300, p=0.01,設(shè)需配備N個(gè)維修人員，,所求的是滿足,P(X>N) < 0.01 或 P(X N

11、) 0.99,的最小的N.,設(shè)需配備N個(gè)維修人員，,所求的是滿足,P(X>N) < 0.01的最小的N.,P(X>N),n大,p小,np=3,用 =np=3的泊松近似,下面給出正式求解過(guò)程：,即至少需配備8個(gè)維修人員.,查書末的泊松分布表得,N+1 9,,即N 8,這一講，我們介紹了二項(xiàng)分布.,二項(xiàng)分布是實(shí)際中最常見的離散型分布之一.,二項(xiàng)分布描述的是n重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的概率