上海交通大學流體力學第一章

1、專 題 篇,C1. 流體的平衡,C2. 不可壓縮無粘性流體平面勢流,C3. 不可壓縮粘性流體內(nèi)流,,C4. 不可壓縮粘性流體外流,C5. 可壓縮流體流動基礎,,,C1.2 流體平衡微分方程,,C1.2.1 歐拉平衡方程,由N-S 方程,可得歐拉平衡方程,常數(shù)時，直接求解,，聯(lián)立求解,C1.2.1 歐拉平衡方程(2-1),,C1.1 引言(工程背景),,C1.2.1 歐拉平衡方程(2-2),由歐拉平衡方程

2、,稱為壓強全微分式，表示體積力在任何方向 的投影為該方向的壓強增量。,,設密度分別為ρ1 和ρ2 的兩種互不相混的液體放在同一容器中，試證明當它們處于平衡狀態(tài)時其分界面必為等壓面。,[例C1.2.2] 兩種液體的分界面：等壓面,解： 在分界面上任取相鄰 d r 的兩點 A 和 B ，dp = pA- pB 。,兩式分別除以ρ1 和ρ2 ，再相減可得,由于ρ1≠ρ2，要使上式成立, 只有dp = 0，證明分界面必為等壓面。,,,C

3、1.2.2 等壓面,沿等壓面 壓強增量為零，即 ?；?稱為等壓面微分方程式，上式表明體積力處處與等壓面垂直。,靜止流體中等壓面為水平面;繞垂直軸旋轉(zhuǎn)的流體中，等壓面為旋轉(zhuǎn)拋物面。,,C1.2.2 等壓面,,C1.2.3 流體平衡的條件,,即體積力必須有勢： 為勢函數(shù),,上式成立的充分必要條件是,對均質(zhì)流體，ρ = 常數(shù), 壓強全微分式化為,,重力是有勢力,因

4、此均質(zhì)流體在重力場中能保持平衡狀態(tài)。,C1.2.3 流體平衡的條件(2-1),,C1.2.3 流體平衡的條件(2-2),對正壓流體，ρ=ρ(p),引入一個壓強函數(shù),上式成立的充要條件也是體積力必須有勢。因此正壓流體在重力場中也能保持平衡狀態(tài)。,3. 對斜壓流體ρ=ρ(p，T)，可以證明不能在重力場中保持平衡。如赤道和極地的大氣，大范圍的海水等。,均質(zhì)流體（如淡水）和正壓流體（如等溫的空氣）在平衡時，等壓面、等勢面、等密度

5、面三者重合：,,,[例C1.2.3] 貿(mào)易風：流體平衡條件,,,形成在赤道處大氣自下向上，然后在高空自赤道流向北極；在北極大氣自上向下，最后沿洋面自北向南吹的大氣環(huán)流。通常將沿洋面自北向南吹的風稱為貿(mào)易風。,,用于靜止流體,上式適用于全流場，表示總勢能守恒。若寫成,表示總水頭保持不變。,(a) , (b) 式均稱為流體靜力學基本方程。適用條件：連通的同種均質(zhì)重力流體。,將伯努利方程,,C1.3 流體靜力學基本方程,(b),C1.3

6、流體靜力學基本方程(2-1),,流體靜力學基本方程的常用形式為,說明兩點的測壓管水頭相等。,C1.3 流體靜力學基本方程(2-2),,當 保持不變時， 改變引起 同時改變，這就是帕斯卡原理.,,,,C1.4 均質(zhì)液體相對平衡,當液體以等加速度a 作直線運動或以等角速度（向心加速度 )旋轉(zhuǎn)并達到穩(wěn)定時，液體象剛體一樣運動，N-S方程,fg 為重力。上式與歐拉平衡方程形式相同，f = fg – a 也是

7、有勢力。符合平衡條件，稱為液體的相對平衡。,設液體以等加速度a 沿水平方向作直線運動,體積力分量,f x = -a , f y = 0 , fz = -g,C1.4 均質(zhì)液體相對平衡(3-1),,C1.4.1 等加速直線運動(3-2),由壓強全微分式積分得壓強分布式,設坐標原點在液罐底部中點， 靜止時的液位為z 0 , 即 x = 0，z = z 0 ，p = p 0,，可得C = p 0+ρg z 0,壓強分布式為,壓強分

8、布,,,,C1.4.1 等加速直線運動(3-3),由dp = －ρ(adx+gdz) = 0 ，等壓面方程為,C不同時得一簇平行斜平面，自由液面(x = 0 , z = z 0 )上C = g z 0 。,設自由液面垂直坐標為z s ，方程為,等壓面,或,代入壓強分布式，令h = zs－z ，可得,證明在垂直方向壓強分布規(guī)律與靜止液體一樣。,,,設液體以等角速度ω繞中心軸z 軸旋轉(zhuǎn),體積力,壓強分布,積分得,設坐標原點在底部中點，自由

9、液面最低點的坐 標r = 0，z = z0 ，壓強p = p0 ,可得C = p0+ρg z0 .壓強分布式為,C1.4.2 等角速度旋轉(zhuǎn)運動,,fx=ω2x ，fy=ω2y ，fz= －g,,C1.4.2 等角速度旋轉(zhuǎn)運動(2-1),,C1.4.2 等角速度旋轉(zhuǎn)運動(2-2),等壓面,代入壓強分布式，令h = zs- z ，可得,由,積分得,,證明在垂直方向的壓強分布規(guī)律仍與靜止液體中一樣。,C不

10、同值時得一簇旋轉(zhuǎn)拋物面。自由液面(r = 0，z = z0)上C =－g z0。設自由液面垂直坐標為ｚs ，方程為,,[例C1.4.2] 勻角速度旋轉(zhuǎn)運動液體的相對平衡(3-1),已知: 一封閉圓筒，高H = 2m，半徑R=0.5m，注水高H0 = 1.5 m，壓強為p0=1000 N /m2。圓筒開始旋轉(zhuǎn)并逐漸加速,求: (1）當水面剛接觸圓筒頂部時的ω1、pc1 (中心) 及pw1 (邊緣) ；,(1)當邊緣水位剛達頂部

11、時，由自由面方程式,(2 ) 當氣體剛接觸圓筒底部的ω2、pc 2 及pw 2。,解：,建立坐標系Oxyz ,原點O在底部中心，靜止時 z 0 = H 0 。,取 r = 0.5 m, zs = 2 m, z0 =1 m,,[例C1.4.2] 勻角速度旋轉(zhuǎn)運動液體的相對平衡(3-2),pc1= p 0 + ρg z0 = 1000 + 9807×1 = 10806 N/m2,p w1= p 0+ρg H =1000 +

12、 9807×2 = 20612 N/m2,(2)當氣體接觸圓筒底部時，設頂部液面線的半徑為r2，由空氣容積不變,,[例C1.4.2] 勻角速度旋轉(zhuǎn)運動液體的相對平衡(3-3),在自由面方程中z 0 = 0，z s = 2 m，r = 0.53 m,,,C1.5 均質(zhì)液體對平壁的總壓力,工程 背景：壓力容器，水壩，潛艇，活塞等；結(jié)構(gòu)強度，安全性能，運動規(guī)律等。,條件：均質(zhì)液體，體積力為重力。,圖示斜平壁和坐標系Oxy ,

13、O點在自由液面上，y軸沿斜平壁向下。,在面積A上取面元dA ，縱坐標y ，淹深為,C1.5 均質(zhì)流體對平壁的壓力(2-1),,作用在dA 和A上的總壓力,在幾何上面積A 對x 軸的面積矩,pc 為形心壓強。表明作用在面積A上的總壓力大小等于形心壓強乘以面積 。,C1.5.1 平壁總壓力大小(2-2),,,設壓強中心為D，由力矩合成法則,1、積分法,總壓力,設面積慣性矩,可得,C1.5.2 平壁總壓力作用點(4-1),,C1.5.2

14、 平壁總壓力作用點(4-2),建立輔助坐標系 ,由平行移軸定理,f 稱為壓強中心對形心的橫向偏心距,當圖形對稱時為零。,稱為壓強中心對形心的縱向偏心距。同理可得,,[例C1.5.2] 矩形平壁總壓力：積分法(2-1),已知: 矩形閘門長×寬= l×b = 4×2m2, b邊與自由液面平行, l 邊θ=30°。,求: 閘門頂邊分別位于(1)水面內(nèi)；(2)水下H = 2 m深處時的

15、水總壓力F大小和壓強中心D的縱向偏心距e 。,解： 坐標系Oxz ，x軸位于自由面中，y 軸沿閘門縱軸向下,(1) 閘門頂邊位于水面內(nèi),y c1= l / 2 = 2m，rξ2 = l 2/12,說明壓強中心位于矩形的下三分點上 。,h c 1 = 0.5 l sin30°= l / 4 = 1 m,,[例C1.5.2]矩形平壁總壓力：積分法(2-2),(2) 閘門頂邊位于水面下2 m深處,y c 2= hc 2 / sinθ

16、= 3 l/ 2 = 6m, 不變,hc 2 = H + h c1=2+1= 3 m,,[例C1.5.2A] 圓形平壁總壓力(2-1),已知: 封閉油柜側(cè)壁上有一圓形封蓋, d = 0.8m h = 1.2 m ,ρ= 800 kg/m3 .,求: p0 分別為(1) 5 kPa ; (2) 2 kPa時總壓力F 和偏心距 e 。,解：(1) 當p01 = 5kPa時，在封蓋中心的壓強為,p c1 = p 01+ρgh

17、 = 5 + 0.8×9.81×1.2 = 5 + 9.42 = 14.42 (kPa),O1 點位于油面上方p 0 1 / ρg 處,h c 1 = 0.5 l sin30°= l / 4 = 1 m,,[例C1.5.2A] 圓形平壁總壓力(2-2),O2 點位于油面下方 | p 0 2 | / ρg處,(2)當 p0 2 =－2 kPa 時,p c2 = p 0 2+ρg h = -2

18、+ 9.42 = 7.42 (kPa),F2=pc 2 A= 7.42×0.503 = 3.73 (kPa),圓板 rξ2 = d 2 /16 =0.82/16=0.04 m2，偏心距為,,歸結(jié)為求平面線性平行力系的合力。壓強分布圖,C1.5.2 平壁總壓力作用點(4-3),2.幾何法,當矩形平壁與液面平行時可用幾何法求解。圖示液面與b邊平行，與l邊夾角為θ。面積分可化為線積分,,矩形 ＋ 三角形 ＝ 梯形,,C1.5.

19、2 平壁總壓力作用點(4-4),[例C1.5.2B] 矩形平壁總壓力：幾何法,用幾何法重新求解例C1.5.2,解: (1) l = 4 m, h = 0, θ=30°,(2) l = 4 m, h = 2 m，θ=30°,,,C1.6 均質(zhì)液體對曲壁的總壓力,二維曲壁的母線平行于自由液面，歸結(jié)為求端線ab(單位寬度)上的壓強合力。分為水平分力和垂直分力。工程應用中以二維曲壁為主。,,,,,,,三維曲壁有三個投

20、影面，三個投影面上的三個分力不一定共點，可化為一個合力，一個力偶，應用較少。,C1.6 均質(zhì)液體對曲壁的總壓力,,,水平分力,圖示曲壁ab，左側(cè)有水， Oxy 位于自由液面中， h軸向下。,C1.6.1 二維曲壁,ab 面積(單位寬度)沿水平方向投影為,ab 面積(單位寬度)沿垂直方向投影為,面積元dA上的水平方向微元壓力,ab上總壓力水平分力為,h x c 為投影面積A x形心的淹深。,,C1.6.1 二維曲壁(4-1),,C1

21、.6.1 二維曲壁(4-2),垂直分力,若曲壁 在水平方向投影有重疊時，該部分水平合力為零。,面積元dA上的垂直方向微元壓力,ab上總壓力垂直分力為,,壓力體,,,C1.6.1 二維曲壁(4-3),總壓力合成,壓力體內(nèi)液體的重量構(gòu)成對曲壁的垂直壓力。,水平分力Fx 的作用線按求平壁總壓力作用點方法確定。垂直分力Fh的作用線通過壓力體的重心。,總壓力大小為,方位角,,C1.6.1 二維曲壁(4-4),虛壓力體,圖示曲壁ab下方有水，

22、上方是空的。總壓力的垂直分力為,稱τ’p為虛壓力體，垂直分力方向向上。,壓力體的虛實取決于大氣壓液面與壁面的相對位置，一種判別方法為,,[例C1.6.1A] 二維曲壁總壓力 (2-1),已知: 圖示封閉容器斜壁 α= 45° ，方孔邊長 l = 0.4 m，蓋有半圓柱形蓋. H = 0.5 m,壓強為p0 = 0.25 atm,求: 蓋所受總壓力大小與方向 。,解： 基準面離液面p0 / ρg，坐標系Oxyh,(

23、1) 蓋ABE的水平投影面積Ax = l 2 cos45 °，水平方向合力分量為,I,,[例C1.6.1.A] 二維曲壁總壓力 (2-2),(3) 總壓力,(2) 蓋ABE垂直投影,AB段的壓力體為負,BE段的壓力體為正,分別與 組合,I,,,C1.7.1 阿基米德浮力定律,第一浮力定律：沉體受到的浮力 等于排開的液體重量。,上半部受力,C1.7 浮力與穩(wěn)定性,第二浮力定律：浮體排開液體重量等于自身重量。,下

24、半部受力,,C1.7.1 阿基米德浮力定律(2-1),,C1.7.1 阿基米德浮力定律(2-2),對浮體，浸沒部分為,浮心：浸沒部分液體的形心C,浮軸：通過浮心的垂直軸,,,,被測液體液面線將在基準線以下Δh位置處,[例C1.7.1] 液體比重計,液體比重計如圖，比重計插入蒸餾水(4℃)中，液面基準線(SG=1),排水體積為τ0 。,SG為被測液體的比重，k為常數(shù)。當SG＞1時刻度線在基準線的下方，當SG＜1時刻度線在基準線的上方

25、。,,取決于重心G 與浮心C 相對位置,1、潛體的平衡(浮心不變),潛體：水下艦艇、水雷、氣艇、氣球等。,浮體：水面艦船、船塢、浮吊、浮標等。,平衡條件：(1) 浮力＝重力； (2) 浮軸＝重力線,(1) G 在C下方：穩(wěn)定平衡,(2) G 在C上方：不穩(wěn)定平衡,(3) G 與C重合：隨遇平衡,C1.7.2 潛體與浮體的穩(wěn)定性(2-1),,C1.7.2 潛體與浮體的穩(wěn)定性(2-2),GM = CM –CG,(2) G 在C下

26、方：穩(wěn)定平衡,(3) G 在C上方：不穩(wěn)定平衡,(1) G 與C重合：隨遇平衡,2、浮體的平衡(浮心改變),兩根浮軸的交點稱為穩(wěn)心M，CM為穩(wěn)心半徑,為水線面積對形心軸 的慣性矩, 為排水體積。,(2) G M>0,G在M下方, 穩(wěn)定平衡,(3) GM<0 ,G在M上方, 不穩(wěn)定平衡,(1) GM＝0 隨遇平衡,,1、在對流層(0～11km),歐拉平衡方程,即,中ρ不為常數(shù)，滿

27、足狀態(tài)方程,C1.8 大氣中的壓強(4-1),,C1.8 大氣中的壓強(4-2),標準國際大氣模型規(guī)定(海平面上z＝0),T0 = 288.15 K,p0 =101.33 kPa (ab),ρ0=1.225 kg/m3,μ0 =1.789×10-5 Pa·s,,C1.8 大氣中的壓強(4-3),對流層中,p = 101.3 (1－2.257×10-5 z )5.2565,式中

28、 。 在 z1 = 11000 m 處，T1=216.5 K，p1 = 22.6 kPa。,2、在同溫層(11～20km),設T = T 2≡216.5K ,由,由邊界條件z = z1=11000 m, p = p1 = 22.6 kPa,,C1.8 大氣中的壓強(4-4),可得,大氣壓強分布如圖示。,如在z =20.1 km處 p = 5.5 kPa,z 的單位為m。,p = 22.