太原理工大學(xué)數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第1.3節(jié)-抽樣分布

1、五、正態(tài)總體樣本均值和方差的分布,六、一些非正態(tài)總體樣本均值的分布,第1.3節(jié) 抽樣分布,,一、 分布,二、t 分布,三、F 分布,四、概率分布的分位數(shù),抽樣分布的定義,統(tǒng)計(jì)量既然是依賴于樣本的,而后者又是隨機(jī)變量,故統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量,因而就有一定的分布.稱這個(gè)分布為“抽樣分布”. 也即抽樣分布就是統(tǒng)計(jì)量的分布.,抽樣分布,(小樣本問題中使用),(大樣本問題中使用),這一節(jié), 我們來討論正態(tài)總體的抽樣分布.,一、 分布,首先回

2、顧以前學(xué)過的5類分布族：,本節(jié)將介紹其他幾類分布族，它們將在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中起著重要的作用.,1. ?函數(shù),?函數(shù)的性質(zhì)：,2. ?分布（補(bǔ)充內(nèi)容）,定義,3. ?分布的性質(zhì),性質(zhì)1,注：指數(shù)分布為特殊的,其中,證,性質(zhì)2(可加性),4. 分布,定義1.8,定理1.6,注,,證,性質(zhì)1,證明,性質(zhì)2,(此性質(zhì)可以推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形),性質(zhì)3,定理1.7,?分布（補(bǔ)充內(nèi)容，不講）,1. ß分布的密度函數(shù),定義,2.

3、 ß分布的圖象特征,,,O,1,,,,,,,O,1,,,O,1,,,,,,,,3. ß分布的性質(zhì),性質(zhì)1,性質(zhì)2,性質(zhì)3,二、t分布族,1. t分布,定義1.9,t 分布又稱學(xué)生氏(Student)分布.,,學(xué)生氏,定理1.8,證,此問題可以利用商的概率密度計(jì)算公式計(jì)算.,2. t分布的密度函數(shù),因此,再由商的概率密度計(jì)算公式可得,因而定理1.8成立。,3. t分布的圖象特征,當(dāng)n充分大時(shí), 其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量

4、概率密度的圖形.,利用Stirling公式,可以證明,利用重要極限可以證明,因而,4. t分布的性質(zhì),性質(zhì)1,性質(zhì)2,此分布的數(shù)學(xué)期望不存在.,三、F分布,定義1.10,1. F分布,2. F分布的密度函數(shù),定理1.9,證明,利用兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量商的概率密度函數(shù)計(jì)算公式可得,根據(jù)定義可知,,3. F分布的幾何特征,4. F分布的性質(zhì),性質(zhì)1,性質(zhì)2,性質(zhì)3,定理1.10,則,意義：在方差分析中有重要作用,例1,解,且兩者獨(dú)立, 由

5、定義1.9可知,重點(diǎn)：利用三種分布定義做題,解,例2,例3,解,四 概率分布的分位數(shù),1. 定義,2. 常用分布的上側(cè)分位數(shù)記號(hào),3. 查表法,(1) 若X的分布密度關(guān)于y軸對稱，則,,,,,,特例：,,附表2-1,根據(jù)正態(tài)分布的對稱性知,,附表2-2,0.95,0.975,由分布的對稱性知,,附表3-1,,附表3-2,在Matlab中求解,(2) 若X的分布密度無對稱性，,,附表4-1,(表4只詳列到 n=60 為止).,,附表4-2

6、,,附表4-3,例如：,費(fèi)歇(R.A.Fisher)公式：,此外，還可利用關(guān)系,,附表 5,,附表 8,證,五、正態(tài)總體樣本均值和方差的分布,1. 單個(gè)總體樣本均值的分布,定理1.11,證,所以,2. 單個(gè)總體樣本方差的分布,定理1.12,注,自由度減少一個(gè)!,減少一個(gè)自由度的原因：,事實(shí)上，它們受到一個(gè)條件的約束：,,證,因而,構(gòu)造正交矩陣T使得,,因而,又由于,證,且兩者獨(dú)立, 由 t 分布的定義知,定理1.13,3.

7、單個(gè)總體修正樣本均方差的分布,4. 兩個(gè)正態(tài)總體樣本均值差的分布,定理1.14,總體X和Y，則,證,由定理1.11及定理1.12，知,定理1.15,總體X和Y，則,5. 兩個(gè)正態(tài)總體樣本方差商的分布,證,六、一些非正態(tài)總體樣本均值的分布,1. 問題的提出,,抽樣分布的精確分布可以歸屬到計(jì)算隨機(jī)變量或隨機(jī)向量函數(shù)的分布，但是從關(guān)于隨機(jī)變量或隨機(jī)向量函數(shù)的分布介紹中可以看到計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，因而對于一般總體情形下的抽樣分布的計(jì)算幾乎

8、無法完成，因而對于一般情形，我們一方面可以考慮特殊總體情形下的抽樣精確分布，另一方面考慮大樣本情形下抽樣分布的漸近分布。,2. 特殊情形下抽樣分布 的精確分布,例4(p26例1.14),解,由二項(xiàng)分布的可加性可知,因此,例5(p26例1.15),解,由泊松分布的可加性可知,因此,例6(p27例1.16),解,由于指數(shù)分布是?(1,?)，因而由其可加性可知,因此,故,3. 一般情形下樣本均值的漸近分布,定理1.16,即,證,由林德

9、貝格－列維中心極限定理可知,因而,例7(p27例1.17),解,由例1.14可知，其精確分布為,由定理1.16可知，其漸近分布為正態(tài)分布,4. 一般情形下樣本方差的漸近分布,定理1.17,定理1.18,定理1.17與定理1.18證明有點(diǎn)復(fù)雜，因而省略，可以參閱其他參考書。,,附表2-1,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,,,1.645,,,附表4-1,分布表,17.535,,,附表3-1,分布表,1.8125,費(fèi)歇資料,Ronald Aylmer F