概率論第八章

1、1,第八章 假設(shè)檢驗(yàn),例1. 某車間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖.包得的袋裝糖重是一個(gè)隨機(jī)變量,它服從正態(tài)分布.當(dāng)機(jī)器正常時(shí),其均值為0.5公斤,標(biāo)準(zhǔn)差為0.015公斤.某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常,隨機(jī)地抽取它所包裝的糖9袋,稱得凈重為: 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 問機(jī)器是否正常？,“概率反證法

2、”思想： 為了檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè)是否成立，先假定它是成立的，然后看在這個(gè)假設(shè)成立的條件下，是否會(huì)導(dǎo)致不合理結(jié)果。,“反證法”思想： 為了證明某個(gè)命題不成立，先假定它是成立的，然后在這個(gè)命題成立的條件下，推出矛盾。,4,在顯著性水平a下, 檢驗(yàn)假設(shè)H0:m=m0, H1:m?m0. (1.2),H0稱為原假設(shè)或零假設(shè), H1稱為備擇假設(shè).,5,如果假設(shè)H0為真,,則觀察值`x與m0的偏差|`x-

3、m0|一般不應(yīng)太大.,6,因?yàn)闆Q策的依據(jù)是樣本, 當(dāng)實(shí)際上H0為真時(shí)仍可能做出拒絕H0的決策.這是一種棄真錯(cuò)誤, 犯這種錯(cuò)誤的概率記為,P{當(dāng)H0為真拒絕H0}?a.(1.1),7,由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位點(diǎn)的定義得: k=za/2.,8,冤假錯(cuò)案,漏網(wǎng)之魚,這種只對(duì)犯第I類錯(cuò)誤的概率加以控制, 而不考慮犯第II類錯(cuò)誤的概率的檢驗(yàn),稱為顯著性檢驗(yàn).,11,形如(1.2)式中的備擇假設(shè)H1, 表示m1可能大于也可能小于m0, 稱

4、為雙邊備擇假設(shè), 而稱形如(1.2)式的假設(shè)檢驗(yàn)為雙邊假設(shè)檢驗(yàn).,前面的檢驗(yàn)問題常敘述成:在顯著性水平a下, 檢驗(yàn)假設(shè)H0:m=m0, H1:m?m0. (1.2),當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取某個(gè)區(qū)域C中的值時(shí), 我們拒絕原假設(shè)H0, 則C稱為拒絕域, 拒絕域的邊界點(diǎn)稱為臨界點(diǎn),,12,綜上所述, 處理參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問題步驟為:1. 根據(jù)實(shí)際問題的要求, 提出原假設(shè)H0及備擇假設(shè)H1;,2. 給定顯著性水平a以

5、及樣本容量n;,3. 確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量以及拒絕域的形式;,4. 按P{當(dāng)H0為真拒絕H0}<a求出拒絕域;,5. 取樣, 根據(jù)樣本觀察值作出決策, 是接受H0還是拒絕H0.,練習(xí)1．已知某煉鐵廠生產(chǎn)的鐵水的含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布N(4.55,0.122). 現(xiàn)在測定了9爐鐵水，測得其平均含碳量為4.49, 若方差沒有變化，可否認(rèn)為現(xiàn)在生產(chǎn)的鐵水的平均含碳量仍為4.55(取a=0.05)?,14,有時(shí)只關(guān)心總體均值是否增大.

6、例如試驗(yàn)新工藝以提高材料的強(qiáng)度。此時(shí)，我們需要檢驗(yàn)假設(shè)H0:m?m0, H1:m>m0. (1.3)形如(1.3)的假設(shè)檢驗(yàn), 稱為右邊檢驗(yàn)。,類似地, 有時(shí)需要檢驗(yàn)假設(shè)H0:m?m0,H1:m<m0.(1.4)形如(1.4)的假設(shè)檢驗(yàn), 稱為左邊檢驗(yàn).,15,設(shè)總體X~N(m,s2), s為已知, X1,X2,...,Xn是來自X的樣本. 給定顯著性水平a. 來求檢驗(yàn)

7、問題H0:m?m0, H1:m>m0(1.3)的拒絕域.,拒絕H0,拒絕H0,H0:m?m0, H1:m>m0(1.4)的拒絕域.,16,例 公司從生產(chǎn)商購買牛奶。公司懷疑生產(chǎn)商在牛奶中摻水以謀利。通過測定牛奶的冰點(diǎn)，可以檢測出牛奶是否摻水。天然牛奶的冰點(diǎn)溫度近似服從正態(tài)分布，均值m0=-0.545，標(biāo)準(zhǔn)差為s=0.008.牛奶摻水可使冰點(diǎn)溫度升高而接近于水的冰點(diǎn)溫度，測得生產(chǎn)商提交的5批牛奶的冰點(diǎn)溫度

8、，其均值為-0.535. 問是否可以認(rèn)為生產(chǎn)商在牛奶中摻水？ 取顯著性水平a=0.05。,第二節(jié) 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn),一、單個(gè)總體均值 的檢驗(yàn),二、兩個(gè)總體均值差的檢驗(yàn),三、基于成對(duì)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn),,,一、單個(gè)總體 均值 的檢驗(yàn),,,,,,,,0,,a/2,ta/2(n-1),,a/2,- ta/2(n-1),在實(shí)際中, 正態(tài)總體的方差常為未知, 所以我們常用 t 檢驗(yàn)法來檢驗(yàn)關(guān)于正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)

9、問題.,上述利用 t 統(tǒng)計(jì)量得出的檢驗(yàn)法稱為t 檢驗(yàn)法.,某種電子元件的壽命X(以小時(shí)計(jì))服從正態(tài)分布, 均為未知. 現(xiàn)測得16只元件的壽命如下:,問是否有理由認(rèn)為元件的平均壽命等于225(小時(shí))?,例,解,依題意需檢驗(yàn)假設(shè),二、兩個(gè)總體 的情況,關(guān)于均值差的其它兩個(gè)檢驗(yàn)問題的拒絕域見表8.1,,例2 P185,三、基于成對(duì)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn),有時(shí)為了比較兩種產(chǎn)品

10、, 或兩種儀器, 兩種方法等的差異, 我們常在相同的條件下作對(duì)比試驗(yàn), 得到一批成對(duì)的觀察值. 然后分析觀察數(shù)據(jù)作出推斷. 這種方法常稱為逐對(duì)比較法.,例3 有兩臺(tái)光譜儀Ix , Iy ,用來測量材料中某種金屬的含量, 為鑒定它們的測量結(jié)果有無顯著差異, 制備了9件試塊(它們的成分、金屬含量、均勻性等各不相同), 現(xiàn)在分別用這兩臺(tái)機(jī)器對(duì)每一試塊測量一次, 得到9對(duì)觀察值如下:,問能否認(rèn)為這兩臺(tái)儀器的測量結(jié)果有顯著的差異?,,30,設(shè)有

11、n對(duì)相互獨(dú)立的觀察結(jié)果:(X1,Y1), (X2,Y2), ..., (Xn,Yn), 令D1=X1-Y1,, ..., Dn=Xn-Yn,,由于D1,…,Dn是由同一因素所引起的，可認(rèn)為它們來自同一總體。,設(shè)Di~N(mD, sD2), i=1,2,...,n, 其中mD, sD2未知.,則D1,D2,...,Dn相互獨(dú)立.,D1,…,Dn是來自總體N(mD, sD2)的簡單隨機(jī)樣本。,31,我們需要基于這一樣本檢驗(yàn)假設(shè):(1)H0

12、:mD=0, H1:mD?0;(2)H0:mD?0, H1:mD>0;(3)H0:mD?0, H1:mD<0.,D1,…,Dn是來自總體N(mD, sD2)的簡單隨機(jī)樣本。,32,分別記D1,D2,...,Dn的樣本均值和樣本方差的觀察值為`d, sD2, 按表8.1中單個(gè)正態(tài)總體均值的 t 檢驗(yàn). 知檢驗(yàn)問題(1),(2),(3),的拒絕域分別為(顯著性水平為a):,拒絕域?yàn)?認(rèn)為這兩臺(tái)儀器的測量結(jié)果無顯著的差異.,

13、,,,第三節(jié) 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn),一、單個(gè)總體的情況,二、兩個(gè)總體的情況,,,,一、單個(gè)總體 的情況,(1) 要求檢驗(yàn)假設(shè):,為了計(jì)算方便, 習(xí)慣上取,解,例1 某廠生產(chǎn)的某種型號(hào)的電池, 其壽命長期以來服從方差 =5000 (小時(shí)2) 的正態(tài)分布, 現(xiàn)有一批這種電池, 從它生產(chǎn)情況來看, 壽命的波動(dòng)性有所變化. 現(xiàn)隨機(jī)的取26只電池, 測出其壽命的樣本方差 =9200(小時(shí)2). 問

14、根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動(dòng)性較以往的有顯著的變化?,拒絕域?yàn)?,認(rèn)為這批電池的壽命波動(dòng)性較以往有顯著的變化.,二、兩個(gè)總體 的情況,需要檢驗(yàn)假設(shè):,為了計(jì)算方便, 習(xí)慣上取,例1 設(shè)總體X服從N(m,s2), m未知，s2=100，現(xiàn)有樣本x1,x2,…,x52,算得樣本均值為62.75.現(xiàn)在來檢驗(yàn)假設(shè),第8節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)問題的p值法,以上討論的假設(shè)檢驗(yàn)方法稱為

15、臨界值法。,采用Z檢驗(yàn)法，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值為,這個(gè)概率稱為Z檢驗(yàn)法的右邊檢驗(yàn)的p值。,看z0是否落入拒絕域,,是原假設(shè)H0可被拒絕的最小顯著性水平。,對(duì)于任意給定的顯著性水平a，,s2 未知時(shí)，可采用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,由樣本求得統(tǒng)計(jì)量t的觀測值為t0,,,,,,,p值,t0,,,,,,,p值,t0,,,,,,,0.5p值,t0,,,,,,,0.5p值,t0,稱拒絕H0的依據(jù)很強(qiáng)，或稱檢驗(yàn)是高度顯著的。,稱拒絕H0的依據(jù)是強(qiáng)的