材料力學(xué)08第八章 組合變形

1、第八章 組 合 變 形,Chapter8 Combined deformation,材料力學(xué),,Mechanics of Materials,,第八章 組合變形 （Combined deformation),組合變形,,,一、組合變形的概念(Concepts of combined deformation) 構(gòu)件在荷載作用下發(fā)生兩種或兩種以上的基本變形, 則構(gòu)件的變形稱為組合變形。,二、解決組合變形問(wèn)

2、題的基本方法－疊加法 (Basic method for sloving combined deformation-superposition method),疊加原理的成立要求：內(nèi)力，應(yīng)力，應(yīng)變，變形等與外力之間成線性關(guān)系。,§8-1 組合變形和疊加原理(Combined deformation and superposition method),三、工程實(shí)例 (Engineering examples),,,,1、

3、外力分析(Analysis of external force） 將外力簡(jiǎn)化并沿主慣性軸分解，將組合變形分解為基本變形,使之每個(gè)力(或力偶)對(duì)應(yīng)一種基本變形,3、應(yīng)力分析(Stress analysis) 畫(huà)出危險(xiǎn)截面的應(yīng)力分布圖，利用 疊加原理 將基本變形下的應(yīng)力和變形疊加, 建立危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度條件,四、處理組合變形的基本方法 ( Basic method for solving combined d

4、eformation),,2、內(nèi)力分析（Analysis of internal force ） 求每個(gè)外力分量對(duì)應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖，確定危險(xiǎn)截截面。分別計(jì)算在每一種基本變形下構(gòu)件的應(yīng)力和變形,,一、受力特點(diǎn) (Character of external force),桿件將發(fā)生拉伸 (壓縮 ) 與彎曲組合變形,作用在桿件上的外力既有軸向拉( 壓 )力，還有橫向力,二、變形特點(diǎn)(Character of deformati

5、on),§8-2 拉伸(或壓縮)與彎曲的組合(Combined axial loading and bending),,F1 產(chǎn)生彎曲變形,F2 產(chǎn)生拉伸變形,Fy 產(chǎn)生彎曲變形,Fx 產(chǎn)生拉伸變形,示例1,示例2,三、內(nèi)力分析(Analysis of internal force),,橫截面上內(nèi)力(Internal force on cross section),2、彎曲 ?,1、拉(壓) ：軸力 FN (Axial

6、force),彎矩 MZ (Bending moment),剪力FS(shear force),因?yàn)橐鸬募魬?yīng)力較小，故一般不考慮。,,,橫截面上任意一點(diǎn) ( z, y) 處的正應(yīng)力計(jì)算公式為,四、應(yīng)力分析(Analysis of stress),1 、拉伸正應(yīng)力(Axial normal stress),2、彎曲正應(yīng)力(Bending normal stress),軸力(Axial force),所以跨中截面是桿的危險(xiǎn)截面,,,

7、F2,F2,,,,,,,l/2,l/2,3、危險(xiǎn)截面的確定 (Determine the danger cross section),作內(nèi)力圖,彎矩(Bending moment),?,拉伸正應(yīng)力,最大彎曲正應(yīng)力,,?,,,,,,,,,,桿危險(xiǎn)截面 下邊緣各點(diǎn) 處上的拉應(yīng)力為,4、計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力(Calculating stress of the danger point),,,,,,F2,F2,,,,,,,l/2,l/2,,,,當(dāng)材

8、料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力不相等時(shí)，應(yīng)分別建立桿件的抗拉、 抗壓強(qiáng)度條件。,五、強(qiáng)度條件(Strength condition),由于危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)仍為單向應(yīng)力狀態(tài)，故其強(qiáng)度條件為,例題1 懸臂吊車如圖所示。橫梁用20a工字鋼制成。其抗彎剛度 Wz = 237cm3,橫截面面積 A=35.5cm2，總荷載F= 34kN，橫梁材料的許用應(yīng)力為[?]=125MPa。校核橫梁AB的強(qiáng)度。,F,,,,,,A,C,D,,,,,

9、,1.2m,1.2m,,,B,30°,AB桿為平面彎曲與軸向壓縮組合變形,中間截面為危險(xiǎn)截面。最大壓應(yīng)力發(fā)生在該截面的上邊緣,解：(1) 分析AB的受力情況,F,,,,,,A,C,D,,,,,,1.2m,1.2m,,30°,,B,(2) 壓縮正應(yīng)力,(3) 最大彎曲正應(yīng)力,(4)危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力,B,,,,A,D,F,FRAy,FRAx,,,F,,,,,,A,C,D,,,,,,1.2m,1.2m,,30°,

10、,B,例題2 小型壓力機(jī)的鑄鐵框架如圖所示。已知材料的許用拉應(yīng)力 [?t] =30MPa ，許用壓應(yīng)力 [?c] =160MPa。試按立柱的強(qiáng)度確定壓力機(jī)的許可壓力F。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,350,F,F,,,,,,,,,,,,50,50,150,150,,,,,解：(1) 確定形心位置,A=15?10-3 m2,Z0 =7.5cm,Iy = 5310cm4,計(jì)算截面對(duì)中性軸 y 的慣性矩,,,,,,,,,,,,,

11、,,,,,,350,F,F,,,,,,,,,,,,50,50,150,150,,,,,(2) 分析立柱橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力,在 n—n 截面上有軸力 FN及彎矩 My,n,n,,,,,,,,,,,,,,,,,,,350,F,F,,,,,,,,,,,,,50,50,150,150,,,,,由軸力 FN產(chǎn)生的拉伸正應(yīng)力為,n,n,,,,,,,,,,,,,,,,,,,350,F,F,,,,,,,,,,,,50,50,150,150,,,,,

12、,,,,,,由彎矩 My產(chǎn)生的最大彎曲正應(yīng)力為,,,,,50,50,150,150,,,,n,n,,,,,,,,,,,,,,,,,,,350,F,F,,,,,（3）疊加,在截面內(nèi)側(cè)有最大拉應(yīng)力,,,,,,,,,,50,50,150,150,,,,n,n,,,,,,,,,,,,,,,,,,,350,F,F,,,,,在截面外側(cè)有最大壓應(yīng)力,[F] ? 45.1 kN,所以取,,,,,,,,,,50,50,150,150,,,,n,n,,,,

13、,,,,,,,,,,,,,,,350,F,F,,,,,例題3 正方形截面立柱的中間處開(kāi)一個(gè)槽，使截面面積為原來(lái)截面面積的一半。求開(kāi)槽后立柱的的最大壓應(yīng)力是原來(lái)不開(kāi)槽的幾倍。,,,,,,,F,,,,,,,,F,,,,,,,,,,,,,,,,1,1,,,,未開(kāi)槽前立柱為軸向壓縮,解：,,,,,F,,,,,,開(kāi)槽后1-1是危險(xiǎn)截面,危險(xiǎn)截面為偏心壓縮,將力 F 向1-1形心簡(jiǎn)化,例題4 矩形截面柱如圖所示，F(xiàn)1的作用線與桿軸線重合，

14、F2作用在 y 軸上。已知: F1= F2=80kN，b=24cm , h=30cm。如要使柱的 m—m 截面只出現(xiàn)壓應(yīng)力，求 F2 的偏心距 e。,解：,(1) 外力分析 將力 F2 向截面形心簡(jiǎn)化后，梁上的外力有,軸向壓力,力偶矩,,,,,,F1,m,m,,,,(2) m--m 橫截面上的內(nèi)力有,軸力,彎矩,軸力產(chǎn)生壓應(yīng)力,彎矩產(chǎn)生的最大正應(yīng)力,,(3)依題的要求,整個(gè)截面只有壓應(yīng)力,得,,,,,,F1,m,m,,,,,&#

15、167;8-3 偏心拉（壓）? 截面核心(Eccentric loads &the kern of a section),1、定義（Definition) 當(dāng)外力作用線與桿的軸線平行但不重合時(shí)，將引起軸向拉伸（壓縮）和平面彎曲兩種基本變形。,一、偏心拉（壓） (Eccentric loads）,,,,,x,y,z,2、以橫截面具有兩對(duì)稱軸的等直桿承受偏心拉力 F 為例,(1) 將外力向截面形心簡(jiǎn)化，使每個(gè)力(或力偶)只產(chǎn)生一

16、種基本變形形式,軸向拉力 F,力偶矩 m = F e，,將 m 向y軸和z軸分解,F 使桿發(fā)生拉伸變形,My 使桿發(fā)生 xz 平面內(nèi)的彎曲變形（y 為中性軸）,Mz 使桿發(fā)生 xy 平面內(nèi)的彎曲變形（z 為中性軸）,二、任意橫截面n-n上的內(nèi)力分析（Analysis of internal force on any cross section n-n),軸力 FN= F,彎矩,三、任意橫截面 n-n 上 C 點(diǎn)

17、的應(yīng)力分析(Stress analysis at point c on cross section n-n),,由 F產(chǎn)生的正應(yīng)力,由 My 產(chǎn)生的正應(yīng)力,由 Mz 產(chǎn)生的正應(yīng)力,由于 C 點(diǎn)在第一象限內(nèi),根據(jù)桿件的變形可知,,由疊加原理，得 C點(diǎn)處的正應(yīng)力為,均為拉應(yīng)力,,式中,A為橫截面面積;,Iy , Iz 分別為橫截面對(duì) y 軸和 z 軸的慣性矩;,( zF，yF ) 為力 F 作用點(diǎn)的坐標(biāo);,( z，y) 為所求應(yīng)力

18、點(diǎn)的坐標(biāo).,,,上式是一個(gè)平面方程。表明正應(yīng)力在橫截面上按線性規(guī)律變化。應(yīng)力平面與橫截面的交線（直線 ? = 0）就是中性軸。,四、中性軸的位置（The location of neutral axis),,,令 y0 , z0 代表中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，即得中性軸方程,討論,(1) 在偏心拉伸 (壓縮) 情 況下，中性軸是一條不通過(guò)截面形心的直線,,,,y,z,O,(2) 用 ay和 az 記中性軸在 y , z 兩

19、軸上的截距，則有,(3) 中性軸與外力作用點(diǎn)分別處于截面形心的相對(duì)兩側(cè),,,z,（4）中性軸將橫截面上的應(yīng)力區(qū)域分為拉伸區(qū)和壓縮區(qū),橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別為D1 , D2 兩切點(diǎn),(a),(b),(c),,,,,y,y,z,z,,(5) 對(duì)于周邊具有棱角的截面，其危險(xiǎn)點(diǎn)必定在截面的棱角處，并可根據(jù)桿件的變形來(lái)確定,,,?N,FyF/Wz,,,最大拉應(yīng)力 ?tmax 和最大壓應(yīng)力 ?cmin 分別在截面的棱角 D1

20、 D2 處 . 無(wú)需先確定中性軸的位置 ,直接觀察確定危險(xiǎn)點(diǎn)的位置即可,五、強(qiáng)度條件 (Strength condition),由于危險(xiǎn)點(diǎn)處仍為單向應(yīng)力狀態(tài)，因此，求得最大正應(yīng)力后，建立的強(qiáng)度條件為,,,,y,z,六、截面核心（The kern of a section),（yF，zF）為外力作用點(diǎn)的坐標(biāo),ay，az為中性軸在y軸和z軸上的截距,當(dāng)中性軸與圖形相切或遠(yuǎn)離圖形時(shí)，整個(gè)圖形上將只有拉應(yīng)力或只有壓應(yīng)力,,,,y,z,y

21、,z,,,,y,z,,y,z,,,,截面核心,1、定義(Definition) 當(dāng)外力作用點(diǎn)位于包括截面形心的一個(gè)區(qū)域內(nèi)時(shí)，就可以保證中性軸不穿過(guò)橫截面（整個(gè)截面上只有拉應(yīng)力或壓應(yīng)力 ，這個(gè)區(qū)域就稱為截面核心 (The kern of a section),,y,z,當(dāng)外力作用在截面核心的邊界上時(shí)，與此相應(yīng)的中性軸正好與截面的周邊相切。截面核心的邊界就由此關(guān)系確定。,2、截面核心的確定(Determine the k

22、ern of a section),,,,例5 求圓形截面的截面核心,圓截面的慣性半徑,,由于圓截面對(duì)于圓心O是對(duì)稱的,因而,截面核心的邊界對(duì)于圓也應(yīng)是對(duì)稱的,從而可知,截面核心邊界是一個(gè)以O(shè)為圓心,以 d/8為半徑的圓,2,例6 求矩形截面的截面核心(The kern of a rectangle section),矩形截面的,直線 ? 繞頂點(diǎn) B 旋轉(zhuǎn)到直線 ? 時(shí)，將得到一系列通過(guò) B點(diǎn)但斜率不同的中性軸，而 B點(diǎn)坐標(biāo)

23、 yB , zB 是這一系列中性軸上所共有的。,,這些中性軸方程為,,上式可以看作是表示外力作用點(diǎn)坐標(biāo)間關(guān)系的直線方程 。,故外力作用點(diǎn)移動(dòng)的軌跡是直線。,這些中性軸方程為,,研究對(duì)象(Research object) 圓截面桿(circular bars),受力特點(diǎn)(Character of external force) 桿件同時(shí)承受轉(zhuǎn)矩和橫向力作用,變形特點(diǎn)(Character of

24、deformation) 發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲兩種基本變形,§8-4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合(Combined bending and torsion),一、 內(nèi)力分析 (Analysis of internal force),設(shè)一直徑為 d 的等直圓桿 AB , B 端具有與 AB 成直角的剛臂。研究AB桿的內(nèi)力。,將力 F 向 AB 桿右端截面的形心B簡(jiǎn)化得,橫向力 F （引起平面

25、彎曲）,力偶矩 m = Fa （引起扭轉(zhuǎn)）,AB 桿為彎、扭組合變形,畫(huà)內(nèi)力圖確定危險(xiǎn)截面,固定端A截面為危險(xiǎn)截面,,,Fl,,A截面,,二、應(yīng)力分析(Stress analysis),危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)為C1 和 C2 點(diǎn),最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力 ? 發(fā)生在截面周邊上的各點(diǎn)處。,危險(xiǎn)截面上的最大彎曲正應(yīng)力? 發(fā)生在C1 、C2 處,,A截面,對(duì)于許用拉、壓應(yīng)力相等的塑性材料制成的桿，這兩點(diǎn)的危險(xiǎn)程度是相同的。 可取任

26、意點(diǎn)C1 來(lái)研究。,C1 點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài),該點(diǎn)的單元體如圖示,,三、強(qiáng)度分析(Analysis of strength condition),1、主應(yīng)力計(jì)算 (Calculating principal stress),2、相當(dāng)應(yīng)力計(jì)算(Calculating equal stress),第三強(qiáng)度理論,計(jì)算相當(dāng)力,第四強(qiáng)度理論,計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力,?,?,,,3、強(qiáng)度校核（Check the strength),?,?,,,1,

27、該公式適用于圖示的平面應(yīng)力狀態(tài)。? 是危險(xiǎn)點(diǎn)的正應(yīng)力，? 是危險(xiǎn)點(diǎn)的切應(yīng)力。且橫截面不限于圓形截面,討 論,?,,?,該公式適用于 彎，扭 組合變形；拉（壓）與扭轉(zhuǎn)的組合變形;以及 拉（壓），扭轉(zhuǎn) 與 彎曲的組合變形,,,,彎、扭組合變形時(shí)，相應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式可改寫為,對(duì)于圓形截面桿有,2,,式中W為桿的抗彎截面系數(shù)。M，T分別為危險(xiǎn)截面的彎矩和扭矩. 以上兩式只適用于 彎，扭 組合變形下的圓截面桿。,,例題7 空心圓桿AB和

28、CD桿焊接成整體結(jié)構(gòu)，受力如圖。AB桿的外徑 D=140mm，內(nèi)、外徑之比α= d/D=0.8，材料的許用應(yīng)力 [?]=160MPa。試用第三強(qiáng)度理論校核AB桿的強(qiáng)度,,,,,,,,,A,B,,,C,D,,,,,,1.4m,0.6m,15kN,10kN,0.8m,解：(1) 外力分析 將力向AB桿的B截面形心簡(jiǎn)化得,AB桿為扭轉(zhuǎn)和平面彎曲的組合變形,,,,,+,,,,,,15kN·m,(2) 內(nèi)力分析--畫(huà)扭矩圖和

29、彎矩圖,固定端截面為危險(xiǎn)截面,20kN·m,例題8 傳動(dòng)軸如圖所示。在A處作用一個(gè)外力偶矩 m=1kN·m，皮帶輪直徑 D=300mm，皮帶輪緊邊拉力為F1，松邊拉力為F2。且F1=2F2，L=200mm，軸的許用應(yīng)力[?]=160MPa。試用第三強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)軸的直徑,解：將力向軸的形心簡(jiǎn)化,軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和垂直縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面彎曲,中間截面為危險(xiǎn)截面,1kN·m,,例題9 圖 示一鋼制實(shí)心圓

30、軸，軸上的齒輪 C 上作用有鉛垂切向力 5 kN，徑向力 1.82 kN；齒輪 D上作用有水平切向力10 kN，徑向力 3.64 kN 。齒輪 C 的節(jié)圓直徑 d1 = 400 mm ,齒輪 D 的節(jié)圓直徑 d2 =200 mm。設(shè)許用應(yīng)力 ???=100 MPa ,試按第四強(qiáng)度理論求軸的直徑。,,,解：(1) 外力的簡(jiǎn)化,,將每個(gè)齒輪上的外力向該軸的截面形心簡(jiǎn)化,B,,,,,,,,A,C,D,y,z,5kN,10kN,30

31、0mm,300mm,,100mm,x,1.82kN,,3.64kN,,,,,,,,,,,,,1 kN·m 使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn),5kN ， 3.64kN 使軸在 xz 縱對(duì)稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲,1.82kN ，10kN 使軸在 xy 縱對(duì)稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲,(2) 軸的變形分析,T = 1kN·m,圓桿發(fā)生的是斜彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形,由于通過(guò)圓軸軸線的任一平面都是縱向?qū)ΨQ平面，故軸在 xz 和 xy 兩平面內(nèi)彎曲的合成結(jié)果

32、仍為平面彎曲，從而可用總彎矩來(lái)計(jì)算該截面正應(yīng)力,,1,C,T 圖,,,,,,,-,Mz圖,0.227,1,C,B,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(3) 繪制軸的內(nèi)力圖,,B 截面是危險(xiǎn)截面,,(4) 危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力計(jì)算,B、C 截面的總彎矩為,(5) 由強(qiáng)度條件求軸的直徑,軸需要的直徑為,例題10 F1=0.5kN ，F(xiàn)2=1kN ，[?]=160MPa。,（1）用第三強(qiáng)度理論計(jì)算 AB 的直徑,（2）若AB桿的直徑 d

33、 = 40mm，并在 B 端加一水平力 F3 = 20kN，校核AB桿的強(qiáng)度。,,,,F1,A,B,C,,,,,,400,400,解: 將 F2 向AB桿的軸線簡(jiǎn)化得,AB 為彎、扭組合變形,,固定端截面是危險(xiǎn)截面,AB 為彎，扭與拉伸組合變形,固定端截面是危險(xiǎn)截面,(2) 在 B 端加拉力 F3,,,,F1,A,B,C,,,,,,400,400,,固定端截面最大的正應(yīng)力為,最大切應(yīng)力為,,,,F1,A,B,C,