第七章-量綱分析與相似理論

1、第七章 量綱分析與相似理論,§7-1量綱分析 §7-2相似的基本概念 §7-3相似準(zhǔn)則 §7-4模型實驗,§7-1 量綱分析,一、量綱與單位,1.單位：表征各物理量的大小。,如長度單位m、cm、mm；時間單位小時、分、秒等。質(zhì)量單位千克、克等,2.量綱：表征各物理量單位的種類。,如m、cm、mm等同屬于長度類，用L表示； 小時、分、秒等同屬于時間類，用T表示； 公斤、

2、克等同屬于質(zhì)量類，用M表示。,3.基本量綱和導(dǎo)出量綱,（1）基本量綱：量綱互不依賴、相互獨(dú)立。,,（2）導(dǎo)出量綱：由基本量綱表示的量綱，可用基本量綱的指數(shù)乘積來表示 。,,,力,粘度,,速度,4.量綱分類,（1）幾何學(xué)量綱：,（2）運(yùn)動學(xué)量綱：,,（3）動力學(xué)量綱：,（4）無量綱數(shù)：,,,二、量綱和諧性原理,1.量綱和諧原理是指在一個反映客觀規(guī)律的物理方程式中，各項的量綱必須是一致的，它是被無數(shù)事實所證明的一個客觀原理。,連續(xù)性方程,,

3、伯諾里方程,2.在經(jīng)驗公式中常有帶量綱的系數(shù)，這類公式的量綱是不和諧的。,動量方程,,三、量綱分析法,量綱分析法：在量綱和諧性原理的基礎(chǔ)上，形成了兩種按照物理量之間的量綱和諧性建立各物理量之間的函數(shù)關(guān)系式的方法。,瑞利法,若某一物理過程與 個物理量有關(guān)，即,,其中一個物理量 可以表示成其它物理量的指數(shù)乘積形式,,,無量綱數(shù),,待定系數(shù),例7-1 已知作用在做勻速圓周運(yùn)動物體上的離心力 ，與物體的質(zhì)量 、速度 和圓周

4、半徑 有關(guān)，試用瑞利法推導(dǎo)離心力公式。,[解] 根據(jù)已知條件，離心力可以寫成以下指數(shù)形式,,根據(jù)量綱和諧性，有,,,,,,,例7-2 由實驗得知：恒定有壓管流的臨界流速 與管徑 、流體密度 和粘度 有關(guān)，試用瑞利法求出它們之間的關(guān)系式。,[解] 根據(jù)已知條件，有以下待定函數(shù)關(guān)系,,,,,根據(jù)量綱和諧性有,,,,,,,,,2. 定理法,(布金漢法),若物理方程為,,而這些變量中含有m個基本物理量，則可組合這些變量

5、成為(n – m)個無量綱π數(shù)的函數(shù)關(guān)系，即,,,,…,,,這三個基本量分別表征流體物性、幾何特性和運(yùn)動特征,必須相互獨(dú)立,,,,,,表征流體物性：密度 、粘度 等,表征幾何特性: 管徑 、管長 等,表征運(yùn)動特性：速度 、重力加速度 等,定理法的運(yùn)用步驟：,（1）找出對物理過程有影響的 個物理量，寫成函數(shù)形式。所謂有影響的物理量是指對研究的物理過程起作用的各種獨(dú)立因素,（2）選出 個相互獨(dú)立的基本量，一般取

6、 個,（4）根據(jù)量綱和諧性原理，找出各項的待定系數(shù) 、 、 。,（3）將 個基本量依次與其余量組成 個無量綱項,（5）寫出描述該物理過程的關(guān)系式,,例7-3 已知圓球的繞流阻力 與流體的密度 和粘度 、圓球的直徑 、來流的流速 相關(guān)，試用 定理推導(dǎo)繞流阻力公式。,[解],（1）建立函數(shù)關(guān)系式,,（2）選取 、 、 為三個基本量，求各 項。,,,根據(jù)量綱和諧性原理,,,

7、,,,,,,,,,同理,（3）寫出無量綱方程,,,,,,,,,,,[解],（1）取 、 、 作為三個基本量，求各 項,,,,,（2）根據(jù)量綱和諧性原理，略去具體計算步驟，求得各項結(jié)果為,,,,,,,,（3）寫出無量綱方程,§7-2相似的基本概念,一、幾何相似,模型和實際流場的幾何形狀相似，即對應(yīng)的線段成比例，對應(yīng)的夾角相等。,,長度比尺,面積比尺,體積比尺,二、運(yùn)動相似,兩個流場對應(yīng)點(diǎn)上的速度（或加速度）的方向相同，

8、大小成比例，即,,速度比尺,,加速度比尺,時間比尺,,重力加速度比尺,三、動力相似,兩個流動各對應(yīng)點(diǎn)上受到的各種同名力方向相同、大小成比例 ，即,,,粘性力重力壓力彈性力表面張力慣性力,力的比尺,,密度比尺,,粘度比尺,四、初始條件和邊界條件相似,1.初始條件和邊界條件的相似是保證兩個流動相似的充分條件，正如初始條件和邊界條件是微分方程的定解條件一樣。2.對于非恒定流，初始條件是必須的，而對于恒定流，初始條件則失去了意義。

9、3.邊界條件是指兩個流動相應(yīng)邊界性質(zhì)相同，比如，自由表面上的壓強(qiáng)等于大氣壓強(qiáng)，固體邊界上的法線速度為零等。,幾何相似是運(yùn)動相似和動力相似的前提；,動力相似是決定流動相似的主要因素；,運(yùn)動相似是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)。,,§7-3 相似準(zhǔn)則,1.相似準(zhǔn)則：兩個流動要實現(xiàn)動力相似，作用在相應(yīng)質(zhì)點(diǎn)上的各種作用力的比尺要滿足的約束關(guān)系。,一、牛頓相似準(zhǔn)則,2.牛頓相似準(zhǔn)則,慣性力比尺,,力的比尺,,,,,,,,牛頓數(shù),牛頓相似準(zhǔn)則

10、是兩個流動動力相似的充分與必要條件,二、動力相似準(zhǔn)則,1.雷諾準(zhǔn)則（粘性力準(zhǔn)則）,粘性力比尺,,,雷諾數(shù),雷諾準(zhǔn)則：粘性力起主要作用。,2.佛汝德準(zhǔn)則（重力準(zhǔn)則）,重力比尺,,,,,佛汝德數(shù),佛如德準(zhǔn)則：重力起主要作用。,3.歐拉準(zhǔn)則（壓力準(zhǔn)則）,壓力比尺,,,,,歐拉數(shù),,歐拉準(zhǔn)則：動壓力起主要作用。,4.其它準(zhǔn)則,韋伯準(zhǔn)則（表面張力準(zhǔn)則）,,柯西準(zhǔn)則（彈性力準(zhǔn)則）,馬赫準(zhǔn)則（彈性力準(zhǔn)則）,韋伯?dāng)?shù),柯西數(shù),馬赫數(shù),水擊、水流誘發(fā)振動,

11、超音速氣流,小規(guī)模流動，表面張力顯著,例7-5　一潛艇長為L＝78m，水面航速為13kn,現(xiàn)用1：50的模型在水池中做實驗測它的興波阻力，試確定水池拖車的拖曳速度。 解：實驗應(yīng)按佛汝德準(zhǔn)則進(jìn)行。已知船模長度：實艇水面航速為：故實驗時船模的拖曳速度為：,例7-6 已知直徑為15cm的輸油管，流量0.18m3/s，油的運(yùn)動粘度νp=0.13cm2/s?，F(xiàn)用水作模型實驗，水的運(yùn)動粘度νm=0.013cm2/s。當(dāng)模型的管徑與原型相同

12、時，要達(dá)到兩流動相似，求水的流量Qm。若測得5m長輸水管兩端的壓強(qiáng)水頭差 ，試求100m長的輸油管兩端的壓強(qiáng)差？ 解：（1）因圓管中流動主要受粘滯力作用，所以應(yīng)滿足雷諾相似準(zhǔn)則 因 ，上式可簡化為,,,,,流量比尺 ，所以模型中水的流量為 （2）流動的壓降滿足歐拉準(zhǔn)則