中南大學《流體力學》課件第八章量綱分析和相似原理

1、Engineering Fluid Mechanics,流體力學電子教案,對于復雜的實際工程問題，直接應用基本方程求解，在數學上極其困難，因此需有賴于實驗研究來解決。本章首先闡述有關實驗研究的基本理論和方法，包括流動相似原理，相似準則，量綱和諧原理及量綱分析方法等。,第八章量綱分析和相似原理,,,量綱分析方法,第一節(jié) 量綱分析法,,一、單位和量綱,,單位（unit）：量度各種物理量數值大小的標準量，稱單位。,量綱 ：物

2、理量所屬的種類，表征物理量的性質和類別。（dimension）,量綱,基本量綱：具有獨立性的，不能由其他量綱推導出來的量綱。 一般取長度、時間、質量，即[L、M、T ],誘導量綱：是指由基本量綱導出的量綱。,量綱公式:,無量綱數（純數，如相似準數）：α=0,β=0,γ=0，,特點：具有客觀性； 在超越函數（對數、指數、三角函數）運算中，均應用無量綱數； 不受運動規(guī)模影響。,二、量綱

3、的一致性原則,,凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項的量綱都必須是一致的，即只有方程兩邊量綱相同，方程才能成立。這稱為量綱和諧原理。,判斷：只有量綱相同的項才可以相加減。,三、量綱分析方法,,1.瑞利法：是量綱和諧原理的直接應用,確定與所研究的物理現象有關的n 個物理量；,寫出各物理量之間的指數乘積的形式 ；,根據量綱和諧原理，即等式兩端的量綱應該相同，確定物理量的指數， 代入指數方程式即得各物理量之間的關系式。,瑞利法

4、的計算步驟P214：,應用范圍：一般情況下，要求相關變量未知數n小于等于4~5個。,量綱分析方法,【例】確定圓管流動中邊壁切應力的表達式τ0。,解: 1、 影響τ0的獨立因素有液體的密度ρ，液體的動力粘度μ，圓管直徑D， 管壁材料的粗糙度△以及管中斷面平均流速v 。,2、擬定函數關系式為：,3、寫出量綱關系式為：,4、排列量綱和諧方程求各指數。,5、解得 b =1-a, c =a-d-1, e =a+1。,6、將各指數值代入

5、函數關系式中得 ：,整理得：,令,所以,式中λ——系數，由實驗確定。,量綱分析方法,三、量綱分析方法,,2.Π定理法：,計算步驟P216：,對于某個物理現象，如果存在(n+1)個變量（一個因變量，n個自變量）互為函數，而這些變量中含有m 個基本量，則可排列這些變量成[（n+1）-m ]個無量綱數，即可合并(n+1)個物理量為[（n+1)-m]個無量綱π數。,（1）確定關系式：根據對所研究的現象的認識，確定影響這個現象的各個

6、 物理量及其關系式:,（2）確定基本量：從中選取m個相互獨立的基本物理量作為基本量綱的代表， 一般取m = 3。,（3）確定π數的個數N（π）=（n+1-m），并寫出其余物理量與基本物理量 組成的π表達式,（4）確定無量綱π參數：滿足π為無量綱項。求出各π項的指數。,（5）寫出描述現象的關系式。,量綱分析方法,【例】液體在水平等直徑的管內流動，設兩

7、點壓強差△p與下列變量有關：管徑d,ρ,υ,l,μ,管壁粗糙度△，試求△p的表達式。,解: 1、確定關系式：,2、確定基本量：,3、寫出其余物理量與基本物理量組成的π表達式,則：,同理：,所以,選擇基本量 d, ρ, υ。則n=6, m=3, π數n+1-m =4個,對π1：,設,則：,答案,可用來推導各物理量的量綱；簡化物理方程；檢驗物理方程、經驗公式的正確性與完善性，為科學地組織實驗過程、整理實驗成果提供理論指導。,答案,一般不滿

8、足。通常根據一系列的試驗資料統計而得，不考慮量綱之間的和諧。,答案,雷利法適用于比較簡單的問題，相關變量未知數≤4~5個， π定理是具有普遍性的方法。,量綱分析方法,第二節(jié) 相似原理,,分析或研究一個流體的流動問題,實驗實驗流體力學（EFD）,,理論分析理論流體力學（TFD）,數值模擬計算流體力學（CFD）,兩個規(guī)模不同的流動相似是流體力學試驗時必須面對的問題。,第四章 流動阻力,一、流動相似,,流動相似： 兩個流動的相

9、應點上的同名物理量（如速度、壓強、各種作用力等）具有各自的固定比例關系， 則這兩個流動就是相似的。,模型和原型保證流動相似，應滿足：,1.表征流場幾何形狀的量——幾何相似,2.表征流體質點運動狀態(tài)的量——運動相似,3.表征流體質點動力性質的量——動力相似,4.流動的初始條件和邊界條件的相似,第四章 流動阻力,1. 幾何相似,指原型和模型兩個流場的幾何形狀相似，即原型和模型及其流動所有相應的線性變量的比值均相等。,線性變量——可

10、以是圓柱體的直徑 d，管道的長度 l，管壁的粗糙系數Δ等。,第四章 流動阻力,2. 運動相似,即兩流場各相應點（包括邊界上各點）的速度u 及加速度a 的方向相同，且大小各具有同一比值。即他們的速度場相似。,第四章 流動阻力,3.幾何相似和運動相似的關系,幾何相似是運動相似的前提條件。,可證明：模型和原型流場中流體質點經過對應路程所需要 的時間也必定成一定的比例。,得出：其它有關運動學物理量也必定成一定的比例。,第四章

11、流動阻力,4. 動力相似,指兩流動各相應點上流體質點所受的同名力方向相同，其大小比值相等，即它們的動力場相似。,幾何相似是運動相似和動力相似的前提與依據；,動力相似是決定二個液流運動相似的主導因素；,運動相似是幾何相似和動力相似的表現；,凡流動相似的流動，必是幾何相似、運動相似和動力相似的流動。,5. 幾何、運動、動力相似的關系,推論：流動完全相似，則模型與原型流場的密度也必定成一定的比例。,作用：由于實驗中兩個流場的密度比例尺常常是

12、已知的，或者是已經選定的，故模型實驗時，經常選取 作為基本比例尺，即選取 作為獨立的基本變量。,二、動力相似準則,,在兩相似的流動中，各種力之間保持固定不變的比例關系。,任何系統的機械運動都必須服從牛頓第二定律。即：對原型和模型流場中的流體質點應用牛頓第二定律，按照動力相似準則，可得：,三、牛頓相似準則,,定義： 為牛頓數,即：,所以兩個相似流動

13、的牛頓數應相等，這是流動相似的 重要標志和準則，稱為牛頓數相似準則。,,說明：完全的動力相似，要求慣性力與其他所有性質的力都要符合牛頓相似準則，但實際上不可能達到，所以常選一個對流動起決定作用的力給予滿足。,問題：為什么每個相似準則都要表征慣性力？,答案,作用在流體上的力除慣性力是企圖維持流體原來運動狀態(tài)的力外，其他力都是企圖改變運動狀態(tài)的力。如果把作用在流體上的各力組成一個力多邊形的話，那么慣性力則是這個力多邊形的合力

14、，即牛頓第二定律。流動的變化就是慣性力與其他上述各種力相互作用的結果。因此各種力之間的比例關系應以慣性力為一方來相互比較。,雷諾（粘滯力）準則,,L——為流場中的特征線性長度。,當粘滯力起主要作用時，動力相似有：,適用范圍：主要受水流阻力即粘滯力作用的流體流動，凡是有壓流動，重力不影響流速分布，主要受粘滯力的作用，這類液流相似要求雷諾數相似。另外，處于水下較深的運動潛體，在不至于使水面產生波浪的情況下，也是以雷諾數相等保證液流動力

15、相似。如層流狀態(tài)下的管道、隧洞中的有壓流動和潛體繞流問題等。,第四章 流動阻力,弗汝德（重力）準則,,一般取：,當重力起主要作用時，動力相似有：,適用范圍：凡有自由水面并且允許水面上下自由變動的各種流動（重力起主要作用的流動），如堰壩溢流、孔口出流、明槽流動、紊流阻力平方區(qū)的有壓管流與隧洞流動等。,第四章 流動阻力,歐拉（壓力）準則,,當壓力起主要作用時，動力相似有：,適用范圍：一般，兩液流的雷諾數相等，歐拉數也相等；兩液流的弗勞

16、德數相等，歐拉數也相等。只有出現負壓或存在氣蝕情況的液體，才需考慮歐拉數相等來保證液流相似。,P —— P也可以用壓差ΔP來代替。,第四章 流動阻力,四、模型律,,兩個流動同時滿足各種同名力相似有困難；故一般只保證起主要作用的力相似，這就要求選擇起主要作用的模型律。,如：重力場中要使用弗勞德準則如果原型與模型中的流體相同，則要求這是矛盾的。解決方法：用運動粘度不一樣的流體來解決。,船在航行時的阻力系數CD與Re和Fr有

17、關。在進行船模實驗時，要求滿足雷諾準則和弗勞德準則。試求：1、假設模型船的大小是原型的1/20，而原型船的速度為10m/s，模型船的速度應是多少？2、假設原型船在20度的水中航行，模型實驗的流體的運動粘度是多少？,例題,,解1：由弗勞德準則。,2：由雷諾準則。,這么小粘度的流體幾乎找不到，所以同時滿足兩種模型律也很難做到。,例題,,直徑d=90cm的圓球在空氣中的運動速度為60m/s，為測其阻力，做一直徑為45cm的模型放入