細(xì)長圓柱體上非線性波浪高階力計算-----海洋工程動力學(xué)

1、作用在細(xì)長圓柱體上的非線性波浪載荷,O.M.faltinsenJ.N.newmanT.vinje,摘要,在波幅與圓柱半徑同階且都相對與波長為小量，波浪與垂向圓柱體碰撞發(fā)生衍射，小波陡導(dǎo)致外域內(nèi)傳統(tǒng)波浪理論依然適用而，而在一個與圓柱體半徑a相關(guān)的內(nèi)域力出現(xiàn)了顯著非線性擾動問題——條件在內(nèi)域中首階非線性項對速度勢的影響與A²a和A³正相關(guān)，而在自由表面上二階三階諧波力分別于A²a²和A³

2、;a正相關(guān)。傳統(tǒng)擾動分析中與A的不同次冪相關(guān)的二三階成分同階——結(jié)論,引入符號概念,O（）表示同階無窮小O（1）表示與常量同階及常數(shù)階O（x^n）表示與x^n同階確定的坐標(biāo)系有(x,y,z)平均水面上坐標(biāo)系（ r， θ，z）平均水面上的柱面坐標(biāo)系（ R， θ，Z）在一階波面方程上建立的柱面坐標(biāo)系內(nèi)域（與圓柱體交互作用較大）外域（相反）,本文的結(jié)構(gòu),1.簡介2.線性解回顧3.非線性速度勢邊界條件的導(dǎo)出4.非線性解問題的求

3、解5.由于非線性項導(dǎo)致波浪載荷和積分力定義6.非線性波浪載荷計算（線性速度勢引起的點力）7.非線性積分載荷計算（非線性速度勢引起點力）8.結(jié)合實際應(yīng)用的總結(jié),簡介,當(dāng)年來逐漸被人們認(rèn)識到在大型海洋平臺上會發(fā)生比入射波頻率更高的固有頻率擾動問題。此現(xiàn)象不能被傳統(tǒng)的波浪衍射理論所解釋，被稱為ringing高頻諧振Jefferys和Rainey在比例模型實驗中觀測并記錄下來的現(xiàn)象,時間記錄入射波歷史波幅頻率，和結(jié)構(gòu)特征頻率下的測量張

4、力——ringing高階諧振共振顯著發(fā)生,簡介,1.傳統(tǒng)擾動分析傳統(tǒng)頻域分析，波參數(shù)A，w，K，λ引入無量綱波參數(shù)KA為小值。壓力場解至KA的一階波浪相應(yīng)，時間為諧波特性與波浪頻率相同超過一階響應(yīng)，二階波浪力與（KA）^2正相關(guān)。規(guī)則波包含拖曳力時間常數(shù)，動態(tài)二階諧波力（源于線性解的二次項)等效平均液面浸沒下的圓柱表面二階壓力和變化自由液面上的一階壓力有關(guān)，后者可等效為一個作用在自由液面上的點力。,簡介,5. 傳統(tǒng)擾動分析基于假

5、設(shè)A小于其他參數(shù)（λ，w，結(jié)構(gòu)特征尺寸L，水深h），通常假設(shè)波長與結(jié)構(gòu)尺寸同量綱（KL=O（1）），而對于衍射系統(tǒng)進(jìn)一步假設(shè)KL<<1，從而有一般的結(jié)論（作用在水平固定體上的波浪力正比于波浪速度場中的同點加速度）如morison公式中的慣性項——水平加速度替代,簡介,2.傳統(tǒng)方法的應(yīng)用局限多數(shù)平臺為垂向圓柱體，進(jìn)而導(dǎo)致半徑后來取代特征長度用于擾動分析，而通常半徑a=10m，惡劣海況下A=10m，λ=200~300m導(dǎo)致擾動

6、分析假設(shè)變化——A/a=O(1)為新的前提條件3.研究問題的基本條件KA<<1,Ka<<1,A/a=O(1)，圓柱體縱向無限延長，勢流假定粘性忽略，設(shè)?<<1小量，其他參數(shù)都為常量綱除Aa線性高階，非線性載荷來源兩部非線性解的高階部分和由于速度勢變化的自由表面的非線性部分。高階解比非線性解簡單，且內(nèi)域波邊界速度梯度占主要——在波面下穩(wěn)定流呈線性，內(nèi)域高階解代替非線性解可行,簡介,非線性波動部分，

7、自由液面的波動性導(dǎo)致不能轉(zhuǎn)化范圍靜止平面，轉(zhuǎn)化為——隨波上下變動點載荷，波浪載荷（總用在波面與圓柱交界上）包含的組分與其成正比因此在二階衍射分析線性高階分布載荷和非線性波動點載荷,簡介,4.整體問題分析各種載荷與A的不同冪相關(guān),用匹配漸進(jìn)展開法證明。將計算域分為內(nèi)外域，外域尺寸λ相關(guān)，內(nèi)域a，外域速度勢K,內(nèi)域速度勢與1/Ka相關(guān)5.本法計算散射中各參數(shù)量綱分析與入射波法相速度ωA相關(guān)，用散射勢大小相同方向相反的倒數(shù)抵

8、消。內(nèi)域梯度與1/a正相關(guān)，?s=O（ω Aa）,A/a=O(1),,,?t=O（1/2V^2）,簡介,6.比較前人結(jié)果雷利與其他人也采用相關(guān)假設(shè)，然而是用能量法，沒有考慮圓柱影響，在A與A²上一致在A³上偏大7.與實驗的對比破波導(dǎo)致的拖曳力現(xiàn)觀實驗證明A/a=O（1）時會有旋渦擴(kuò)散，但是只有A遠(yuǎn)大于a時才會有明顯拖曳力，拖曳力不用考慮。,二、線性分析,線性分析坐標(biāo)系如下,二、線性分析,直角坐標(biāo)系下入射波速度

9、勢坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化Jm為貝塞爾函數(shù)圓柱體邊界為零法向速度故散射勢設(shè)一小量可知進(jìn)而假設(shè) 為一階，A,a為階進(jìn)而有外域內(nèi)域,二、線性分析,外域特點簡化近似為內(nèi)域特點簡化近似結(jié)果總內(nèi)域速度勢劃線部分與水平坐標(biāo)無關(guān)不影響水平速度場只與壓力和波浪升高有關(guān)且為?的同階？？？,二、線性分析,一階展開，結(jié)果中不能展現(xiàn)出圓柱的邊界條件，同時也沒有表現(xiàn)出自由頁面的影響，包含高階小量O（?^2)中表示的圓

10、柱表面，故繼續(xù)高階展開高階展開結(jié)果如下展開結(jié)果包含了，，但是非線性參數(shù) 忽略在此解中，后續(xù)討論,二、線性分析,,三、非線性邊界值問題,為包含非線性項，， 入射波勢流細(xì)化到包含非線性參數(shù)，若修改色散關(guān)系 為 修改后在后來的結(jié)果中影響不大（Newman1977）總的速度勢添加上修改項 （3.1）為非線性影響項滿足如下條件第一位柱面條件第二為自由液面

11、 邊界條件滿足邊界條件坐標(biāo)定義，邊界條件精確的線性解2.7為1精確解，并滿足任意值下2的齊次性,三、非線性邊界值問題,條件3.3，右側(cè)分析，由于只計算一階勢的貢獻(xiàn)，二階量綱首相，有如下關(guān)系可用應(yīng)用關(guān)系得到第一項為第二項為,三、非線性邊界值問題,r趨近極大，外域3.4，3.5的影響將變成高階，故，此條件只適用于內(nèi)部因而采用對此問題適用于內(nèi)部單位化坐標(biāo)變化后結(jié)果如下 左側(cè)一定在自由液面上計算，而右側(cè)已經(jīng)設(shè)為Z=0

12、，原邊界條件三階無窮小所含,三、非線性邊界值問題,由三維拉普拉斯方程導(dǎo)出速度勢得到當(dāng)有在內(nèi)部坐標(biāo)系下個方向的梯度是Ψ的同階無窮小左側(cè)前四項時間二階導(dǎo)相關(guān)比其他項小一個量綱O（?）而被忽略3.8變?yōu)?三、非線性邊界值問題,由于3.10右側(cè)兩項都是O（?^3）由3.9得到整體速度勢的階數(shù)針對線性解速度勢與非線性解速度勢的異同分析相同點：水平梯度都為1/?階；垂向?qū)?shù)不同階,三、非線性邊界值問題,自由表面用如下方程定義3.1

13、1展開為級數(shù)形式結(jié)果如3.12，3.13前兩項級數(shù)可有線性速度勢解出非線性速度勢影響為三階?^3故足夠,三、非線性邊界值問題,針對自由邊界條件3.10考慮如何將變化的自由表面轉(zhuǎn)化為確定性邊界，通常方法為泰勒級數(shù)展開在z=0平面。然而，速度勢的以坐標(biāo)z表示縱向?qū)?shù)在內(nèi)域中通過一個系數(shù)1/a放大，而A與a之比為常量，導(dǎo)致自由液面不能轉(zhuǎn)化。卻可以轉(zhuǎn)化為以Z=0（一階近似解的波面方程），加之殘差為二階小量。因此在3.12中的一階自由

14、頁面展開結(jié)果將是以?為逼近參數(shù)的級數(shù)形式？？，，，，，其第一項為一階展開的自由頁面 ，第二項為， ，，是小于速度勢一階?的小量。綜上，可近似滿足3.10在內(nèi)部坐標(biāo)Z=0得到縱向擾動，水平向穩(wěn)定非線性速度勢，其上形成點力，其下形成積分力,三、非線性邊界值問題,得到最終解的形式時間相關(guān)參數(shù)無量綱服從邊界條件Z=0,四、非線性勢的求解,？，通過3.15定義服從3.7齊次條件的，通過韋伯變換簡化3.15引用，對R>1

15、通過分散變量構(gòu)造解的形式如下,Wronskian簡化4.3得由于fm（R)包含了R的負(fù)冪次項，4.2的積分形式如下S表示龍梅爾函數(shù)未說明時隱含參數(shù)k針對m=1，2，因其為5節(jié)中的評估載荷，其他同理可解。使用邊界條件3.15v,四、非線性勢的求解,由于 4.8簡單簡化如下由(Watson1952)得到4.7詳細(xì)分析的結(jié)果S同上兩個互補(bǔ)的表達(dá)式用來求s和它的導(dǎo)數(shù)Ψ為伽馬函數(shù)指數(shù)導(dǎo)數(shù)近似的展開式為4.12

16、,四、非線性勢的求解,從4.12接近相應(yīng)4.10表達(dá)式的結(jié)果如下4.13的應(yīng)用可以通過1970引文提出的QD算法擴(kuò)展轉(zhuǎn)化為連分式。此過程方法可用于計算k大于14.5且在m=7之后截斷的求解F1。在k<<14.5的互補(bǔ)域采用雙精度近似4.11及其導(dǎo)數(shù)。這組解法可以實現(xiàn)結(jié)點14.5處小數(shù)后五位精度，遠(yuǎn)離點精度更高,四、非線性勢的求解,一個可替代的算法如下，可計算4.10，4.14積分求解見文獻(xiàn)求解結(jié)果如圖，使用適應(yīng)

17、Romberg法六位小數(shù)精度的數(shù)值求解4.5,四、非線性勢的求解,在0到無窮積分這些函數(shù)不僅是為導(dǎo)出積分力同時對確認(rèn)結(jié)果的數(shù)值精度很重要。為此，采用格林第二恒等式 格林恒等式 來應(yīng)用到，， 和輔助勢 在流域內(nèi)；在用了邊界條件3.7和3.15來積分圓柱邊界和自由表面，結(jié)果如下,,,五、圓柱體上的波浪載荷,總的x+方向上液壓積分力如下，應(yīng)用伯努利方程計算壓力（此處有伯努利方程計算出的分布壓力）定義波浪載

18、荷這給出了作用在圓柱體上分布載荷準(zhǔn)確形式，同時簡化了計算力矩和結(jié)構(gòu)激勵。在實際應(yīng)用中局部波浪載荷也可以用來計算有限吃水下圓柱的波浪載荷，只需附加一些假設(shè)，甚至類比到無限水深,五、圓柱體上的波浪載荷,注意5.1中的積分計算上限為z=ξ,在z=0或Z=0分部積分會更容易對線性速度勢兩個分?jǐn)帱c同樣有效而非線性部分后者更有效，因與A同量綱變化一階速度勢導(dǎo)致的非線性的影響在6節(jié)用固定坐標(biāo)z和分割點0。自由表面的局部載荷定義如5.1在

19、0到ξ之間。自由頁面附近的局部載荷分析導(dǎo)致高階力將以點力的形式表現(xiàn)。總的載荷將包含點力和自由液面之下的分布力。來自非線性項，Ψ，的高階速度勢見7用Z，以及分離點Z=0。波浪載荷會與，A^3a，正相關(guān)。相關(guān)的積分力因只在與a正相關(guān)的局部區(qū)域深度內(nèi)載荷顯著，故結(jié)果很小。,五、圓柱體上的波浪載荷,波浪載荷與分布力都是以A為量綱較方便因此以A， A²， A³為一二三解載荷或力。然而其他小量也要考慮?，a因而又有二階三

20、階波浪載荷分別與，，， 正相關(guān)二階三階分布力載荷， ，，，正相關(guān)，高階略去。,六、一階速度勢的非線性載荷,應(yīng)用分段積分靜水壓力積分相略去先看5.2定義波浪載荷，2.6中導(dǎo)出一階成分如下此為默爾森慣性力相，加速度虛擬質(zhì)量，二階如下,六、一階速度勢的非線性載荷,考慮非線性項對積分6.1中的第二積分式的影響。由于波高ξ對立與坐標(biāo)θ可由6.2，6.3直接算出，結(jié)果如相加得到下,六、一階速度勢的非線性載荷,

21、最后考慮5.1中的最后一項一階波與真波間小量，真波表面z=ξ,p=0壓力，壓力分布式 因而總體的積分力為如下形式此處ξ2定義在3.13因此在r=a時,六、一階速度勢的非線性載荷,計算積分6.8得到總計算結(jié)果與6.6計算結(jié)果相加,六、一階速度勢的非線性載荷,總的積分力為包含6.2,6.3在平均水面以下的積分力和在水面以上的點力積分之和上標(biāo)為只與一階速度勢相關(guān)，6.12，6.13三階力見文獻(xiàn)變化坐標(biāo)Z加深理解，6

22、.2，6.3變形，泰勒級數(shù)展開變形得到同樣結(jié)果,六、一階速度勢的非線性載荷,,七、由于非線性速度勢導(dǎo)致的壓力,非線性速度勢（定義3.1，計算第四節(jié)）導(dǎo)致壓力進(jìn)而得到導(dǎo)致5.2相應(yīng)載荷7.2液面上載荷類比6.8點載荷六階小量忽略7.2載荷展開如下積分展開的首屆相加得到如下結(jié)果,七、由于非線性速度勢導(dǎo)致的壓力,上兩方程積分離散取到一階相加得三階載荷從上可知三階載荷依賴1，2階勢，4節(jié)計算出，如圖3，最大在Z=0單調(diào)遞減7.

23、5得出的分布力用4.17，4.18求積分得到如上,七、由于非線性速度勢導(dǎo)致的壓力,此力僅在局部有效，類似6.12點力為附加力與一階速度勢有關(guān)，總的點力形式如下有趣的是7.7中總積分力的三階諧波部分來源于一階速度勢，?d，高階速度勢和非線性，同樣重要,八、總結(jié)——基本內(nèi)容,,圖四展示了三階力在完整的一階運(yùn)動周期內(nèi)的變化，一階速度勢引起的幅值歸一化。由于非線性速度勢導(dǎo)致的極值約為1.54。全部三階力約為2.52.,三階力6.12為線

24、性高階解在平均液面z=0到ξ積分得到點力7.6為一階波面到自由表面積分點力7.7為自由波面到平均波面總的積分點力（包括線性和非線性速度勢）=7.6+6.12,八、總結(jié)——得到的結(jié)論,,圖5繪制7.7 針對不同KA值，在二階幅值標(biāo)準(zhǔn)化下的結(jié)果。可看出非線性點載荷對KA的變化。,八、總結(jié),2.三階成分與KA正比3.二階三階成分在來波前半周期加強(qiáng)后半周期減弱。導(dǎo)致總點力擾動在前半質(zhì)點圓周運(yùn)動wt =90°時直到波峰通過。后

25、半非線性力衰減。導(dǎo)致非線性力比傳統(tǒng)二階力大很多。,八、總結(jié)——相關(guān)文獻(xiàn)說明,Malenica & Molin (1994) ，試圖階傳統(tǒng)二階解得到三階作用在圓柱上的繞射力（Ka=O（1））。此解要同時解出二階三階勢。它們受不同的類邊界條件在自由液面上。比3.10更復(fù)雜。另一不同點——泰勒級數(shù)展開高階繞射速度勢與z=0，是在各個勢間緩慢變化的條件下。在本文中三階速度勢，Ψ，不滿足此限制。本文假設(shè)不同長度尺寸與圓柱半徑相關(guān)。有必要滿

26、足3.10在擾動邊界上.因此綜上為本文假設(shè)與1994的不同，因而不能等價任一一個結(jié)果是另一個的特例。,八、總結(jié)——本文應(yīng)用,本文限制在無限水深下的縱向圓柱用一種相對簡單的方法求解非線性速度勢的首階項。除了知道一階線性解，浮體圓柱形說明了非線性解可在上下變動的內(nèi)域坐標(biāo)系下求解出來（此坐標(biāo)系不影響水平邊界條件）。此模型可直接應(yīng)用于monotower-platforms（只包含一個細(xì)長體結(jié)構(gòu)），應(yīng)用套其他結(jié)構(gòu)如張力腿平臺則要在時域內(nèi)進(jìn)行數(shù)值求