計(jì)算固體力學(xué)第五章

1、計(jì)算固體力學(xué),64學(xué)時(shí)研510周二、周四9、10、11節(jié),第五章 單元構(gòu)造與分析,§5.1 單元形狀與節(jié)點(diǎn)數(shù),三節(jié)點(diǎn)三角形單元CST(常應(yīng)變單元)線性三角形單元,六節(jié)點(diǎn)三角形單元線性應(yīng)變?nèi)切味稳切螁卧?八節(jié)點(diǎn)四邊形單元,三角形單元網(wǎng)格劃分簡(jiǎn)單；常應(yīng)變?nèi)切螁卧獙?duì)于彎曲，過剛；加密網(wǎng)格時(shí)可以收斂，收斂很慢；對(duì)于平面應(yīng)變問題網(wǎng)格可能鎖定；線性應(yīng)變?nèi)切卧鑼憦澢阅苓h(yuǎn)優(yōu)于CST單元四邊形單元剖分比較困難(但平

2、面問題總的來說,剖分單元已可解決得很好)四節(jié)點(diǎn)四邊形單元屬于Lagrange插值.八節(jié)點(diǎn)四邊形單元非完全二次元,屬于Serendipty單元,四節(jié)點(diǎn)四邊形單元雙線性位移場(chǎng),第五章 單元構(gòu)造與分析,§5.1 單元形狀與節(jié)點(diǎn)數(shù),四節(jié)點(diǎn)四面體單元線性位移場(chǎng)常應(yīng)變,十節(jié)點(diǎn)四面體單元完全二次位移場(chǎng)線性應(yīng)變場(chǎng),八節(jié)點(diǎn)四面體單元Lagrange插值,二十節(jié)點(diǎn)Serendipity單元,四面體單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格簡(jiǎn)單，八面體單元?jiǎng)澐志W(wǎng)

3、格困難得多，仍為研究前沿。,§5.2 插值函數(shù),,,記場(chǎng)函數(shù)(如位移u,v,w)為φ，采用多項(xiàng)式插值函數(shù),計(jì)算該函數(shù)在單元節(jié)點(diǎn)的值，記為,實(shí)現(xiàn)了用場(chǎng)函數(shù)在節(jié)點(diǎn)的值和形函數(shù)來表示場(chǎng)函數(shù)在單元內(nèi)的分布,矩形單元Lagrange族和Serendipty族,Lagrange插值法一維單元Lagrange插值法線性單元二次單元,二維矩形四節(jié)點(diǎn)及九節(jié)點(diǎn)單元可用下列方式。,類似可推出16節(jié)點(diǎn)元,未知數(shù)太多,帶寬不等；可以推廣至三維

4、問題；,非完全二次函數(shù),非完全四次函數(shù),相應(yīng)于中間點(diǎn)的形函數(shù)是個(gè)泡泡函數(shù),內(nèi)部自由度,Lagrange插值法一維單元Lagrange插值法線性單元二次單元,三維六面體八節(jié)點(diǎn)及二十七節(jié)點(diǎn)單元可用下列方式。,可以推廣至三維問題；,非完全三次函數(shù),非完全六次函數(shù),相應(yīng)于中間點(diǎn)的形函數(shù)是個(gè)泡泡函數(shù),內(nèi)部自由度,利用性質(zhì),矩形單元Lagrange族和Serendipty族,Serendipty族單元內(nèi)部沒有節(jié)點(diǎn),但邊界有中間點(diǎn)，有比較

5、巧妙的構(gòu)造方法,類似可推出12節(jié)點(diǎn)元,未知數(shù)太多,帶寬不等,改進(jìn)三角形單元,角點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)自由度單元：應(yīng)用于只有角節(jié)點(diǎn)的三角形單元；比CST單元性能好，比LST單元未知數(shù)少（每個(gè)單元9個(gè)未知數(shù)）為了和梁，板，殼連接需要，對(duì)于折板等計(jì)算特別有效。構(gòu)造角點(diǎn)有自由度的單元可以從LST單元退化而來，設(shè)想角點(diǎn)i和j發(fā)生旋轉(zhuǎn),,,,i,j,k,,,,m,非協(xié)調(diào)元,Ｑ6非協(xié)調(diào)元，有六個(gè)形函數(shù)，但是只有四個(gè)節(jié)點(diǎn)；二個(gè)形函數(shù)相當(dāng)在邊界的泡泡函數(shù)，相應(yīng)的四個(gè)

6、未知數(shù)相應(yīng)于內(nèi)賓自由度，和其它相鄰單元無關(guān)。相鄰單元因此變形不協(xié)調(diào)，只在單元頂點(diǎn)聯(lián)結(jié)。結(jié)構(gòu)變形時(shí)，可以在單元間出現(xiàn)裂縫或迭合；,,,,,,,x,y,,2a,,2b,這樣的單元比Ｑ４柔順，因此雖然不協(xié)調(diào)，但給出的結(jié)果更好；其結(jié)果從上面趨于真解；（協(xié)調(diào)元從下面趨于真解）,§5.3 等參單元,坐標(biāo)插值,位移插值,等參單元的要點(diǎn)是：將任意物理空間坐標(biāo)的單元變換到數(shù)學(xué)的自然坐標(biāo)系中，采用的變換函數(shù)和描寫場(chǎng)函數(shù)的單元形函數(shù)相同。如果位移

7、映射的形函數(shù)階數(shù)高，則稱次參單元，否則稱超參單元。,等參單元使得我們可以處理非矩形、具有曲邊的單元，能夠使有限元模型更適應(yīng)形狀復(fù)雜的物體，等參元覆蓋所有的有限元類型。,單元?jiǎng)偠汝?應(yīng)變矩陣,,注意:1.需要雅可比矩陣及其逆陣;　2.積分已經(jīng)不可能解析地求得，必須數(shù)值積分；積分方法和精度成為討論的一個(gè)新問題；雖然某些情況可得到解析解，但公式繁瑣，編程復(fù)雜，特別是，計(jì)算的工作量可能不比數(shù)值積分的小.,數(shù)值積分,Gauss積分：,(1)一維G

8、auss積分,Hi為Gauss權(quán)系數(shù),i為Gauss積分點(diǎn),對(duì)于線性函數(shù)，一點(diǎn)積分給出精確結(jié)果對(duì)于二次函數(shù)，二點(diǎn)積分給出精確結(jié)果對(duì)于三次函數(shù)，三點(diǎn)積分給出精確結(jié)果,四點(diǎn)積分：Ｉ＝f1+f2+f3+f4,九點(diǎn)積分：Ｉ＝25(f1+f3+f7+f9)/81+40(f2+f4+f6+f8)/81+64f5/81,(3)三維Gauss積分,對(duì)于矩形單元、平面四邊形單元、四面體單元和六面體單元（如果單元側(cè)面是平面），則剛度陣的被積函數(shù)是多項(xiàng)

9、式，可以用適當(dāng)階數(shù)的數(shù)值積分求得精確的積分值。對(duì)于具有曲邊曲面的單元，被積函數(shù)不是多項(xiàng)式，而是有理式，無法用有限階的數(shù)值積分得到準(zhǔn)確的積分值。提高積分階數(shù)當(dāng)然可以提高積分精度，但是，計(jì)算工作量增加很大。從計(jì)算工作量考慮，選擇低階積分是必要的。選擇低階積分公式更重要的原因是：實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，精確的單元?jiǎng)偠汝囂珓偅捎玫碗A積分可以低估單元?jiǎng)偠?，反而使?jì)算更精確。但是，太低階數(shù)的積分會(huì)使單元?jiǎng)偠汝嚲哂辛隳苣Ｊ?，從而使單元不穩(wěn)定。還有其它