工程力學(xué)第五章

1、第5章 軸向拉伸與壓縮,5.1 材料力學(xué)基礎(chǔ),5.1.1 材料力學(xué)的任務(wù)機(jī)械及工程結(jié)構(gòu)中的基本組成部分，統(tǒng)稱為構(gòu)件。為了保證構(gòu)件正常工作，每一構(gòu)件都要有足夠的承受載荷作用的能力，簡稱為承載能力。,構(gòu)件的承載能力，通常由下列三個(gè)方面來衡量：(1)強(qiáng)度。構(gòu)件抵抗破壞的能力叫作強(qiáng)度。(2)剛度。構(gòu)件抵抗變形的能力叫作剛度。(3)穩(wěn)定性。構(gòu)件保持原有平衡狀態(tài)的能力叫

2、 作穩(wěn)定性。,為了滿足構(gòu)件在強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性三個(gè)方面的要求，達(dá)到安全可靠的目的，必須為構(gòu)件選擇適當(dāng)?shù)牟牧?、合理的截面形狀和尺寸，同時(shí)還必須盡可能地降低材料的消耗量，以符合經(jīng)濟(jì)的原則。顯然，過分地強(qiáng)調(diào)安全，將會(huì)導(dǎo)致材料用量的無謂增加，或者不適當(dāng)?shù)厥褂脙?yōu)質(zhì)材料，造成不經(jīng)濟(jì)；反之，如果片面地追求經(jīng)濟(jì)，就會(huì)降低構(gòu)件的安全可靠性。,材料力學(xué)的任務(wù)是：研究構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性，為構(gòu)件選擇適當(dāng)?shù)牟牧?、確定合理的截面形狀和尺寸提供

3、必要的計(jì)算方法和實(shí)驗(yàn)技術(shù)，以達(dá)到既安全又經(jīng)濟(jì)的目的。,5.1.2 變形固體及其基本假設(shè),5.1.2.1 變形固體5.1.2.2 變形固體的基本假設(shè) (1)連續(xù)均勻假設(shè)。 (2)各向同性假設(shè)。,材料力學(xué)只限于研究物體小變形和彈性變形。所謂小變形，是指構(gòu)件在外力作用下所產(chǎn)生的變形與構(gòu)件本身的尺寸相比一般都是非常微小，因此，在研究構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度等問題時(shí)，均按構(gòu)件原來的尺寸和形

4、狀進(jìn)行計(jì)算，這便是小變形的理論。小變形理論在材料力學(xué)的計(jì)算和分析中有著重要意義。彈性變形是指引起構(gòu)件變形的外載荷撤除以后能夠完全消失的形變。工程中構(gòu)件的變形，一般都屬于彈性范圍以內(nèi)的小變形。,,總之，材料力學(xué)是將構(gòu)件的材料看作均勻、連續(xù)、各向同性的變形固體，而且主要是按小變形理論在材料彈性范圍以內(nèi)進(jìn)行研究。,5.1.3 桿件變形的基本形式,所謂桿件，是指長度尺寸遠(yuǎn)大于其他兩個(gè)方向尺寸的構(gòu)件。桿件的幾何特征可用軸線(桿件橫

5、截面形心的連線)和垂直于軸線的橫截面來表示。軸線為直線的桿件稱直桿；橫截面的大小和形狀完全相同的桿件稱為等截面桿。材料力學(xué)研究的對象主要是等截面直桿，簡稱等直桿。,桿件在外力作用下發(fā)生的基本變形有下列四種：(1)拉伸與壓縮。這種變形的特點(diǎn)是桿件在軸線方向發(fā)生伸長或縮短。(2)剪切。這種變形的特點(diǎn)是桿件的橫截面間發(fā)生相對錯(cuò)動(dòng)。(3)扭轉(zhuǎn)。這種變形的特點(diǎn)是桿件的橫截面繞其軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)。(4)彎曲。這種變形的特點(diǎn)是原為直線的軸線

6、變成曲線。,5.2 軸向拉伸和壓縮,5.2.1 拉伸和壓縮的概念拉伸和壓縮是指直桿在兩端受到沿軸線作用的拉力或壓力而產(chǎn)生的變形。桿件的受力特點(diǎn)是：作用在桿端各外力的合力作用線與桿件軸線重合變形特點(diǎn)是：桿件沿軸線方向伸長或縮短,5.2.2 拉壓桿的內(nèi)力,5.2.2.1 內(nèi)力的概念材料力學(xué)中所說的內(nèi)力，則是指構(gòu)件受到外力作用時(shí)所引起的構(gòu)件內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)之間相互作用力的改變量，稱為“附加內(nèi)力”。

7、材料力學(xué)所研究的這種附加內(nèi)力，以后均簡稱為內(nèi)力。,5.2.2.2 截面法,截面法是材料力學(xué)用以顯示和計(jì)算桿件內(nèi)力的基本方法。假想地用一個(gè)截面把桿件截為兩部分，取其中一部分作為研究對象，建立平衡方程，以確定截面上內(nèi)力的方法，稱為截面法。,截面法求解桿件內(nèi)力的步驟可以歸納如下：,(1)沿所研究截面假想地將桿件截為兩部分，任選其中一部分為研究對象，畫上作用于該部分的外力。(2)畫上截面上的內(nèi)力，取代另一部分對所研究部分的作用。

8、(3)對研究部分建立靜力平衡方程，解方程，確定內(nèi)力的大小與方向。,由于軸向拉伸或壓縮時(shí)桿件橫截面上內(nèi)力FN與外力F共線，且與桿件軸線重合，所以這里的內(nèi)力FN稱為軸力。軸力的正負(fù)號表示桿件不同的變形：桿件拉伸時(shí)，軸力背離截面，取正號；桿件壓縮時(shí)，軸力指向截面，取負(fù)號。,直接利用外力計(jì)算軸力的規(guī)則：,即桿件承受拉伸(或壓縮)時(shí)，桿件內(nèi)任一截面上的軸力等于截面一側(cè)所有外力的代數(shù)和，外力背離截面時(shí)取正，外力指向截面時(shí)取負(fù)。,5.2.3

9、 軸力圖,為了形象地表示軸力沿直桿軸線的變化規(guī)律，可用平行于軸線的坐標(biāo)表示截面位置用垂直于軸線的坐標(biāo)表示橫截面上軸力的數(shù)值，畫出軸力與截面位置的關(guān)系圖線，稱為軸力圖。,5.3 軸向拉壓時(shí)截面上的應(yīng)力,5.3.1 應(yīng)力的概念上述用截面法求得的軸力，是截面上分布內(nèi)力的合力，它不能用來判斷構(gòu)件的強(qiáng)度狀況。例如，直徑不同的鋼桿受到力的作用(如圖5-13所示)，當(dāng)力F增大到一定數(shù)值時(shí)，由經(jīng)驗(yàn)可知，斷裂必發(fā)生在直徑小

10、的AB段。這是由于AB段桿的橫截面面積較小，內(nèi)力在截面上分布的密集程度(簡稱集度)較大造成的。由此可見，內(nèi)力的集度是判斷構(gòu)件強(qiáng)度的一個(gè)重要物理量。通常將截面上內(nèi)力的集度稱為應(yīng)力。,應(yīng)力的單位是帕斯卡(Pascal)(國際單位)，簡稱帕(Pa)。1Pa=1N/m2。由于帕斯卡這一單位太小,工程中常用兆帕(ΜΡa)或吉帕( GΡa)作為應(yīng)力單位。1MPa=106Pa=106N/m2；1G Ρa=109 Ρa。,5.3.2 拉伸和

11、壓縮時(shí) 橫截面上的正應(yīng)力,方向垂直于橫截面的應(yīng)力稱為正應(yīng)力，以 表示，其計(jì)算公式為,式中 ——橫截面上的正應(yīng)力；FN——橫截面上的軸力；A ——橫截面面積。正應(yīng)力的符號規(guī)定與軸力相同。拉伸時(shí)的正應(yīng)力為正，壓縮時(shí)的正應(yīng)力為負(fù)。,5.3.3 斜截面上的應(yīng)力分析,由截面法求得斜截面上的軸力，,依照橫截面上正應(yīng)力分布的推理方法，可得斜截面上應(yīng)力 也是均勻分布的，其值為,式中

12、 ——斜截面面積。若橫截面面積為A，則,將后式代入前式，可得式中 ——橫截面上的正應(yīng)力。,兩個(gè)互相垂直截面上的剪應(yīng)力必同時(shí)存在，且大小相等，符號相反。這一關(guān)系稱為剪應(yīng)力互等雙生定理，簡稱剪應(yīng)力互等定理。,5.4 拉伸與壓縮時(shí)的變形,實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)外力未超過一定限度時(shí)，絕大多數(shù)材料在外力撤除后，變形消失，桿件恢復(fù)原狀。材料的這種性質(zhì)，稱為彈性。外力撤除后能夠消失的變形，稱為彈性變形；外力撤

13、除后不能消失的變形。稱為塑性變形。工程構(gòu)件一般都不允許發(fā)生塑性變形。因此，材料力學(xué)只研究桿件的彈性變形。,5.4.1 縱向變形與虎克定律,桿件受拉伸與壓縮作用時(shí)，長度方向發(fā)生的尺寸改變稱為縱向變形。式中 ——絕對變形。拉伸時(shí) 為正值， 壓縮時(shí) 為負(fù)值。 的單位常用毫米(mm)。,絕對變形只能反映桿件總的變形量，而不能說明桿件的變形程度。為了

14、說明桿件的變形程度，常用單位長度上的縱向變形即 來度量，這個(gè)比值稱為相對變形或線應(yīng)變，以ε表示，即線應(yīng)變是無量綱的量，其正負(fù)號的意義與絕對變形相同。,5.4.2 虎克定律,實(shí)驗(yàn)研究指出：在彈性范圍以內(nèi)，桿件的絕對變形與所施加的外力及桿件長度成正比，而與桿件的橫截面面積成反比，即,引入與桿件材料有關(guān)的比例系數(shù)E，上式可寫為,由于FN=F，上式又可寫為這一比例關(guān)系，稱為虎克定律。比例系數(shù)E稱為材料的

15、拉壓彈性模數(shù)量，它表示材料抵抗拉(壓)變形的能力，彈性模量愈大，變形愈小，反之亦然，E的數(shù)值與材料有關(guān)。,將 和 代入前式得這是虎克定律的又一形式，該式表明，在彈性范圍內(nèi)，桿件橫截面 上的正應(yīng)力與縱向線應(yīng)變成正比。,5.4.3 橫向變形與泊松比,若桿件變形前的橫向尺寸為a，拉伸后縮小為a1，則桿件的橫向變形為,其橫向線應(yīng)變?yōu)?實(shí)驗(yàn)結(jié)果指出，在彈性范圍以內(nèi)，橫

16、向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之比的絕對值為一常數(shù)，若以μ表示此常數(shù)，則,μ稱為橫向變形系數(shù)，或稱泊松比。它是一個(gè)無量綱的量，其值隨材料而異，由試驗(yàn)確定。因?yàn)棣?與ε的符號總是相反，故有彈性模量和泊松比都是表示材料彈性的重要物理量。,5.5 材料在軸向拉壓下的力學(xué)性能,5.5.1 低碳鋼拉伸時(shí)材料的力學(xué)性能,5.5.1.1 比例極限5.5.1.2 彈性極限5.5.1.3 屈服極

17、限5.5.1.4 強(qiáng)度極限5.5.1.5斷后伸長率和斷面收縮率,5.5.2 鑄鐵的拉伸試驗(yàn),實(shí)驗(yàn)表明，鑄鐵是典型的脆性材料衡量此類脆性材料強(qiáng)度的唯一指標(biāo)是強(qiáng)度極限。,5.5.3 材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能,5.5.3.1 低碳鋼的壓縮試驗(yàn)5.5.3.2 鑄鐵的壓縮試驗(yàn),5.6 拉、壓桿的強(qiáng)度計(jì)算,5.6.1 許用應(yīng)力與安全系數(shù)材料喪失正常工作能力時(shí)的應(yīng)力稱為極限應(yīng)

18、力。對于塑性材料，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí)，將產(chǎn)生顯著的塑性變形，從而喪失正常的工作能力，工程上常以屈服極限作為塑性材料的極限應(yīng)力。對于脆性材料，在無顯著變形的情況下，應(yīng)力達(dá)到強(qiáng)度極限時(shí)即突然斷裂，因此，工程上常以強(qiáng)度極限作為脆性材料的極限應(yīng)力。,為了保證構(gòu)件安全工作，構(gòu)件中實(shí)際產(chǎn)生的應(yīng)力必須低于材料的極限應(yīng)力，材料允許承受的最大應(yīng)力，則稱為許用應(yīng)力，用符號[σ]表示。極限應(yīng)力與許用應(yīng)力的比值稱為安全系數(shù)，用n表示。故許用應(yīng)力可表示為,

19、對于塑性材料， ， ，故式中ns——屈服安全系數(shù)。,對于脆性材料， , ,因此式中nb——斷裂安全系數(shù)。,5.6.2 拉、壓桿的強(qiáng)度計(jì)算,桿件中最大應(yīng)力所在的橫截面稱為危險(xiǎn)截面。為了保證構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度，必須使危險(xiǎn)截面的應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力，即式中FN——危險(xiǎn)截面的內(nèi)力；A——截面積

20、。此式稱為拉伸或壓縮時(shí)強(qiáng)度條件公式。,運(yùn)用強(qiáng)度條件可以解決以下三類問題：,5.6.2.1 強(qiáng)度校核5.6.2.2 選擇截面5.6.2.3 確定許可載荷,5.7 拉、壓桿超靜定問題,5.7.1 超靜定問題的概念在某些情況下，研究對象未知數(shù)的數(shù)目，多于靜力學(xué)平衡方程的數(shù)目，這時(shí)，就不能單憑靜力學(xué)平衡方程求解未知力了。這種問題稱超靜定（靜不定）問題。,5.7.2 超靜定問題的解法,求解超靜

21、定問題，除了要列出靜力學(xué)平衡方程外，還必須建立補(bǔ)充方程，補(bǔ)充方程的數(shù)目應(yīng)等于多余未知力的數(shù)目，這是解決超靜定問題的關(guān)鍵。,求解超靜定問題的步驟為：,(1)取研究對象，畫受力圖，寫出平衡方程；(2)根據(jù)變形的協(xié)調(diào)關(guān)系，寫出變形幾何方程；(3)應(yīng)用虎克定律，寫出物理方程，將物理方程代入變形幾何方程，得補(bǔ)充方程；(4)將平衡方程與補(bǔ)充方程聯(lián)立，便可求解所有未知力。,5.8 應(yīng)力集中,5.8.1應(yīng)力集中的概念由于桿件外形的突

22、然變化而引起局部應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。,5.8.2 應(yīng)力集中對構(gòu)件強(qiáng)度的影響,塑性材料制成的構(gòu)件在靜載荷作用下的強(qiáng)度計(jì)算可以不考慮應(yīng)力集中的影響。脆性材料由于沒有屈服階段，應(yīng)力集中處達(dá)到材料的強(qiáng)度極限時(shí)，將引起局部斷裂，大大降低構(gòu)件的承載能力，從而導(dǎo)致整個(gè)構(gòu)件的斷裂，故在強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，必須考慮應(yīng)力集中的影響。但對常用的鑄鐵構(gòu)件來講，由于它內(nèi)部組織很不均勻，到處有應(yīng)力集中，因而構(gòu)件外形突變引起的應(yīng)力集中相比之下已成為微不足