工程彈塑性力學(xué)-第五章 簡單力學(xué)應(yīng)力 變關(guān)系

1、工程彈塑性力學(xué),1.5 簡單應(yīng)力狀態(tài)的彈塑性問題,1.1.5.1 基本實(shí)驗(yàn)資料1.1.5.2 應(yīng)力－應(yīng)變的簡化模型1.1.5.3 應(yīng)變的表示法1.1.5.4 理想彈塑性材料的簡單桁架1.1.5.5 線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架1.1.5.6 加載路徑對桁架內(nèi)應(yīng)力和應(yīng)變的影響,1.5.1 基本實(shí)驗(yàn)資料,一、應(yīng)力--應(yīng)變曲線,（1）單向拉伸曲線,（a）有明顯屈服流動階段,拉伸試驗(yàn)和靜水壓力試驗(yàn)是塑性力學(xué)中的兩個(gè)基本

2、試驗(yàn)，塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的建立是以這些實(shí)驗(yàn)資料為基礎(chǔ)。,屈服應(yīng)力,屈服應(yīng)力,如:低碳鋼,鑄鐵,合金鋼等,如:中碳鋼,高強(qiáng)度合金鋼,有色金屬等,1.5.1 基本實(shí)驗(yàn)資料,一、應(yīng)力--應(yīng)變曲線,經(jīng)過屈服階段后，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力。在第二次加載過程中，彈性系數(shù)仍保持不變，但彈性極限及屈服極限有升高現(xiàn)象，其升高程度與塑性變形的歷史有關(guān)，決定與前面塑性變形的程度。這種現(xiàn)象稱為材料的應(yīng)變強(qiáng)化(或加工硬化)。,材料在塑性階段的一個(gè)重要特點(diǎn)：在

3、加載和卸載的過程中應(yīng)力和應(yīng)變服從不同的規(guī)律：,加載,卸載,,簡單拉伸試驗(yàn)的塑性階段：,1.5.1 基本實(shí)驗(yàn)資料,一、應(yīng)力--應(yīng)變曲線,（2）拉伸與壓縮曲線的差異（一般金屬材料）,應(yīng)變<10%時(shí)，基本一致；應(yīng)變?10%時(shí)，較大差異。,一般金屬的拉伸與壓縮曲線比較,用簡單拉伸試驗(yàn)代替簡單壓縮試驗(yàn)進(jìn)行塑性分析是偏于安全的。,1.5.1 基本實(shí)驗(yàn)資料,一、應(yīng)力--應(yīng)變曲線,（3）反向加載,卸載后反向加載，ss’’< ss’——

4、Bauschinger效應(yīng),拉伸塑性變形后使壓縮屈服極限降低的現(xiàn)象。即正向強(qiáng)化時(shí)反向弱化。,1.5.1 基本實(shí)驗(yàn)資料,一、應(yīng)力--應(yīng)變曲線,(4) 斷裂特性,伸長率:,標(biāo)志材料的塑性特性，其值越大則材料破壞后的殘余變形越大。,截面收縮率:,dk ?5%：塑性材料；低碳鋼dk=20% ~30% dk <5%：脆性材料。,1.5.1 基本實(shí)驗(yàn)資料,塑性變形有以下特點(diǎn)：,(2)、由于應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系的非線性，應(yīng)力與應(yīng)變間不存在單值

5、對應(yīng)關(guān)系，同一個(gè)應(yīng)力可對應(yīng)不同的應(yīng)變，反過來也是如此。這種非單值性是一種路徑相關(guān)性，即需要考慮加載歷史。,(1)、由于塑性應(yīng)變不可恢復(fù)，所以外力所作的塑性功具有不可逆性，或稱為耗散性。在一個(gè)加載卸載的循環(huán)中外力作功恒大于零，這一部分能量被材料的塑性變形損耗掉了。,(3)、當(dāng)受力固體產(chǎn)生塑性變形時(shí)，將同時(shí)存在有產(chǎn)生彈性變形的彈性區(qū)域和產(chǎn)生塑性變形的塑性區(qū)域。并且隨著載荷的變化，兩區(qū)域的分界面也會產(chǎn)生變化。,1.5.1 基本實(shí)驗(yàn)資料,二、

6、靜水壓力(各向均勻受壓)試驗(yàn),(1)、體積變化,體積應(yīng)變與壓力的關(guān)系 (bridgman實(shí)驗(yàn)公式),體積壓縮模量,派生模量,銅：當(dāng)p＝1000MPa時(shí)，ap＝7.31×10-4，而bp2＝2.7×10-6。說明第二項(xiàng)遠(yuǎn)小于第一項(xiàng)，可以略去不計(jì)。因此根據(jù)上述試驗(yàn)結(jié)果，在塑性理論中常認(rèn)為體積變形是彈性的。,因而對鋼、銅等金屬材料，可以認(rèn)為塑性變形不受靜水壓力的影響。但對于鑄鐵、巖石、土壤等材料，靜水壓力對屈服應(yīng)力和塑性變

7、形的大小都有明顯的影響，不能忽略。,1.5.1 基本實(shí)驗(yàn)資料,二、靜水壓力(各向均勻受壓)試驗(yàn),(2)、靜水壓力對屈服極限的影響,Bridgman對鎳、鈮的拉伸試驗(yàn)表明，靜水壓力增大，塑性強(qiáng)化效應(yīng)增加不明顯，但頸縮和破壞時(shí)的塑性變形增加了。,靜水壓力對屈服極限的影響?？珊雎?。,1.5.2 應(yīng)力應(yīng)變簡化模型,一般應(yīng)力-應(yīng)變曲線： s =Ee ， e es (屈服后),選取模型的標(biāo)準(zhǔn)：,1、必須符合材料的實(shí)際性質(zhì),2、數(shù)學(xué)

8、上必須是足夠地簡單,,1.5.2 應(yīng)力應(yīng)變簡化模型,1. 理想彈塑性模型,符號函數(shù):,（軟鋼或強(qiáng)化率較低的材料）,加載:,卸載:,為一個(gè)大于或等于零的參數(shù),1.5.2 應(yīng)力應(yīng)變簡化模型,1. 理想彈塑性模型,用應(yīng)變表示的加載準(zhǔn)則：,加載:,卸載:,符號函數(shù):,公式只包括了材料常數(shù)E和?，故不能描述應(yīng)力應(yīng)變曲線的全部特征；,在?＝?s處解析式有變化，給具體計(jì)算帶來困難;,理想彈塑性模型抓住了韌性材料的主要特征，因而與實(shí)際情況符合得較好

9、。,缺點(diǎn):,優(yōu)點(diǎn):,1.5.2 應(yīng)力應(yīng)變簡化模型,2. 線性強(qiáng)化彈塑性模型,（材料有顯著強(qiáng)化率）,加載:,卸載:,1.5.2 應(yīng)力應(yīng)變簡化模型,2. 線性強(qiáng)化彈塑性模型,用應(yīng)變表示的加載準(zhǔn)則：,加載:,卸載:,在許多實(shí)際工程問題中，彈性應(yīng)變<<塑性應(yīng)變，因而可以忽略彈性應(yīng)變。,1.5.2 應(yīng)力應(yīng)變簡化模型,* 剛塑性模型（忽略彈性變形）,(b) 線性強(qiáng)化剛塑性模型,(a) 理想剛塑性模型,特別適宜于塑性極限載荷的

10、分析。,總應(yīng)變較大，,1.5.2 應(yīng)力應(yīng)變簡化模型,3. 一般加載規(guī)律,w(e)=AC/AB彈性曲線與實(shí)際曲線的相對差值,(1.5.12),1.5.2 應(yīng)力應(yīng)變簡化模型,對線性強(qiáng)化彈性材料在加載時(shí):,,,(1.5.13),1.5.2 應(yīng)力應(yīng)變簡化模型,4.冪次強(qiáng)化模型,在?＝0處與?軸相切,理想彈性模型,理想剛塑性模型,虎克定律,只有兩個(gè)參數(shù)A和n，因而也不可能準(zhǔn)確地表示材料的所有特征。但由于解析式比較簡單，而且n可以在較大范圍

11、內(nèi)變化，所以也經(jīng)常被采用。,(1.5.14),1.5.2 應(yīng)力應(yīng)變簡化模型,1.5. Ramberg-Osgood模型 (三參數(shù)模型),?1，?1為0.7E(初始切線模量)處的應(yīng)力應(yīng)變,強(qiáng)化指數(shù),強(qiáng)化系數(shù),(1.5.15),流動應(yīng)力s1取(sb+s0.2)/2。sb為抗拉強(qiáng)度，s0.2為工程屈服應(yīng)力；流動應(yīng)變e1= s1/E，E為彈性模量。,例：鈦合金鋼,有三個(gè)參數(shù)，能較好地代表真實(shí)材料，數(shù)學(xué)表達(dá)式簡單。,1.5.2 應(yīng)力應(yīng)變簡化模

12、型,1). 等向強(qiáng)化模型 拉伸和壓縮時(shí)的屈服極限相等,2). 隨動強(qiáng)化模型 拉伸和壓縮的彈性范圍不變,6.反向加載應(yīng)力-應(yīng)變簡化模型,等向強(qiáng)化：OABB’’隨動強(qiáng)化：OABB’,(1.5.16),例：線性強(qiáng)化的情形,(1.5.17),(1.5.18),塑性應(yīng)變按絕對值進(jìn)行累積,1.5.2 應(yīng)力應(yīng)變簡化模型,解：,例題：,已知一單向加載過程的應(yīng)力路徑為0?1.5ss ?0 ? –ss ?0，材料符合線性隨動強(qiáng)化規(guī)律，強(qiáng)化

13、模量E’=E/100，試求出對應(yīng)的應(yīng)變路徑。,應(yīng)變路徑為：0?51ss/E? 49.5ss/E ? –ss/E ?0,1.5.2 應(yīng)力應(yīng)變簡化模型,例2：,應(yīng)力路徑：0?1.5ss ?0 ? –1.2ss ?0,應(yīng)變路徑：,解：,0?51es? 49.5es ? –21es ? –19.8es,1.5.3 應(yīng)變的表示法,工程應(yīng)變：,自然應(yīng)變/對數(shù)應(yīng)變：,原始長度,變形后長度,(1.5.19),,適用于大變形,(1.5.20),(1.

14、5.21),,不適用于大變形,在塑性變形較大時(shí)，用?-?曲線不能真正代表加載和變形的狀態(tài)。,頸縮階段：,應(yīng)變?；應(yīng)力?,,不符合材料的實(shí)際情況,1.5.3 應(yīng)變的表示法,工程應(yīng)變與自然應(yīng)變的關(guān)系：,（1）小變形時(shí)，e ?E；變形程度越大， 誤差越大。,(1.5.22),當(dāng)變形程度小于10%時(shí)，兩值比較接近。,小變形與大變形界限的由來,1.5.3 應(yīng)變的表示法,工程應(yīng)變與自然應(yīng)變的關(guān)系：,（2）自然應(yīng)變?yōu)榭杉討?yīng)變，工程應(yīng)變?yōu)椴豢杉討?yīng)變

15、,(1.5.23),例如： l0 ? 1.5l0 ? 1.8l0 ? 2l0,假設(shè)某物體原長l0 ，經(jīng)歷l1，l2變?yōu)閘3，總相對應(yīng)變?yōu)椋?各階段的相應(yīng)應(yīng)變?yōu)椋?,1.5.3 應(yīng)變的表示法,工程應(yīng)變與自然應(yīng)變的關(guān)系：,（2）自然應(yīng)變?yōu)榭杉討?yīng)變，工程應(yīng)變?yōu)椴豢杉討?yīng)變,(1.5.24),用自然應(yīng)變表示變形程度：,各階段的相應(yīng)應(yīng)變?yōu)椋?,(1.5.25),1.5.3 應(yīng)變的表示法,工程應(yīng)變與自然應(yīng)變的關(guān)系：,（3）自然應(yīng)變?yōu)榭杀葢?yīng)變，工

16、程應(yīng)變?yōu)椴豢杀葢?yīng)變,,失去了可以比較的性質(zhì),,可以比較,1.5.4 理想彈塑性材料的簡單桁架,平衡方程：,如圖，三桿桁架受豎向力P作用，桿件截面均為A，試作彈塑性分析。,消去N3，并用應(yīng)力表示：,(1.5.26),變形協(xié)調(diào)關(guān)系：,(1.5.27),1.5.4 理想彈塑性材料的簡單桁架,一、彈性階段（ P? Pe）,應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：,（Pe：彈性極限荷載）,聯(lián)立(1.5.26)?(1.5.29),,(1.5.28),(1.5.29),

17、(1.5.30),(1.5.31),當(dāng)s2=ss時(shí)，桁架內(nèi)將出現(xiàn)塑性狀態(tài)，相應(yīng)的荷載為彈性極限荷載Pe,(1.5.32),對應(yīng)A點(diǎn)位移為:,(1.5.34),(1.5.33),(1.5.30),(1.5.31)變?yōu)?1.5.4 理想彈塑性材料的簡單桁架,二、彈塑性階段（ P > Pe）,（塑性流動階段）,約束塑性變形階段：,桿2已屈服，桿1、3仍為彈性,塑性流動階段：,3桿均屈服,相應(yīng)的荷載為塑性極限荷載,點(diǎn)A的位移：,(1.5

18、.38),(1.5.35),(1.5.36),(1.5.37),1.5.4 理想彈塑性材料的簡單桁架,彈性與塑性極限荷載（極限位移）的關(guān)系：,荷載-撓度曲線：,(1.5.39),1.5.4 理想彈塑性材料的簡單桁架,卸載符合彈性規(guī)律。設(shè)荷載變化為DP ，則由式(1.5.33)得,三、卸載,若加載至P*（ Pe< P*< Ps ）再卸載至零，即DP=P*，則殘余應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)?(1.5.40),整體處于彈塑性階段時(shí)桿1的應(yīng)力

19、,彈性階段的應(yīng)力,(1.5.41),對于超靜定結(jié)構(gòu)，卸去外荷載后，殘余應(yīng)變≠塑性應(yīng)變，它含有彈性應(yīng)變。,,1.5.4 理想彈塑性材料的簡單桁架,從P*卸載至零的過程為彈性變形過程，從零再重復(fù)加載到P*（ P* >Pe），此過程仍為彈性過程。這相當(dāng)于將彈性范圍由擴(kuò)大了。,四、重復(fù)加載,這種使其彈性范圍擴(kuò)大的有利的殘余應(yīng)力狀態(tài)稱為安定狀態(tài)。,1.5.5 線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架,聯(lián)立平衡和協(xié)調(diào)方程可求得,平衡方程與協(xié)調(diào)方程不變

20、,加載過程，物理方程改變部分：,1. 彈性階段 (P? Pe)：與理想彈塑性相同,2. 約束塑性變形階段(P ?Pe)：,(1.5.42),(1.5.43),1.5.5 線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架,(桿1、3進(jìn)入屈服),3. 塑性流動階段(P ?Pe)：,,(1.5.44),與理想彈塑性材料的比較：,(1.5.45),如考慮中等強(qiáng)化情形:,說明這時(shí)理想塑性的近似還是比較好的，考慮強(qiáng)化對它的影響不大。,1.5.5 線性強(qiáng)化彈塑性材料

21、的簡單桁架,考慮隨動強(qiáng)化，加載應(yīng)力范圍為2ss ，即要求Ds2 ?2ss，,4. 卸載：,仍按彈性規(guī)律變化,卸載后桿2轉(zhuǎn)為壓應(yīng)力，是否會進(jìn)入壓縮塑性狀態(tài)？,,,最大安定荷載,1.5.5 線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架,圖示等截面桿，截面積為A，在x=a (a<b)處作用集中力P，試求彈性極限荷載Pe和塑性極限荷載Ps。若加載至Pe< P*<Ps時(shí)卸載，試求殘余應(yīng)力和殘余應(yīng)變。材料分別為:(1)理想彈塑性；(2)線性強(qiáng)化

22、彈塑性。,例題：,解：,平衡方程：,變形協(xié)調(diào)方程：,1.5.5 線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架,(1)理想彈塑性,彈性階段：,代入變形協(xié)調(diào)方程，可得：,聯(lián)立平衡方程，可得：,1.5.5 線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架,彈塑性階段：由s1=ss，并利用平衡方程得：,卸載：加載至Pe< P*<Ps時(shí)卸載，即DP=P*。因卸載符合彈性規(guī)律，故,1.5.5 線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架,殘余應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)?1.5.6 加載路徑對桁

23、架應(yīng)力應(yīng)變的影響,加載方案①,時(shí):,(1.5.46),1.5.6 加載路徑對桁架應(yīng)力應(yīng)變的影響,加載方案①,由,從零開始增加Q，P將相應(yīng)改變,對應(yīng)的應(yīng)力增量和應(yīng)變增量的平衡方程：,(1.5.47),,,(1.5.48),保持δy不變，即Δ δy=0；施加Q，則Δ δx>0,桿1，2仍保持塑性狀態(tài),桿3卸載,1.5.6 加載路徑對桁架應(yīng)力應(yīng)變的影響,加載方案①,從(1.5.47)可得：,(1.5.49),,當(dāng)Δ ?3=-2 ?