第十二章應力狀態(tài)和強度理論

1、第十二章 應力狀態(tài)與強度理論,,,軸向拉壓,同一橫截面上各點應力相等：,,,,同一點在斜截面上時：,,同一點在不同方位截面上，它的應力也是各不相同的,橫截面上正應力分析和切應力分析的結(jié)果表明：同一面上不同點的應力各不相同。,,,,§12-1 應力狀態(tài)的基本概念,一、單元體,微元?單元體,單元體邊長無窮?。粦ρ剡呴L無變化；單元體各個面上的應力是均勻分布的；兩個平行面上的應力大小相等。,二、應力狀態(tài)的概念,受力構(gòu)件內(nèi)

2、一點處不同方位截面上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態(tài)。,三、主單元體、主應力與主平面,?主單元體： 各側(cè)面上切應力均為零的單元體。,?主平面： 切應力為零的平面。,?主應力： 主平面上的正應力。,?主應力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，,三、應力狀態(tài)的分類,三個主應力中只有一個不等于0 ? 單向應力狀態(tài),三個主應力中有兩個不等于0 ? 二向（平面）應力狀態(tài),三、應力狀態(tài)的分類,三個主應力都不等于0 ? 三向（空間）應力

3、狀態(tài),三、應力狀態(tài)的分類,在車輪壓力作用下，車輪與鋼軌接觸點A處的應力狀態(tài),§12-2　平面應力狀態(tài)分析,一、平面應力狀態(tài)分析的解析法,平面應力狀態(tài)是工程中最為常見的一種應力情況，一般的單元體如圖：,1、解析法求斜截面上的應力,左圖中上述各項方向均為正方向,切應力的符號規(guī)定：若切應力對所在截面內(nèi)側(cè)任意點之矩為順時針方向時，為正號，反之，逆為負號。,正應力的符號規(guī)定：正應力為拉應力，即方向背離截面時，規(guī)定為正；正應力為壓應力，即

4、方向指向截面時，規(guī)定為負。,斜截面方位角的符號規(guī)定：由x軸轉(zhuǎn)向外法線n為逆時針轉(zhuǎn)向時，α為正號，反之，順為負號。,通過截面外法線的方位定義截面的位置,1、解析法求斜截面上的應力,1、解析法求斜截面上的應力,對以上兩個式子進行數(shù)學整理，可得到任意斜截面上的正應力和切應力的一般公式:,1、解析法求斜截面上的應力,2、應力極值,sa和ta隨著a的變化而變化，是a的函數(shù)，對a求導數(shù)可得到其極值。,若a = a0時，導數(shù)為0,通過上式可以求出相差

5、p/2的兩個角度a0，它們確定兩個相互垂直的面，其中一個是最大正應力所在的平面，另一個是最小正應力所在平面。,若將a0的值代入切應力公式:,可得:,得到以下結(jié)論:,1) 切應力為0的平面上，正應力為最大或最小值；,2) 切應力為0的平面是主平面，主平面上的正應力是主應力，所以主應力就是最大或者最小的正應力。,將a0代入sa的計算公式，,計算得到最大和最小正應力,2、應力極值,試求（1）? 斜面上的應力； （2）主應力、主平面

6、； （3）繪出主應力單元體。,例題1：一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。(MPa),,,解：,（1）? 斜面上的應力,,,（2）主應力、主平面,,,主平面的方位：,代入 表達式可知,,,主應力 方向：,主應力 方向：,（3）主應力單元體：,,,課堂練習: 求圖示單元體斜面de上的正應力和切應力，主應力，繪出主單元體，單位MPa,例12-2,討論圓軸扭轉(zhuǎn)時的應力狀態(tài)，并分析鑄鐵試件受扭時的破壞現(xiàn)象。,圓軸扭轉(zhuǎn)時，在橫

7、截面的邊緣處切應力最大，其數(shù)值為:,在圓軸表層，取出單元體。,例12-2,n1和n2是截面的法線。因此主單元體應如圖所示,3個主應力按照代數(shù)排序,例12-2,圓截面鑄鐵試件扭轉(zhuǎn)時，表面各點smax所在平面連成傾角為45°的螺旋面。由于鑄鐵抗拉強度較低，試件將沿這一螺旋面因拉伸而發(fā)生斷裂破壞。,例12-2,3、二向應力狀態(tài)實例,取n-n截面，分析上面部分,承受內(nèi)壓的薄壁容器,取圖示部分加以分析,如圖示取一段微面積,微面積上的壓力

8、,壓力在 y 軸上投影,和為,3、二向應力狀態(tài)實例,3、二向應力狀態(tài)實例,1、應力圓的概念,將以上兩式取平方和,若以sa，ta 為變量，則為圓方程,圓心:,半徑:,圓周上的每一個點的橫縱座標分別代表所研究的單元體某截面的正應力和切應力，故稱應力圓，或莫爾圓。,二、平面應力狀態(tài)分析的圖解法,2、應力圓的繪制,Step1: 確定點D(sx,txy),Step2: 確定點D'(sy,tyx) tyx= -txy,Step3: 連接DD

9、'與s 軸交于C點,Step4: 以C為圓心，CD（CD'）為半徑畫圓。,,3、利用應力圓確定a 截面上的正應力和切應力,作法:,D點代表的是以x軸為外法線的面上的應力,由x軸到任意斜面法線n 的夾角為逆（順）時針的a角，在應力圓上，從D點也按逆（順）時針轉(zhuǎn)動，且使對應的圓心角為2a。（2倍角關(guān)系）,注意根據(jù)兩倍角關(guān)系確定主平面所在的位置。,4、利用應力圓求主單元體（主應力的大小和方位）,課堂練習:已知如圖所示的單元體

10、.求主應力，并確定主平面的位置。,1、三向應力狀態(tài)的應力圓,如圖所示三向應力狀態(tài)的主單元體,考察圖示的三棱柱體，斜面與前后面相垂直。,平行于s3的斜面上的應力，僅與s1和s2有關(guān)，則可由s1和s2所確定的應力圓上的相應點的坐標來表示。,同理單元體內(nèi)與s1平行的各斜面上的應力可由s3和s2所作的應力圓上的坐標表示，單元體內(nèi)與s2平行的各斜面上的應力可由s1和s3所作的應力圓上的坐標表示。,§12-3 三向應力狀態(tài)的應力圓,1、三

11、向應力狀態(tài)的應力圓,研究表明: 對于與三個主應力均不平行的任意斜面上的應力，它們在s-t 坐標平面內(nèi)對應的點必位于由上述三個應力圓所構(gòu)成的綠色區(qū)域內(nèi)。,2、三向應力狀態(tài)的最大切應力,1、廣義胡克定律的簡單推導,前面談到的胡克定律:,單向拉伸條件下桿件產(chǎn)生橫向應變:,純剪切情況下:,最一般情況下，描述一點的應力狀態(tài)需要九個應力分量，如圖所示:,根據(jù)切應力互等定理,則獨立的應力分量只有六個。,§12-4 廣義胡克定律,1、廣義胡克

12、定律的簡單推導,對于各向同性材料: 小變形及線彈性范圍內(nèi)，線應變只和正應力有關(guān)，與切應力無關(guān)；而切應變只和切應力有關(guān)，與正應力無關(guān)。 利用疊加法可求得各方向上的線應變。,+,+,1、廣義胡克定律的簡單推導,利用同樣的方法可以求得 y 和 z 方向上的線應變。最后可得:,切應變和切應力之間，與正應力無關(guān)，因此:,以上被稱為廣義胡克定律。,1、廣義胡克定律的簡單推導,對平面應力狀態(tài)：設(shè)?z=0，?xz=0，?yz

13、=0，有：,當單元體的周圍六個面皆為主平面時:,e1、e2、e3為主應變。主應變和主應力的方向是重合的。,1、廣義胡克定律的簡單推導,二向應力狀態(tài)：,,2、體積應變與體積模量,當單元體處在復雜應力狀態(tài)時，其體積也將發(fā)生變化，如圖所示:,變形前的體積:,變形后邊長變化為:,體積變化為:,略去高階微量:,單位體積的改變或體積應變?yōu)?,主應力平均值,體積彈性模量,2、體積應變與體積模量,,,,例12-3 在一體積較大的鋼塊上有一直徑為50.

14、01mm的凹座，凹座內(nèi)放置一直徑為50mm的鋼制圓柱如圖，圓柱受到F=300kN的軸向壓力。假設(shè)鋼塊不變形，試求圓柱的主應力。取E=200GPa，μ=0.30。,例12-3 在一體積較大的鋼塊上有一直徑為50.01mm的凹座，凹座內(nèi)放置一直徑為50mm的鋼制圓柱如圖，圓柱受到F=300kN的軸向壓力。假設(shè)鋼塊不變形，試求圓柱的主應力。取E=200GPa，μ=0.30。,②在軸向壓縮下，圓柱將向橫向膨脹，當它脹到塞滿凹座后，凹座與柱體之間

15、將產(chǎn)生徑向均勻壓力p。柱體內(nèi)任一點均為二向壓應力狀態(tài)，柱內(nèi)任一點的徑向與周向應力均為-p，考慮到柱與凹座之間的間隙，可得應變e2的值為：,解：①在柱體橫截面上的壓應力為：,F,,,,,,,④柱內(nèi)各點的三個主應力為：,求得：,,,③由廣義虎克定律：,例12-3 在一體積較大的鋼塊上有一直徑為50.01mm的凹座，凹座內(nèi)放置一直徑為50mm的鋼制圓柱如圖，圓柱受到F=300kN的軸向壓力。假設(shè)鋼塊不變形，試求圓柱的主應力。取E=200GP

16、a，μ=0.30。,F,,,,,,,例 邊長a =0.1m的銅立方塊，無間隙地放入體積較大、變形可忽略的鋼凹槽中，如圖a所示。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比? =0.34。當受到F=300kN的均布壓力作用時，試求銅塊的主應力、體應變以及最大切應力。,解：銅塊應力狀態(tài)如圖b所示，橫截面上的壓應力為：,,,聯(lián)解可得：,受鋼槽的限制，銅塊在另兩個方向的應變?yōu)榱?，并產(chǎn)生壓應力，即有：,,,利用空間應力狀態(tài)下最大切應力的計算式可得：

17、,則銅塊的主應力為：,由此可得其體應變?yōu)椋?,,物體在外力作用下發(fā)生彈性變形， 外力所作的功將使物體積蓄變形能，當外力卸除后，此變形能釋放并對外做功。,這種以彈性變形形式積蓄的能量被稱為 彈性變形能。,若外力作用方式是緩慢加載，變形在彈性范圍內(nèi)，則可忽略動能和其他能量損耗，而以外力作功的大小來計算彈性變形能的大小。,§12-5 空間應力狀態(tài)下的應變能密度,三向應力狀態(tài)下：單元體的應變能密度為：,代入廣義胡克定律:,§

18、;12-5 空間應力狀態(tài)下的應變能密度,物體的變形可以分成兩個部分: 1、體積改變 2、形狀改變。,將三向應力狀態(tài)的主單元體分為兩組:,=,+,§12-5 空間應力狀態(tài)下的應變能密度,第一組應力sm為平均應力，在它的作用下單元體沿各方向均勻變形，無形狀變化。由此引起的變形能密度，稱為體積改變能密度。,由廣義胡克定律解出em,代入變形能密度公式，并簡化得,§12-5 空間應力狀態(tài)下的應變能密度,第二組應力下單元

19、體體積的改變量為0（可自己驗證體積應變），而各邊的變形不同，故只有形狀改變。第二組應力引起的變形能密度稱為形狀改變變形能密度。,根據(jù)已經(jīng)求得的vv和 ，,形狀改變變形能密度和體積改變變形能密度的和是總的變形能密度。,§12-5 空間應力狀態(tài)下的應變能密度,§12-6 強度理論及其相當應力,1、概述,,,1）單向應力狀態(tài)：,圖示拉伸或壓縮的單向應力狀態(tài)，材料的破壞有兩種形式：,塑性屈服：極限應力為,脆性斷裂：

20、極限應力為,此時，?s、? 0.2和?b可由實驗測得。由此可建立如下強度條件：,,,或,2)純剪應力狀態(tài)：,其中n為安全系數(shù)。,,圖示純剪應力狀態(tài)，材料的破壞有兩種形式：,塑性屈服：極限應力為,脆性斷裂：極限應力為,其中，?s和?b可由實驗測得。由此可建立如下強度條件：,,,3）復雜應力狀態(tài),來建立，因為?與?之間會相互影響。,研究復雜應力狀態(tài)下材料破壞的原因，根據(jù)一定的假設(shè)來確定破壞條件，從而建立強度條件，這就是強度理論的研究內(nèi)容。,

21、對圖示平面應力狀態(tài)，不能分別用,,,4）材料破壞的形式,塑性屈服型：,常溫、靜載時材料的破壞形式大致可分為：,脆性斷裂型：,鑄鐵：拉伸、扭轉(zhuǎn)等；,低碳鋼：三向拉應力狀態(tài)。,低碳鋼：拉伸、扭轉(zhuǎn)等；,鑄鐵：三向壓縮應力狀態(tài)。,例如：,例如：,可見：材料破壞的形式不僅與材料有關(guān)，還與應力狀態(tài)有關(guān)。,,,根據(jù)一些實驗資料，針對上述兩種破壞形式，分別針對它們發(fā)生破壞的原因提出假說，并認為不論材料處于何種應力狀態(tài)，某種類型的破壞都是由同一因素引起，

22、此即為強度理論。,脆性斷裂：,塑性屈服：,5）強度理論,常用的破壞判據(jù)有：,下面將討論常用的、基于上述四種破壞判據(jù)的強度理論。,,,2、四個常用的強度理論,強度條件：,1）最大拉應力理論(第一強度理論),假設(shè)最大拉應力?1是引起材料脆性斷裂的因素。不論在什么樣的應力狀態(tài)下，只要三個主應力中的最大拉應力?1達到極限應力?u，材料就發(fā)生脆性斷裂，即：,可見：a) 與?2、?3無關(guān)； b) 應力?u可用單向拉伸試樣發(fā)生

23、脆性斷裂的 試驗來確定。,,,實驗驗證：鑄鐵：單拉、純剪應力狀態(tài)下的破壞與該理論相符；平面應力狀態(tài)下的破壞和該理論基本相符。,存在問題：沒有考慮?2、?3對脆斷的影響，無法解釋石料單壓時的縱向開裂現(xiàn)象。,假設(shè)最大伸長線應變?1是引起脆性破壞的主要因素，則：,?u用單向拉伸測定，即：,,2）最大伸長線應變理論(第二強度理論),,,實驗驗證： a) 可解釋大理石單壓時的縱向裂縫； b) 鑄鐵二

24、向、三向拉應力狀態(tài)下的實驗不符； c) 對鑄鐵一向拉、一向壓的二向應力狀態(tài)偏于 安全，但可用。,因此有：,強度條件為：,因為：,,,對低碳鋼等塑性材料，單向拉伸時的屈服是由45°斜截面上的切應力引起的，因而極限應力?u可由單拉時的屈服應力求得，即：,3）最大切應力理論(第三強度理論),假設(shè)最大切應力?max是引起材料塑性屈服的因素，則：,因為：,,,實驗驗證：,c) 二向應力狀態(tài)基本符合，偏于安全。,b

25、) 僅適用于拉壓性能相同的材料。,由此可得，強度條件為：,a) 僅適用于拉壓性能相同的材料；,b) 低碳鋼單拉(壓)對45?滑移線吻合；,存在問題：,沒考慮?2對屈服的影響，偏于安全，但誤差較大；,,,假設(shè)形狀改變能密度vd是引起材料塑性屈服的因素，即：,4）形狀改變能密度理論(第四強度理論),因為材料單拉屈服時有：,可通過單拉試驗來確定。,所以：,又：,,,因此：,由此可得強度條件為：,實驗驗證：,a) 較第三強度理論更接近實際值；,

26、b) 材料拉壓性能相同時成立。,,,強度理論的統(tǒng)一形式：,最大拉應力(第一強度)理論：,最大伸長線應變(第二強度)理論：,最大切應力(第三強度)理論：,?r稱為相當應力，分別為：,形狀改變能密度(第四強度)理論：,,,,應用范圍：,a) 僅適用于常溫、靜載條件下的均勻、連續(xù)、各向同性的材料；,b) 不論塑性或脆性材料，在三向拉應力狀態(tài)都發(fā)生脆性斷裂，宜采用第一強度理論；,c) 對于脆性材料，在二向拉應力狀態(tài)下宜采用第一強度理論；,d)

27、對塑性材料，除三向拉應力狀態(tài)外都會發(fā)生屈服，宜采用第三或第四強度理論；,e) 不論塑性或脆性材料，在三向壓應力狀態(tài)都發(fā)生屈服失效，宜采用第四強度理論。,,,3、強度理論的應用,例 兩危險點的應力狀態(tài)如圖，? =?，由第三、第四強度理論分別比較其危險程度。,解：對圖a所示應力狀態(tài)，因為,,,所以：,,,對圖b所示應力狀態(tài)，有：,所以：,,,可見：由第三強度理論，圖b所示應力狀態(tài)比圖a所示的安全；而由第四強度理論，兩者的危險程度一樣。,注意

28、：圖a所示應力狀態(tài)實際上為拉扭和彎扭組合加載對應的應力狀態(tài)，其相當應力如下：,可記住，便于組合變形的強度校核。,,,,由第三強度理論，有：,,,例 利用第三或第四強度理論求純剪應力狀態(tài)下屈服應力?s和拉壓屈服應力?s之間的關(guān)系。,當? =?s時材料發(fā)生屈服，因此有：,解：圖示純剪應力狀態(tài)的主應力為：,而當材料拉壓屈服時有：,,,由此可得：,利用第四強度理論，有：,即，,純剪：,單拉：,由此可得：,,,,,,例 兩端簡支的工字鋼梁承受荷載

29、如圖a所示。已知材料（Q235鋼）的許用應力為[?]=170MPa和[?]= 100MPa。試按強度條件選擇工字鋼號碼。,解：首先確定鋼梁的危險截面。,作出梁的剪力圖和彎矩圖如圖b和圖c所示，可見C、D截面為危險截面，取C截面計算，其剪力和彎矩為：,,,,先按正應力強度條件選擇截面型號。因最大正應力發(fā)生在C截面的上、下邊緣處，且為單向應力狀態(tài)，由正應力強度條件可得截面系數(shù)為：,據(jù)此可選用28a號工字鋼，其截面系數(shù)為：,再按切應力強度條件

30、進行校核。對28a號工字鋼，查表可得截面幾何性質(zhì)為：,,,中性軸處的最大切應力（純剪應力狀態(tài)）為：,可見，選用28a號工字鋼滿足切應力強度條件，簡化的截面形狀和尺寸以及應力分布如圖d所示。,,,利用圖d所示的截面簡化尺寸和已有的Iz，可求得a點的正應力?和切應力?分別為：,以上分析僅考慮了最大正應力和切應力作用的位置，而對工字型截面腹板和翼緣交界處（圖d中的a點），正應力和切應力都較大，且處于平面應力狀態(tài)（見圖e），因此還需對此進行強度

31、校核。,,,其中，Sz為橫截面的下緣面積對中性軸的靜矩，為：,由前例可得，圖e所示應力狀態(tài)的第四強度理論相當應力為：,,,可見，28a號工字鋼不能滿足要求。改用28b號工字鋼，按同樣的方法可得：,可用。,若用第三強度理論，則相當應力為：,請自行計算最終結(jié)果。,,,注意：本例中對a點的強度校核是按簡化后的截面尺寸進行的。實際上，對符合國家標準的型鋼并不需要對該點進行校核；然而，對自行設(shè)計的焊接而成的組合工字梁則需進行校核。,,,練習題：