流體力學第6章7-11節(jié)

1、第七節(jié) 理想流體的旋渦運動,如流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度ω≠0，則是有旋運動，也稱為旋渦運動。 理想流體的流動可以是有勢的，也可以是有旋的。但粘性流體的流動一般是有旋的。 第七-十節(jié)講述理想不可壓縮流體的旋渦運動，涉及的基本概念及定理有：渦線、渦管和渦束；渦通量和速度環(huán)量；斯托克斯定理；湯姆遜定理；亥姆霍茲定理；畢奧-沙伐爾公式；卡門渦街。,一、渦線、渦管和渦束 1. 渦 線定義：渦線是旋渦場中一條曲線，曲線上各點處的旋轉(zhuǎn)角速度

2、矢量都與這一曲線相切。渦線的微分方程：,,,,2. 渦 管定義：在旋渦場中取一非渦線的閉曲線，通過這一閉曲線上每點作渦線，這些渦線形成了一封閉管狀曲面，稱為渦管。與渦管垂直的斷面稱為渦管斷面。微小斷面的渦管稱為微元渦管。,3. 渦 束,渦管內(nèi)充滿著作旋轉(zhuǎn)運動的流體稱為渦束，微元渦管里的渦束稱為微元渦束。,表征速度場和旋渦場的常用概念,渦通量J (旋渦強度)微元渦管內(nèi)的渦通量:,二、渦通量和速度環(huán)量,如果把旋轉(zhuǎn)角速度比擬

3、成速度，通過曲面的渦通量與通過一曲面的流量相類似。,,非渦管斷面,通過任一有限曲面的渦通量為：,2. 速度環(huán)量Γ 定義：某一瞬時在流場中取任意封閉曲線，在曲線上取一微元線段 ，速度 在 的切線上的分量沿閉曲線的線積分，即為沿該閉曲線的速度環(huán)量。,一、斯托克斯定理,第八節(jié) 理想流體旋渦運動 的基本定理,斯托克斯（Stokes）定理: 沿封閉曲線的速度環(huán)量等于該封閉曲線內(nèi)所有渦通量的和。,該定理將速度場和旋渦場之

4、間聯(lián)系起來。,,,,,,證明：,先證明微元封閉曲線的斯托克斯定理。,證明了微元封閉曲線的斯托克斯定理，即沿微元封閉曲線的速度環(huán)量等于通過該曲線所包圍的面積的渦通量。,再證明此定理適用于有限大封閉曲線所包圍的單連通域。,,可將斯托克斯定理推廣至空間單連通區(qū)域。,對于復連通區(qū)域，需要做一些變換。,因為,得到,由斯托克斯定理，有,復連通區(qū)域的斯托克斯定理可以描述為：通過復連通域的渦通量等于沿這個區(qū)域的外周線的速度環(huán)量與所有內(nèi)周線的速度環(huán)量總和

5、之差。,例 試證明均勻流的速度環(huán)量等于零。,證明：,流體以等速度v∞水平方向流動，首先求沿矩形封閉曲線的速度環(huán)量,其次求圓周線的速度環(huán)量,同樣可以證明均勻流沿任何其它形狀的封閉曲線的速度環(huán)量等于零。,二、湯姆遜定理和亥姆霍茲定理,流體線：在流場中任意指定的一段線，該線段在運動過程中始終是由同樣的流體質(zhì)點所組成。,研究旋渦的隨體變化規(guī)律的途徑,,,直接研究渦通量的隨體變化規(guī)律,先直接研究速度環(huán)量的隨體變化規(guī)律，然后由斯托克斯定理求出

6、渦通量的隨體變化規(guī)律,,stokes,√,1、湯姆遜（Thomson）定理,正壓的理想流體在有勢質(zhì)量力的作用下沿任何封閉流體線的速度環(huán)量不隨時間變化， 即 。,證明：,流線體,Ⅰ,Ⅱ,Ⅰ式積分為：,理想流體的運動微分方程為：,Ⅱ式積分：,,質(zhì)量力有勢,因此,正壓流體，定義壓力函數(shù),有,因為v、W、P均是時間空間坐標的單值連續(xù)函數(shù),速度環(huán)量是常數(shù)，就證明了湯姆遜定理。,湯姆遜定理得出結(jié)論：對于理想的正壓

7、流體，在有勢質(zhì)量力作用下，旋渦不生不滅。,湯姆遜定理的應(yīng)用——平面翼型起動渦的問題。,1） 亥姆霍茲第一定理 在同一時刻，通過渦管任意斷面的渦通量相同。,,,,2、亥姆霍茲（Helmholtz）定理,包括了三個基本定理，說明了旋渦的基本性質(zhì)。,證明：,,在渦管表面形成一空間封閉曲線ABB’A’A,因為,所以,說明沿包圍渦管任一斷面封閉曲線的速度環(huán)量等于零。再由斯托克斯定理，這些速度環(huán)量都等于穿過這些封閉曲線所包圍的斷面的渦通量，因

8、此，渦管各斷面上的渦通量都相同，即,亥姆霍茲第一定理說明渦管在流體中既不能開始，也不能終止。,,渦管在流體中存在的形式：,a. 首尾相連，形成封閉的渦環(huán)或渦圈；,b. 兩端可以終止于邊壁上（固體壁面或自由面）,2）亥姆霍茲第二定理 正壓的理想流體在有勢質(zhì)量力作用下，組成渦管的流體質(zhì)點將始終組成渦管（渦管永遠保持為由相同流體質(zhì)點所組成）。,,沿這一閉曲線為邊界的曲面的渦通量也將為0，表明這一曲面仍然是渦管表面的一部分，即構(gòu)成渦管表面

9、的流體質(zhì)點始終構(gòu)成渦管表面。,證明：,在圖中的渦管表面取一閉曲線K，沿曲線K的速度環(huán)量為0。,由湯姆遜定理，相同流體質(zhì)點構(gòu)成的封閉曲線的環(huán)量不變化，仍然是0。,3）亥姆霍茲第三定理：,正壓的理想流體在有勢質(zhì)量力作用下，渦管強度不隨時間而變化。,,證明：,作任意封閉曲線L包圍渦管，根據(jù)斯托克斯定理，沿曲線L的速度環(huán)量等于通過該曲線所圍面積的渦通量。,根據(jù)湯姆遜定理，速度環(huán)量不隨時間變化，因此，渦管的旋渦強度不隨時間變化。,結(jié)論：,湯姆遜

10、定理和亥姆霍茲三個定理完整地描述了旋渦運動規(guī)律：正壓理想流體在有勢質(zhì)量力作用下，組成渦線和渦管的流體始終組成渦線和渦管，在運動過程中，渦管強度保持不變。,應(yīng)注意：上述運動規(guī)律的適應(yīng)性以及實際流體的運動情況。,第九節(jié) 旋渦的誘導速度,背景：旋渦集中于一條曲線附近的區(qū)域，該區(qū)域以外流場是無旋的，可認為旋渦集中分布在斷面積為A的渦管內(nèi)，渦管外形成誘導速度場。,計算誘導速度借用電磁場的比奧-沙伐爾公式：,,,磁場強度,電流強度,強度為Γ的任意形

11、狀渦束對于任意點P的誘導速度為：,速度方向由右手法則確定。,長度為l的任意形狀渦束對于任意點P的誘導速度為：,,點P到dl的距離,一、直線渦束的誘導速度,直線渦束AB在P點產(chǎn)生的誘導速度為：,半無限長渦束：,無限長渦束：,二、平面渦層的誘導速度,在無限流場中布置一渦列，這一渦列由多個無限長渦束無間隔地直線排列而成，稱為渦層。,設(shè)單位長度的旋渦密度為γ(x’)，則dx’上的渦通量為：,微段dx’上的渦通量dΓ對P點的誘導速度為：,在整個

12、渦層AB上積分可得點P的誘導速度為：,若γ(x’)為定值，且渦層沿x軸伸展到±∞，則P的誘導速度為：,實際流體繞流一靜止圓柱時，流體在圓柱體表面分離后，將形成旋轉(zhuǎn)方向相反的排列規(guī)則的兩列旋渦流向下游，形成卡門渦街。,第十節(jié) 卡門渦街,,,,,,駐點,,分離點,,第十一節(jié) 空間勢流,一、空間勢流的勢函數(shù),二、軸對稱流動的流函數(shù),四、圓球繞流,五、軸對稱體繞流,三、幾個基本軸對稱流動的流函數(shù),一、空間勢流的勢函數(shù),勢函數(shù)Φ與速度之

13、間的關(guān)系式為：,將上述等式代入不可壓縮流體的連續(xù)性方程：,得到勢函數(shù)的拉普拉斯方程：,邊界條件：物面上無窮遠處,1、空間均勻流,建立直角坐標系(x, y, z)，設(shè)無窮遠來流速度v∞與z軸平行，則速度分量為：,勢函數(shù)為：,如換成柱坐標系（r, θ, z）和球坐標系(R,θ,β) ，則,x=rcosφ 　 y=rsinφ z=z,柱坐標系(r,θ,z)與直角坐標系(x,y,z)的轉(zhuǎn)換關(guān)系：,球坐標系(R,θ,β)與

14、直角坐標系(x,y,z)的轉(zhuǎn)換關(guān)系：　 　x=Rsinθcosβ y=Rsinθsinβ z=Rcosθ,2、空間點源（點匯）,建立球坐標系(R,θ,β) ，在坐標原點處放置一個空間點源（點匯），流量為q，則速度分量為：,由于球坐標系下勢函數(shù)Φ的梯度公式為：,,,,對應(yīng)方向的單位矢量,得到,因此,,3、空間偶極子,依據(jù)勢流疊加原理，P點處的勢函數(shù)為,滿足下面關(guān)系式才能構(gòu)成偶極子流，即,M為常數(shù)，稱為偶極子的強度或偶極

15、矩,偶極子的勢函數(shù)為：,二、軸對稱流動的流函數(shù),軸對稱流動：指流體在過某空間固定軸的所有平面上的運動情況完全相同的流動。因此，只需要研究其中一個平面上的流動就可以知道整個空間內(nèi)流體的運動情況。常見的軸對稱流動有：圓管流動、沿軸向流經(jīng)回轉(zhuǎn)體的流動、水輪機葉輪內(nèi)的流動。,1、柱坐標系(r, θ, z)的流函數(shù)Ψ (r, z),柱坐標系中，不可壓縮流體軸對稱流動的連續(xù)性方程為：,定義流函數(shù)Ψ (r, z)，滿足,,2、球坐標系(R,θ,β

16、)的流函數(shù)Ψ (R,θ),球坐標系中，不可壓縮流體軸對稱流動的連續(xù)性方程為：,定義流函數(shù)Ψ (r, z)，滿足,,3、流函數(shù)的性質(zhì),1）等流函數(shù)線就是流線；,2）在通過包含對稱軸線的流動平面上，任意兩點的流函數(shù)值之差的2π倍，等于通過這兩點間的任意連線的回轉(zhuǎn)面的流量。,證明：,通過回轉(zhuǎn)面的流量為,因為,所以,三、幾個基本軸對稱流動的流函數(shù),1、均勻流,有一速度為v∞的空間均勻流，取z軸為流動方向，在球坐標系(R,θ,β)中為一軸對稱流動

17、，流動參數(shù)與β無關(guān)。,式對R積分，得到,將上式對θ求導，得到,與②式比較，得到 ，即,①,②,①,令 ，最終空間均勻流的勢函數(shù)為,2、空間點源（點匯）,設(shè)在坐標原點有一點源，強度為q?？臻g點P (R,θ,β)的速度矢量為,積分得到,3、空間偶極子,空間偶極子的勢函數(shù)為,積分得到,四、圓球繞流,奇點法：將簡單勢流如均勻流、點源（匯）、偶極子等進行疊加，對較復雜的勢流問題進行求解的方法。,零流線方程為：,,球面

18、方程,球面的半徑,偶極子的強度,因此，流函數(shù)為,勢函數(shù)為,流場中速度分布為,球面上（R=a）的速度分布為,當θ=0，π時，vR=0, vθ=0，即A、B兩點為駐點。,圓球繞流的表面速度的最大值,圓柱繞流的表面速度的最大值,球面壓強分布，由伯努利方程求出,壓強系數(shù),壓強對稱分布，因此球面所受的合力為零。,五、軸對稱體（回轉(zhuǎn)體）繞流,依然采用奇點法分析，需要尋找適當?shù)幕緞萘?，使之與均勻流疊加后的勢函數(shù)和流函數(shù)能滿足物面和無窮遠處的邊界條件

19、。,建立柱坐標系(r,θ,z)，流動參數(shù)與無關(guān)。在對稱軸的OA段上連續(xù)布置源（匯），設(shè)單位長度上的源（匯）強度為q(ζ)，則微元段dζ的強度為,,q>0，表示源q<0，表示匯,微元段dζ的源（匯）在P點處的勢函數(shù)和流函數(shù)分別為,整個OA段的源（匯）在P點處的勢函數(shù)和流函數(shù)分別為,均勻流在P點處的勢函數(shù)和流函數(shù)分別為,勢流疊加后的流場的勢函數(shù)和流函數(shù)分別為,現(xiàn)需要確定q(ζ)使得上述函數(shù)滿足物面和無窮遠處的兩個邊界條件。其