計算機數(shù)學課件第四章

1、第 4 章 導數(shù)的應用,知識點中值定理羅比塔法則增減性極值、凹向、拐點、作圖 難點函數(shù)的極值曲線的凹向與拐點作圖,要求了解羅爾定理、拉格朗日定理掌握羅比塔法則、求極值、作圖判斷函數(shù)增減性曲線的凹向拐點求曲線漸近線的方法,4.1 中值定理4.1.1 羅爾定理,若函數(shù) 在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，且 則在（a，b）內(nèi)

2、至少存在一點 ，使得（證略） 注 這個定理的結(jié)論告訴我們，滿足上面定理條件的函數(shù) 至少存在一點 使得函數(shù)在該點具有水平切線。,,,,,4.1.2 拉格朗日中值定理,若函數(shù) 在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點 使得 注 在拉格朗日定理中如果 則得

3、到羅爾定理的結(jié)論。所以羅爾定理是拉格朗日定理的特例。,,推論1 如果 在區(qū)間（a，b）內(nèi)任一點的導數(shù) 均等于零，則在（a，b）內(nèi) 為一個常數(shù)。推論2 如果函數(shù) 與 在區(qū)間（a，b）內(nèi)的導數(shù)處處相符，即 則 與在區(qū)間（a，b）內(nèi)只相差一個常數(shù)。,,,,,4.2羅比塔法則,定理1 設(shè)

4、函數(shù) 與 滿足 1）2）在點a的某個鄰域內(nèi)（點a可以除外）可導，且 3）則,,,,,,,例 求 解 原式=例 求 解 原式=

5、 （注：羅比塔法則可連續(xù)使用）,,,,,例 求 解 原式=例 求 解 原式=,,,,,例 求 解 原式=例 求 解 原式=例 求 解 原式=,,,,,,例 求 解 原式=例 求

6、 解 原式=例 求 驗證 存在，但不能用羅比 塔法則。,,,,,,解 原式= 但要用羅比塔法則時，得 原式= ，此式振蕩無極限。注 此題說明有些題雖然是 或 型，但羅比塔法則卻是失效的。必須用別的方法去解題。,,,,,4.

7、3 函數(shù)的增減性,定理2設(shè)函數(shù) 在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，那么1）如果 時恒有 則在（a，b）內(nèi)單調(diào)增加 。2）如果 時恒有 則在（a，b）內(nèi)單調(diào)減少。,,,例 判定函數(shù) 的單調(diào)性 解 令 ，得 當

8、 時 所以 在內(nèi)單調(diào)增加 。 當 時 所以 在（-1，1）內(nèi)單調(diào)減少 。 當 時 所以 在內(nèi)單調(diào)增加 。,,,,,,,,,,,,,,,4.4函數(shù)的極值4.4.1 極值概念,定義1設(shè)函數(shù)

9、 在點 某鄰域有定義，如果對該鄰域內(nèi)任意的 總有 則稱為函數(shù) 的極大值， 稱為函數(shù)的極大點；如果對該鄰域內(nèi)任意的 總有則稱 為函數(shù) 的極小值， 稱為函數(shù) 的極小點。 極大點與極小點統(tǒng)稱為極值點。極大值與極小值統(tǒng)稱為極

10、值。,,,,,,4.4.2 極值點的判定,定理3 設(shè)函數(shù) 在點 的某鄰域內(nèi)連續(xù)并且可導（ 可以不存在），則 1）如果在點 的左鄰域內(nèi) ，在點 的右鄰域內(nèi) ，那么 就是 的極大值點，且 是 的極大值。2）如果在 左鄰域內(nèi) ，在點

11、 的右鄰域內(nèi) ；那么 就是 的極小值點，且 是 的極小值。3）如果在點 的鄰域內(nèi) 不變號，那么 就不是 的極值點。,,,,,,,,,例 求函數(shù) 的單調(diào)增減區(qū)間和極值解 令 得

12、 當 時 不存在,,,定理4 設(shè)函數(shù) 在點 處有二階導數(shù)且 那么 1）如果 則 為 的極小值 2）如果 則 為

13、 的極大值例 求 的極值 解 令 因為 所以 為極大值。 因為 所以 為極小

14、值。注意 當 時，定理失效 。,,,,,,,,,,,,,,,4.5 最大值與最小值，極值的應用問題4.5.1 最大值與最小值,1.概念 2.求法 1）求出 在[a，b]上的所有駐點和導數(shù)不存的點 。2）求出駐點、導數(shù)不存在的點、端點的函數(shù)值 。3）對上述函數(shù)值進行比較，其最大者即為最大值，其最小者即為最小值。,例 求

15、 在[-2，2]上的最大值和最小值。解 令 得 將上述函數(shù)值進行比較后可知： 在區(qū)間[-2，2]上的最大值為 最小值為,,,,,,,,,4.5.2 極值的應用問題舉例,例 某引水工程要開鑿一隧道，它的截面積是矩形加半圓面積之和。已知隧道截面的周長為15米，問矩形的底是多少米時，才能使隧道截面積最大？解 設(shè)隧道截面的底長為2x米，這時半

16、圓的半徑為x米，矩形的寬就為 （米），這時截面積為 當 時所以在 處，A有唯一的極大值，即最大值。當 （米）時，它的截面積最大。,,,,,,,,4.6曲線的凹凸性，

17、拐點和漸近線4.6.1 凹性與拐點,定義2 若函數(shù) 在某區(qū)間內(nèi)，它的曲線弧位于該區(qū)間內(nèi)任意一點切線的上方，則稱曲線在這個區(qū)間內(nèi)是向上凹的。若在某個區(qū)間內(nèi)，它的曲線弧位于該區(qū)間內(nèi)任意一點切線的下方，則稱在這個區(qū)間內(nèi)是向下凹的。如圖4.4所示。,定理5 設(shè)函數(shù) 在（a，b）內(nèi)可微，則 在（a，b）內(nèi)向上凹（或向下凹）的充要條件是 在（a，b）內(nèi)單調(diào)增加（

18、或減少）。定理6 設(shè)函數(shù) 在（a，b）內(nèi)有二階導數(shù)，則 1）若 則 在（a，b）內(nèi)向上凹 2）若 則 在（a，b）內(nèi)向下凹定義3 曲線上凹與下凹的分界點叫做曲線的拐點。定理7 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間（a，b）內(nèi)具有二階連續(xù)導數(shù)

19、，x0 是（a，b）內(nèi)一點。,,,,1）若 在 x0點的左右附近有相反的符號，則點 是曲線 的拐點,且此時有2）若 在x0點的左右附近有相同的符號，則點 不是曲線 的拐點。 我們歸納出拐點求法的一般步驟如下：1）求出函數(shù)的二階導數(shù) 。2）令 ，求

20、出二階導數(shù)為零的點，并找出二階導數(shù)不存在的點 。,,,,,3）由二階導數(shù)為零的點和二階導數(shù)不存在的點把函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間，然后再確定二階導數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的符號，以此判定出曲線的凹性和拐點。例 求曲線 的凹向區(qū)間及拐點。解因為 在 時不存在，但在 范圍內(nèi)恒不為零，且在 處

21、 連續(xù)，且因此我們要判斷（4，2）是否為拐點。,,,,,,,,據(jù)上表所示，所以（4，2）為曲線的拐點。,,,4.6.2 漸近線,定義4 若曲線上的點沿曲線趨于無窮遠時，該點與某一直線的距離趨于零，則稱此直線是曲線的漸近線。1）鉛直漸近線 若 在 點間斷，且 則直線為曲線 的鉛直漸近線。2）水平漸近

22、線若曲線 如果 則直線 為 的水平漸近線。,,,,,,3）斜漸近線若曲線 ，如果 ， 則直線 為曲線 的斜漸近線。例 求曲線

23、 的漸近線解：因為 所以 是曲線的一條水平漸近線。又因為 是 的間斷點，且 所以 是曲線的鉛直漸近線（該曲線無斜漸近線）。,,,,,,,,,,4.7函數(shù)圖形的作法,

24、1）確定函數(shù)的定義域 。2）確定曲線的對稱性 。 （坐標軸）3）討論函數(shù)的單調(diào)性和極值 。4）討論曲線的凹向，拐點 。5）找出曲線的漸近線 。6）找出曲線一些特殊點的坐標 。7）列表。,例 作出函數(shù) 的圖形。解 1）定義域 。 2）

25、無對稱性。 3）討論函數(shù)的增減性、極值、凹向、拐點， 并列表。,,,,,,,令 ；令 。劃定區(qū)域如下表所示：,,,,,,,,,,,,,4）漸近線因為所以 y=-2為水平漸近線，x=0為鉛垂?jié)u近，該曲線無斜漸近線。5）找出曲線上的幾個點A（-1，-2），B（-2，-3），C（1

26、，6），D（2，1） 。6）作圖，見書圖4.6所示。,,,,小 結(jié),本章主要介紹了中值定理，羅比塔法則，以及導數(shù)在解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、凹性，拐點等方面的應用。1）能正確理解羅爾定理，拉格朗日中值定理。2）熟練運用羅比塔法則求各種未定式的極限。3）熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法，并會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。4）熟練掌握用導數(shù)解決函數(shù)的極大、極小、最大、最小問題，并能解決簡單的實際應用，會求函數(shù)的凹向、拐點、漸近線、并會作圖