第七章新-最優(yōu)控制理論課件

1、第七章 最 優(yōu) 控 制,,,,,,,,,,7.1 最優(yōu)控制問題,7.2 求解最優(yōu)控制的變分方法,7.3 最大值原理,7.4 動態(tài)規(guī)劃,7.5 線性二次型性能指標的最優(yōu)控制,7.6 快速控制系統(tǒng),最優(yōu)控制理論 現(xiàn)代控制理論的重要組成部分20世紀50年代 發(fā)展形成系統(tǒng)的理論研究的對象 控制系統(tǒng)中心問題 給定一個控制系統(tǒng)，選擇控制規(guī)律，使系統(tǒng)在某種意義上是最優(yōu)的統(tǒng)一的、嚴格的數(shù)學方法最優(yōu)控制問題

2、 研究者的課題，工程師們設計控制系統(tǒng)時的目標最優(yōu)控制能在各個領域中得到應用，效益顯著,1.1 兩個例子1.2 問題描述,,,第1章 最優(yōu)控制問題,1.1 兩個例子,例1.1 飛船軟著陸問題,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,5,1.1 兩個例子,例1.1 飛船軟著陸問題,m 飛船的質(zhì)量h 高度v 垂直速度g 月球重力加速度常數(shù)M 飛船自身質(zhì)量F 燃料的質(zhì)量,軟著陸過程開始時刻 t 為零,K 為

3、常數(shù),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,6,1.1 兩個例子,例1.1 飛船軟著陸問題,m 飛船的質(zhì)量h 高度v 垂直速度g 月球重力加速度常數(shù)M 飛船自身質(zhì)量F 燃料的質(zhì)量,軟著陸過程開始時刻 t 為零,K 為常數(shù),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,7,1.1 兩個例子,例1.1 飛船軟著陸問題,m 飛船的質(zhì)量h 高度v 垂直速度g 月球重力加速度常數(shù)M 飛船自身質(zhì)量F 燃

4、料的質(zhì)量,軟著陸過程開始時刻 t 為零,K 為常數(shù),初始狀態(tài),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,8,1.1 兩個例子,例1.1 飛船軟著陸問題,m 飛船的質(zhì)量h 高度v 垂直速度g 月球重力加速度常數(shù)M 飛船自身質(zhì)量F 燃料的質(zhì)量,軟著陸過程開始時刻 t 為零,K 為常數(shù),初始狀態(tài),終點條件,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,9,1.1 兩個例子,例1.1 飛船軟著陸問題,m 飛船的質(zhì)量h

5、 高度v 垂直速度g 月球重力加速度常數(shù)M 飛船自身質(zhì)量F 燃料的質(zhì)量,軟著陸過程開始時刻 t 為零,K 為常數(shù),初始狀態(tài),終點條件,控制目標,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,10,1.1 兩個例子,例1.1 飛船軟著陸問題,m 飛船的質(zhì)量h 高度v 垂直速度g 月球重力加速度常數(shù)M 飛船自身質(zhì)量F 燃料的質(zhì)量,軟著陸過程開始時刻 t 為零,K 為常數(shù),初始狀態(tài),終點條件,控制目標,推

6、力方案,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,11,例1.2 導彈發(fā)射問題,例1.2 導彈發(fā)射問題,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,13,例1.2 導彈發(fā)射問題,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,14,例1.2 導彈發(fā)射問題,初始條件,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,15,例1.2 導彈發(fā)射問題,初始條件,末端約束,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,16,例1.2 導彈發(fā)射問題,初始條

7、件,末端約束,指標,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,17,例1.2 導彈發(fā)射問題,初始條件,末端約束,指標,控制,1.2 問題描述,(1) 狀態(tài)方程 一般形式為,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,19,1.2 問題描述,(1) 狀態(tài)方程 一般形式為,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,20,1.2 問題描述,(1) 狀態(tài)方程 一般形式為,為n維狀態(tài)向量,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,21

8、,1.2 問題描述,(1) 狀態(tài)方程 一般形式為,為n維狀態(tài)向量,為r 維控制向量,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,22,1.2 問題描述,(1) 狀態(tài)方程 一般形式為,為n維狀態(tài)向量,為r 維控制向量,為n維向量函數(shù),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,23,1.2 問題描述,(1) 狀態(tài)方程 一般形式為,為n維狀態(tài)向量,為r 維控制向量,為n維向量函數(shù),給定控制規(guī)律,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理

9、論,24,1.2 問題描述,(1) 狀態(tài)方程 一般形式為,為n維狀態(tài)向量,為r 維控制向量,為n維向量函數(shù),給定控制規(guī)律,滿足一定條件時，方程有唯一解,(2) 容許控制,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,26,(2) 容許控制,：,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,27,(2) 容許控制,：,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,28,(2) 容許控制,：,有時控制域可為超方體,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控

10、制理論,29,(2) 容許控制,：,有時控制域可為超方體,(3) 目標集,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,31,(3) 目標集,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,32,(3) 目標集,n維向量函數(shù),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,33,(3) 目標集,固定端問題,n維向量函數(shù),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,34,(3) 目標集,固定端問題,自由端問題,n維向量函數(shù),(4) 性能指標,2024年3月

11、21日星期四,現(xiàn)代控制理論,36,(4) 性能指標,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,37,(4) 性能指標,對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求，復合型性能指標,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,38,(4) 性能指標,對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求，復合型性能指標,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,39,(4) 性能指標,對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求，復合型性能指標,積分型性能指標，表示對整個狀態(tài)和控制過程的要求

12、,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,40,(4) 性能指標,對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求，復合型性能指標,積分型性能指標，表示對整個狀態(tài)和控制過程的要求,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,41,(4) 性能指標,對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求，復合型性能指標,積分型性能指標，表示對整個狀態(tài)和控制過程的要求,終點型指標，表示僅對終點狀態(tài)的要求,2.1 泛函與變分法基礎2.2 歐拉方程2.3 橫截條件2.4 含有多個

13、未知函數(shù)泛函的極值2.5 條件極值2.6 最優(yōu)控制問題的變分解法,,,第2章 求解最優(yōu)控制的變分方法,求解最優(yōu)控制的變分方法,2.1 泛函與變分法基礎,平面上兩點連線的長度問題,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,44,求解最優(yōu)控制的變分方法,2.1 泛函與變分法基礎,平面上兩點連線的長度問題,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,45,求解最優(yōu)控制的變分方法,2.1 泛函與變分法基礎,平面上兩點連線的長度問題,一般來

14、說，曲線不同，弧長就不同，即弧長依賴于曲線，記為,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,46,求解最優(yōu)控制的變分方法,2.1 泛函與變分法基礎,平面上兩點連線的長度問題,一般來說，曲線不同，弧長就不同，即弧長依賴于曲線，記為,稱為泛函,稱為泛函的宗量,泛函與函數(shù)的幾何解釋,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,48,泛函與函數(shù)的幾何解釋,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,49,泛函與函數(shù)的幾何解釋,宗量的變分,2024年

15、3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,50,泛函與函數(shù)的幾何解釋,宗量的變分,泛函的增量,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,51,泛函與函數(shù)的幾何解釋,連續(xù)泛函 宗量的變分趨于無窮小時，泛函的變分也趨于無 窮小線性泛函 泛函對宗量是線性的,宗量的變分,泛函的增量,泛函的變分,求解最優(yōu)控制的變分方法,,,,,,定理2.2 若泛函,有極值，則必有,上述方法與結(jié)論對多個未知函數(shù)的泛數(shù)同樣適用,

16、2.6 最優(yōu)控制問題的變分解法,2.6.4 終值時間自由的問題,2.6.3 末端受限問題,2.6.2 固定端問題,2.6.1 自由端問題,2.6.1 自由端問題,約束方程,新的泛函,令,有,哈米頓函數(shù),進行變分,令,有,伴隨方程,必要條件,例2.5,哈米頓函數(shù),伴隨方程,邊界條件,必要條件,,,,,最優(yōu)控制,代入狀態(tài)方程并求解,令,2.6.2 固定端問題,性能指標,分部積分,進行變分,令變分為零,邊界條件,指標泛函,例2.6 考慮如

17、下系統(tǒng)的終端固定的最優(yōu)控制問題，求取最優(yōu)控制 和最優(yōu)狀態(tài)曲線，使指標泛函 J 取得極小值。 系統(tǒng)的狀態(tài)方程：,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,60,哈米頓函數(shù),伴隨方程,由狀態(tài)方程,代入初始和終端條件，可求得,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,61,4. 考慮如下系統(tǒng)的終端固定的最優(yōu)控制問題，求取最優(yōu)控制 和最優(yōu)狀態(tài)曲線，使指標泛函J取得極小值。 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

18、,其邊界條件為：,其指標泛函為：,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,62,哈米頓函數(shù),伴隨方程,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,63,2.6.3 末端受限問題,新的泛函,變分,必要條件,2.6.4 終值時間自由的問題,T 有時是可變的，是指標泛函，選控制使有 T 極小值,變分,必要條件,例2.7,指標泛函,哈米頓函數(shù),伴隨方程,必要條件,3.1 古典變分法的局限性3.2 最大值原理3.3 變分法與極大值原理,,,第

19、3章 最大值原理,3.1 古典變分法的局限性,u(t)受限的例子,例3.1,伴隨方程,極值必要條件,矛盾!!,3.2 最大值原理,定理3.1 (最小值原理) 設為 容許控制， 為對應的積分軌線，為使 為最優(yōu)控制， 為最優(yōu)軌線，必存在一向量函數(shù) ，使得 和 滿足正則方程,且,最小值原理只是最優(yōu)控制所滿足的必要條件。但對于線性系統(tǒng),最小值原理也是使泛函取最小值得

20、充分條件。,例3.2 重解例3.1,哈密頓函數(shù),伴隨方程,由極值必要條件，知,又,于是有,協(xié)態(tài)變量與控制變量的關系圖,例3.3,性能指標泛函,哈密頓函數(shù),伴隨方程,上有,協(xié)態(tài)變量與控制變量的關系圖,整個最優(yōu)軌線,例3.4,把系統(tǒng)狀態(tài)在終點時刻轉(zhuǎn)移到,性能指標泛函,終點時刻是不固定的,哈米頓函數(shù),伴隨方程,,,,H是u的二次拋物線函數(shù)，u在 上一定使H有最小值，可能在內(nèi)部，也可能在邊界上。,最優(yōu)控制可能且只能取三個

21、值,,此二者都不能使狀態(tài)變量同時滿足初始條件和終點條件,,最優(yōu)控制,最優(yōu)軌線,最優(yōu)性能指標,例3.5,使系統(tǒng)以最短時間從給定初態(tài)轉(zhuǎn)移到零態(tài),哈米頓函數(shù),伴隨方程,最優(yōu)控制切換及最優(yōu)軌線示意圖,3.3 古典變分法與最小值原理,古典變分法適用的范圍是對u無約束，而最小值原理一般都適用。特別當u不受約束時，條件,就等價于條件,4.1 多級決策過程與最優(yōu)性原理4.2 離散系統(tǒng)動態(tài)規(guī)劃4.3 連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)規(guī)劃4.4 動態(tài)規(guī)劃與最大值原理的

22、關系,,,第4章 動態(tài)規(guī)劃,動態(tài)規(guī)劃是求解最優(yōu)控制的又一種方法，特別對離散型控制系統(tǒng)更為有效，而且得出的是綜合控制函數(shù)。這種方法來源于多決策過程，并由貝爾曼首先提出，故稱貝爾曼動態(tài)規(guī)劃。,4.1 多級決策過程與最優(yōu)性原理,作為例子，首先分析最優(yōu)路徑問題,(a) (b) (c),試分析(a),(b)和(c)三種情況的最優(yōu)路徑，即從 走到

23、 所需時間最少。規(guī)定沿水平方向只能前進不能后退。,(a)中只有兩條路徑，從起點開始，一旦選定路線，就直達終點，選最優(yōu)路徑就是從兩條中選一條，使路程所用時間最少。這很容易辦到，只稍加計算，便可知道，上面一條所需時間最少。(b)共有6條路徑可到達終點，若仍用上面方法，需計算6次，將每條路線所需時間求出，然后比較，找出一條時間最短的路程。(c)需計算20次，因為這時有20條路徑，由此可見，計算量顯著增大了。,逆向分級計算法,逆向是指計算從

24、后面開始，分級是指逐級計算。逆向分級就是從后向前逐級計算。,以(c)為例,從倒數(shù)第一級開始，狀態(tài)有兩個，分別為,和,在,處，只有一條路到達終點，其時間是,；在,處，也只有一條，時間為1。后一條時間最短，將此時間相應地標在 點上。,并將此點到終點的最優(yōu)路徑畫上箭頭。,然后再考慮第二級,只有一種選擇，到終點所需時間是,有兩條路，比較后選出時間最少的一條，即4+1=5。用箭頭標出,也標出最優(yōu)路徑和時間,依此類推，最后計算初始位置,

25、求得最優(yōu)路徑,最短時間為 13,最優(yōu)路徑示意圖,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,91,5. 利用逆向分級計算法求解如下的最優(yōu)路徑問題,從倒數(shù)第一級開始，狀態(tài)有兩個，分別為,和,在,處，只有一條路到達終點，其時間是,；在,處，也只有一條，時間為3。后一條時間最短，將此時間相應地標在 點上。,并將此點到終點的最優(yōu)路徑畫上箭頭。,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,92,然后再考慮第二級，亦即倒數(shù)第二級,只有一種選

26、擇，到終點所需時間是,有兩條路，比較后選出時間最少的一條，即2+4=6。用箭頭標出,也標出最優(yōu)路徑和時間 3+3=6,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,93,然后再考慮第一級，亦即倒數(shù)第三級,有兩種選擇，到終點所需時間是分別是，保留前者,有兩條路，比較后選出時間最少的一條，即 2+(2+4)=8 和 2+(3+3)=8。用箭頭標出。,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,94,最后再考慮第一級，亦即倒數(shù)第四級,有兩種選擇，

27、到終點所需時間是分別是,或 2+(2+3+3)=10。于是，最短路經(jīng)有3條，時間為10。,求得最優(yōu)路徑,多級過程,多級決策過程,目標函數(shù),控制目的,選擇決策序列,使目標函數(shù)取最小值或最大值,實際上就是離散狀態(tài)的最優(yōu)控制問題,最優(yōu)性原理,在一個多級決策問題中的最優(yōu)決策具有這樣的性質(zhì)，不管初始級、初始狀態(tài)和初始決策是什么，當把其中任何一級和狀態(tài)做為初始級和初始狀態(tài)時，余下的決策對此仍是最優(yōu)決策。,,指標函數(shù)多是各級指標之和，即具有可加性,最

28、優(yōu)性原理的數(shù)學表達式,4.2 離散系統(tǒng)動態(tài)規(guī)劃,階離散系統(tǒng),性能指標,求決策向量,使 有最小值（或最大值），其終點可自由，也可固定或受約束。,引進記號,應用最優(yōu)性原理,可建立如下遞推公式,貝爾曼動態(tài)規(guī)劃方程,例4.2 設一階離散系統(tǒng)，狀態(tài)方程和初始條件為,性能指標,求使 有最小值的最優(yōu)決策序列和最優(yōu)軌線序列,指標可寫為,,,代入,上一級,,,代入狀態(tài)方程,,,最優(yōu)決策序列,最優(yōu)軌線,,4.3 連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)規(guī)劃,性能指標,目標集

29、,引進記號,,根據(jù)最優(yōu)性原理及,,由泰勒公式，得,由中值定理，得,,,連續(xù)型動態(tài)規(guī)劃方程,實際上它不是一個偏微分方程，而是一個函數(shù)方程和偏微分方程的混合方程,,滿足連續(xù)型動態(tài)規(guī)劃方程，有,設,邊界條件,動態(tài)規(guī)劃 動態(tài)規(guī)劃方程是最優(yōu)控制函數(shù)滿足的充分條件；解一個偏微分方程；可直接得出綜合函數(shù) ；動態(tài)規(guī)劃要求 有連續(xù)偏導數(shù)最大值原理 最大值原理是最優(yōu)控制函數(shù)滿足的必要條件；解一個常微分方程組；最大值原理則只

30、求得 。,,例4.3 一階系統(tǒng),性能指標,動態(tài)規(guī)劃方程,右端對u求導數(shù)，令其導數(shù)為零，則得,,,,,,4.4 動態(tài)規(guī)劃與最大值原理的關系,變分法、最大值原理和動態(tài)規(guī)劃都是研究最優(yōu)控制問題的求解方法，很容易想到，若用三者研究同一個問題，應該得到相同的結(jié)論。因此三者應該存在著內(nèi)在聯(lián)系。變分法和最大值原理之間的關系前面已說明，下面將分析動態(tài)規(guī)劃和最大值原理的關系?？梢宰C明，在一定條件下，從動態(tài)規(guī)劃方程能求最大值原理的方程。,動態(tài)

31、規(guī)劃方程,,令,哈米頓函數(shù),,,最大值原理的必要條件,,,,5.1 問題提出　5.2 狀態(tài)調(diào)節(jié)器　5.3 輸出調(diào)節(jié)器　5.4 跟蹤問題　5.5 利用Matlab求解最優(yōu)控制,,,第5章 線性二次型性能指標的最優(yōu)控制,用最大值原理求最優(yōu)控制，求出的最優(yōu)控制通常是時間的函數(shù)，這樣的控制為開環(huán)控制?！　‘斢瞄_環(huán)控制時，在控制過程中不允許有任何干擾，這樣才能使系統(tǒng)以最優(yōu)狀態(tài)運行?！　≡趯嶋H問題中，干擾不可能沒有，因此工程上總希望

32、應用閉環(huán)控制，即控制函數(shù)表示成時間和狀態(tài)的函數(shù)?！　∏蠼膺@樣的問題一般來說是很困難的?！　〉珜σ活惥€性的且指標是二次型的動態(tài)系統(tǒng)，卻得了完全的解決。不但理論比較完善，數(shù)學處理簡單，而且在工程實際中又容易實現(xiàn)，因而在工程中有著廣泛的應用。,,5.1 問題提法,動態(tài)方程,指標泛函,求,使之,有最小值,此問題稱線性二次型性能指標的最優(yōu)控制問題,通常稱,為綜合控制函數(shù),,指標泛函的物理意義積分項，被積函數(shù)由兩項組成，都是二次型。第一項

33、 過程　在控制過程中，實際上是要求每個分量越小越好，但每一個分量不一定同等重要，所以用加權來調(diào)整，當權為零時，對該項無要求。第二項　控制能力　能量消耗最小。對每個分量要求不一樣，因而進行加權。要求正定，一方面對每個分量都應有要求，否則會出現(xiàn)很大幅值，在實際工程中實現(xiàn)不了；另一方面，在計算中需要有逆存在。指標中的第一項　是對點狀態(tài)的要求，由于對每個分量要求不同，用加權陣來調(diào)整。,,5.2 狀態(tài)調(diào)節(jié)器,5.2.1 末端自由問題,5.2.

34、2 固定端問題,5.2.3,的情況,狀態(tài)調(diào)節(jié)器選擇 或 使系統(tǒng)性能指標有最小值,,,5.2.1 末端自由問題,構造哈密頓函數(shù),伴隨方程及邊界條件,最優(yōu)控制應滿足,,,代入正則方程,線性二次型性能指標的最優(yōu)控制,,,,,,求導,,,,,（矩陣黎卡提微分方程）,邊界條件,最優(yōu)控制,,令,最優(yōu)控制是狀態(tài)變量的線性函數(shù)借助狀態(tài)變量的線性反饋可實現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制,對稱半正定陣,,例5.1,性能指標泛函,

35、最優(yōu)控制,黎卡提微分方程,,,,,最優(yōu)軌線的微分方程,,解,最優(yōu)軌線,最優(yōu)控制,,,,黎卡提方程的解,隨終點時間變化的黎卡提方程的解,,5.2.2 固定端問題,指標泛函,（設　　　?。?采用“補償函數(shù)”法,補償函數(shù),懲罰函數(shù),邊界條件,,黎卡提方程,逆黎卡提方程,,,,求導,黎卡提方程,乘以,,,,,,逆黎卡提方程,,,,解,逆,,5.2.3,的情況,性能指標,無限長時間調(diào)節(jié)器問題,黎卡提方程,,邊界條件,最優(yōu)控制,最優(yōu)指標,,5.2.

36、4 定常系統(tǒng),完全可控,指標泛函,矩陣代數(shù)方程,最優(yōu)控制,最優(yōu)指標,,例5.2,黎卡提方程,,5.3 輸出調(diào)節(jié)器,指標泛函,輸出調(diào)節(jié)器問題,狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題,,令,,5.4 跟蹤問題,問題的提法,已知的理想輸出,偏差量,指標泛函,尋求控制規(guī)律使性能指標有極小值。物理意義 在控制過程中，使系統(tǒng)輸出盡量趨近理想輸出，同時也使能量消耗最少。,,指標泛函,,哈密頓函數(shù),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,130,,,,,設,并微分,20

37、24年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,131,,,,的任意性,最優(yōu)控制,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,132,,最優(yōu)軌線方程,最優(yōu)性能指標,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,133,,例5.3,,性能指標,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,134,,,,,,,,,,,,最優(yōu)控制,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,135,,,，,,,最優(yōu)控制,極限解,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,136,,

38、閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,137,6.1 快速控制問題6.2 綜合問題,,,第6章 快速控制系統(tǒng),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,138,在實際問題中，經(jīng)常發(fā)生以時間為性能指標的控制問題。　　如，當被控對象受干擾后，偏離了平衡狀態(tài)，希望施加控制能以最短時間恢復到平衡狀態(tài)?！　》彩且赃\動時間為性能指標的最優(yōu)控制問題稱為最小時間控制。,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,139,,

39、6.1 快速控制問題,性能指標,時間上限,是可變的,從狀態(tài),轉(zhuǎn)移平衡狀態(tài),所需時間最短,構造哈密頓函數(shù),,最小值原理,,,分段常值函數(shù),,,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,140,,例6.1 有一單位質(zhì)點，在 處以初速度2沿直線運動?，F(xiàn)施加一力 ， ，使質(zhì)點盡快返回原點，并停留在原點上。力 簡稱為控制。若其它阻力不計，試求此控制力。,質(zhì)點運動方程,狀態(tài)方程,哈密頓函數(shù),伴隨方程

40、,,,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,141,,最優(yōu)控制,協(xié)態(tài)變量與控制函數(shù)4種情況示意圖,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,142,,相軌線族示意圖,開關曲線,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,143,,開關曲線,初始狀態(tài),最優(yōu)控制,狀態(tài)方程,,,相軌線,總時間,最優(yōu)控制,,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,144,,6.2 綜合問題,綜合是將最優(yōu)控制函數(shù)表示為狀態(tài)和時間的函數(shù),即,上例之最優(yōu)綜合控制

41、函數(shù),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,145,,例6.2,,求快速返回原點的開關曲線和最優(yōu)綜合控制函數(shù),構造哈密頓函數(shù),伴隨方程,,,,最優(yōu)控制,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,146,,最優(yōu)控制與協(xié)態(tài)變量的變化情況,控制是“砰砰控制”，除了首尾之外，在　和　上的停留時間均為,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,147,,備選最優(yōu)軌線族,兩族同心圓方程,,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,148,,相點

42、沿軌線順時針方向運動，其速度為,開關曲線,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,149,,第二段開關曲線,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,150,,整個開關曲線,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,151,,最優(yōu)綜合控制函數(shù),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,152,,最優(yōu)控制理論,上世紀50年代初,問題比較簡單,二階定常系統(tǒng),方法比較特殊,借助于幾何圖形,動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)化問題乃是一個變分問題,變分法,開集,