統(tǒng)計(jì)學(xué)01

1、第一章 概率論基礎(chǔ)知識(shí),授課教師：楊衛(wèi)華 博士,第一節(jié)隨機(jī)事件及其概率,基本概念,隨機(jī)試驗(yàn)（Random Trial or Random Experiment）基本事件（Elementary Event）一次隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果，也稱基本隨機(jī)事件樣本空間（Sample Space）所有基本事件所組成的集合,基本概念,隨機(jī)事件（Random Event）一些基本事件所組成的集合不相容事件（Mutually Exclusive

2、 Events）在隨機(jī)試驗(yàn)中，不能同時(shí)發(fā)生的幾個(gè)事件，或其交集為空集的幾個(gè)事件，稱為不相容事件。概率（Probability）對(duì)事件出現(xiàn)的可能性大小的一種嚴(yán)格的度量“嚴(yán)格”指：從無(wú)限次重復(fù)角度看，度量結(jié)果具有唯一性。,概率的含義,事件A的概率是一個(gè)介于0和1之間的一個(gè)值，用以度量試驗(yàn)完成時(shí)事件A發(fā)生的可能性大小， 記為P(A)當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)很多時(shí)，概率P(A)可以由所觀察到的事件A發(fā)生次數(shù)(頻數(shù))的比例來(lái)逼近在相同條件下，重復(fù)

3、進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的概率可以寫為,例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù) n 的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右,主觀概率,主觀概率是指對(duì)一些無(wú)法重復(fù)的試驗(yàn)，確定其結(jié)果的概率只能根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，人為確定這個(gè)事件的概率。,某企業(yè)想投資—個(gè)新的項(xiàng)目，那么投資成功的可能性有多大呢？投資成功的概率為0.7，投資失敗的概率為0.3,第二節(jié)概率性質(zhì)與運(yùn)算法則,概率的性質(zhì),非負(fù)性對(duì)任意事件A，

4、有0≤ P（A） ≤1規(guī)范性必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。即P (? )=1； P(? )=0可加性若A與B互斥，則P(A∪B) =P(A)+P(B)推廣到多個(gè)兩兩互斥事件A1，A2，…，An，有 P(A1∪A2∪3…∪An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An),事件的補(bǔ)及其概率,事件的補(bǔ)(complement) 事件A不發(fā)生的事件，稱為事件A的補(bǔ)事件(或稱逆事件)，記為?A 。它是樣本

5、空間中所有不屬于事件A的樣本點(diǎn)的集合。,P(?A)=1- P(A),加法公式,加法公式 對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)事件A和B，它們和的概率為兩個(gè)事件分別概率的和減去兩個(gè)事件交的概率，即 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B),兩個(gè)事件的并,兩個(gè)事件的交,,,條件概率(conditional probability),在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為已知事件B時(shí)事件A的條件概率，記為P(A|B

6、),事件B及其概率P (B),S,,事件 A?B及其概率P (A?B),事件A,事件B,,一旦事件B發(fā)生,,,,,,,,,條件概率(例題分析1),：設(shè) A =顧客購(gòu)買食品， B =顧客購(gòu)買其他商品 依題意有：P(A)=0.80；P(B)=0.60；P(AB)=0.35,【例】一家超市所作的一項(xiàng)調(diào)查表明，有80%的顧客到超市是來(lái)購(gòu)買食品，60%的人是來(lái)購(gòu)買其他商品，35%的人既購(gòu)買食品也購(gòu)買其他商品。求： (1)已知某

7、顧客購(gòu)買食品的條件下，也購(gòu)買其他商品的概率 (2)已知某顧客購(gòu)買其他商品的條件下，也購(gòu)買食品的概率,(1),(2),條件概率(例題分析2),【例】一家電腦公司從兩個(gè)供應(yīng)商處購(gòu)買了同一種計(jì)算機(jī)配件，質(zhì)量狀況如下表所示 從這200個(gè)配件中任取一個(gè)進(jìn)行檢查，求 (1) 取出的一個(gè)為正品的概率 (2) 取出的一個(gè)為供應(yīng)商甲的配件的概率

8、(3) 取出一個(gè)為供應(yīng)商甲的正品的概率 (4) 已知取出一個(gè)為供應(yīng)商甲的配件，它是正品的概率,,條件概率(例題分析2),解：設(shè) A = 取出的一個(gè)為正品 B = 取出的一個(gè)為供應(yīng)商甲供應(yīng)的配件 (1) (2) (3) (4),乘法公式(M

9、ultiplication Theorem),用來(lái)計(jì)算兩事件交的概率以條件概率的定義為基礎(chǔ)設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P(B)>0，則 P(AB)=P(B)P(A|B) 或 P(AB)=P(A)P(B|A),乘法公式(例題分析),【例】一家報(bào)紙的發(fā)行部已知在某社區(qū)有75%的住戶訂閱了該報(bào)紙的日?qǐng)?bào)，而且還知道某個(gè)訂閱日?qǐng)?bào)的住戶訂閱其晚報(bào)的概率為50%。求

10、某住戶既訂閱日?qǐng)?bào)又訂閱晚報(bào)的概率?,解：設(shè) A = 某住戶訂閱了日?qǐng)?bào) B = 某住戶訂閱了晚報(bào) 依題意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50 P(AB)=P(A)· P(B|A)=0.75×0.5=0.375,獨(dú)立事件與乘法公式(independent events),若P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B) ，則稱

11、事件A與事件B獨(dú)立，或稱獨(dú)立事件 .若兩個(gè)事件相互獨(dú)立，則這兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率之積，即 P(AB)= P(A)· P(B)若事件A1,A2,?,An相互獨(dú)立，則 P(A1, A2, ?, An)= P(A1)· P(A2) · ? · P(An),獨(dú)立事件與乘法公式(例題分析),【例】假定我們是從兩個(gè)同樣裝有3個(gè)紅球2個(gè)

12、白球的盒子摸球。每個(gè)盒子里摸1個(gè)。求連續(xù)兩次摸中紅球的概率 ?,解：設(shè) A = 從第一個(gè)盒子里摸到紅球 B = 從第二個(gè)盒子里摸到紅球 依題意有：P(A)=3/5；P(B|A)=3/5 P(AB)=P(A)· P(B|A)=3/5×3/5=0.36,事件的獨(dú)立性與互斥,互斥事件一定是相互依賴(不獨(dú)立)的，但相互依賴的事件不一定是互斥的

13、。不互斥事件可能是獨(dú)立的，也可能是不獨(dú)立的，然而獨(dú)立事件不可能是互斥的。,全概率公式（Law of Total Probability),全概公式,A1…A5完備事件組，或樣本的一個(gè)劃分,B,,先找樣本劃分，再找條件概率,全概率公式(例題分析),【例】某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有以下數(shù)據(jù)：在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)取一個(gè)元件，求它是次品的概率？,,解：設(shè)B表示取到的是一個(gè)次品，Ai（i=1，2

14、，3）表示所取到的產(chǎn)品是第i家工廠提供的。A1，A2，A3是樣本空間的一個(gè)劃分，且有P（A1）=0.15， P（A2）=0.80， P（A3）=0.05， P（B∣A1）=0.02， P（B∣A2）=0.01， P（B∣A3）=0.03.全概公式：P（B）= P（B∣A1） P（A1）+ P（B∣A2） P（A2）+ P（B∣A3） P（A3）,貝葉斯公式,貝葉斯公式,P(Ak)被稱為事件A

15、k的先驗(yàn)概率(prior probability)P(Ak|B)被稱為事件Ak的后驗(yàn)概率(posterior probability),貝葉斯公式(例題分析),【例】某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為1/2，而他不知道正確答案時(shí)猜對(duì)的概率應(yīng)該為1/4?？荚嚱Y(jié)束后發(fā)現(xiàn)他答對(duì)了，那么他知道正確答案的概率是多大呢？,解：設(shè) A = 該考生答對(duì)了 ，B = 該考生知道正確答案 依題意有：P(B)=1/

16、2； P(?B)=1-1/2 = 1/2 P(A|?B)=1/4 P(A|B)=1,第三節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布,隨機(jī)變量(random variables),,表征隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變量所有基本事件所對(duì)應(yīng)的值【例】投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量,設(shè)：隨機(jī)變量為XX=0；X=1；X=2,隨機(jī)變量的取值可以是數(shù)值或字符串,,離散型隨機(jī)變量(discrete ran

17、dom variables),,隨機(jī)變量 X 取有限個(gè)值或所有取值都可以逐個(gè)列舉出來(lái) x1 , x2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機(jī)變量的一些例子,離散型隨機(jī)變量的概率分布（probability distribution),,列出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值列出隨機(jī)變量取這些值的概率通常用下面的表格來(lái)表示,P(X =xi)=pi稱為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)pi?0 ；,離散變量的累積概率(Cumulative

18、 Probability),累積概率：P（X≤x）,累積概率分布,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(expected value),,離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值xi與其取相對(duì)應(yīng)的概率pi乘積之和（也叫均值）；描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度；記為? 或E(X)；計(jì)算公式為,離散型隨機(jī)變量的方差(variance),,隨機(jī)變量X的每一個(gè)取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望，記為? 2 或D(X)描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度計(jì)算

19、公式為方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差，記為?,離散系數(shù),用來(lái)比較不同期望值的總體之間的離中趨勢(shì)。,離散系數(shù)=標(biāo)準(zhǔn)差除以期望離散系數(shù)越小，變異越小,例題：如果投資項(xiàng)目A的預(yù)期回報(bào)率為7%，標(biāo)準(zhǔn)差為5％；而投資項(xiàng)目B的預(yù)期回報(bào)率為12％，標(biāo)準(zhǔn)差為7％，試問(wèn)哪個(gè)投資項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)較大?,根據(jù)離散系數(shù)判斷：A為7%/5%=0.714 B為12%/7%=0.583,離散變量聯(lián)合分布和邊緣分布,邊緣分布,,,聯(lián)合分布,,典型的離散變量分布,兩點(diǎn)分布

20、（ 0-1分布）,,一個(gè)離散型隨機(jī)變量X只取0和1兩個(gè)可能的值它們的概率分布為 或,二項(xiàng)分布(Binomial distribution),重復(fù)進(jìn)行 n 次試驗(yàn)，出現(xiàn)“成功”的次數(shù)的概率分布稱為二項(xiàng)分布，記為X~B(n，p)設(shè)X為 n 次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)成功的次數(shù)，X 取k 的概率為,,二項(xiàng)分布(數(shù)學(xué)期望和方差),,數(shù)學(xué)期望 ?=E(X) = np方差 ? 2 =D(X

21、) = npq,0-1分布和二項(xiàng)分布的應(yīng)用,P（X=1）=p；P（X=0）=1-p；,,,,,應(yīng)用領(lǐng)域,P（X=x）=p；二項(xiàng)分布,0-1分布的兩個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量,從0-1分布的總體中，隨機(jī)抽取n個(gè)樣本，X1，X2，…Xn，建立均值函數(shù),隨機(jī)變量 的均值 就是0-1分布的均值p,隨機(jī)變量 的方差 就是0-1分布方差的1/n,高收入人群的比例,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,總體,,高收入

22、判斷標(biāo)準(zhǔn)：月收入超過(guò)5000元，“是”X=1，“否”X=0,第一次抽樣m個(gè)人,X1=1,X2=0,Xm=1,抽樣n次后,0-1分布的“樣本和函數(shù)”,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,總體,,高收入判斷標(biāo)準(zhǔn)：月收入超過(guò)5000元，“是”X=1，“否”X=0,抽樣n個(gè)人,X1=1,X2=0,Xn=1,想知道這次抽樣中高收入的人有多少？,樣本和函數(shù),樣本和函數(shù)服從二項(xiàng)分布B(n，p),超幾何分布,設(shè)有N件產(chǎn)品，其

23、中有M件次品。現(xiàn)從中任取n件（n≤N），則在n件中所含次品件數(shù)x=m服從超幾何分布。,泊松分布(Poisson distribution),,1837年法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松(D.Poisson，1781—1840)首次提出 用于描述在一指定時(shí)間范圍內(nèi)或在一定的長(zhǎng)度、面積、體積之內(nèi)某一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布泊松分布的例子一定時(shí)間段內(nèi)，某航空公司接到的訂票電話數(shù)一定時(shí)間內(nèi)，到車站等候公共汽車的人數(shù)一定時(shí)間段內(nèi)，放射性物質(zhì)放射的粒子數(shù)一定

24、路段內(nèi)，路面出現(xiàn)大損壞的次數(shù)一匹布上發(fā)現(xiàn)的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)一定頁(yè)數(shù)的書刊上出現(xiàn)的錯(cuò)別字個(gè)數(shù),泊松分布(概率分布函數(shù)),,?— 給定的時(shí)間間隔、長(zhǎng)度、面 積、體積內(nèi)“成功”的平均數(shù)e = 2.71828 k—給定的時(shí)間間隔、長(zhǎng)度、面 積、體積內(nèi)“成功”的次數(shù),泊松分布(數(shù)學(xué)期望和方差),,數(shù)學(xué)期望 E ( X ) = ?方差 D ( X ) = ?,第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及

25、其分布,連續(xù)型隨機(jī)變量(continuous random variables),,可以取一個(gè)或多個(gè)區(qū)間中任何值 所有可能取值不可以逐個(gè)列舉出來(lái)，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量的一些例子,連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布,,它取任何一個(gè)特定的值的概率都等于0不能列出每一個(gè)值及其相應(yīng)的概率通常研究它取某一區(qū)間值的概率P(x1? X ?x2）用概率密度函數(shù)的形式和分布函數(shù)的形式來(lái)描述,注意,連續(xù)型隨機(jī)變量的累積概

26、率,F（X）=P（X≤x0）=p,概率密度函數(shù)(probability density function),,設(shè)X為一連續(xù)型隨機(jī)變量，x 為任意實(shí)數(shù)，X的概率密度函數(shù)記為f(x)，它滿足條件,f(x)不是概率,密度函數(shù),密度函數(shù) f(x)表示X 的所有取值 x 及其頻數(shù)f(x),概率密度函數(shù),,在平面直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖形，則對(duì)于任何實(shí)數(shù) x1 < x2，P(x1< X? x2)是該曲線下從x1 到 x2的面積,概

27、率是密度函數(shù)曲線下的面積,分布函數(shù) (distribution function),,連續(xù)型隨機(jī)變量的概率可以用分布函數(shù)F(x)來(lái)表示分布函數(shù)定義為,根據(jù)分布函數(shù)，P(a<X<b)可以寫為,分布函數(shù)與密度函數(shù)的圖示,概率密度函數(shù)曲線下的面積等于1分布函數(shù)是曲線下小于 x0 的面積,連續(xù)型隨機(jī)變量的期望和方差,,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望方差,連續(xù)變量聯(lián)合分布和邊緣分布,聯(lián)合分布,X的邊緣分布,Y的邊緣分布,,連續(xù)

28、變量條件概率密度,相互獨(dú)立的連續(xù)變量,典型的連續(xù)變量分布,均勻分布(uniform distribution),若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為稱X在 [a ,b]上服從均勻分布，記為X~U[a,b]數(shù)學(xué)期望和方差,均勻分布,均勻分布的分布函數(shù)為：,均勻分布(概率計(jì)算),隨機(jī)變量X在某取值范圍[a ,b]的任一子區(qū)間[c ,d]上取值的概率為 同樣有：,指數(shù)分布,用來(lái)表示獨(dú)立隨機(jī)事件發(fā)生的時(shí)間間隔，比如旅客進(jìn)機(jī)

29、場(chǎng)的時(shí)間間隔。許多電子產(chǎn)品的壽命分布一般服從指數(shù)分布。有的系統(tǒng)的壽命分布也可用指數(shù)分布來(lái)近似。,指數(shù)分布,分布函數(shù),指數(shù)分布的期望為1/λ，方差為(1/λ)2,正態(tài)分布(normal distribution),由C.F.高斯(Carl Friedrich Gauss，1777—1855)作為描述誤差相對(duì)頻數(shù)分布的模型而提出描述連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要的分布許多現(xiàn)象都可以由正態(tài)分布來(lái)描述 可用于近似離散型隨機(jī)變量的分布例如： 二

30、項(xiàng)分布經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ),概率密度函數(shù),,f(x) = 隨機(jī)變量 X 的頻數(shù) ? = 正態(tài)隨機(jī)變量X的均值? ?= 正態(tài)隨機(jī)變量X的方差 ? = 3.1415926; e = 2.71828x = 隨機(jī)變量的取值 (-? < x < ?),? 和? 對(duì)正態(tài)曲線的影響,,正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì),圖形是關(guān)于x=?對(duì)稱鐘形曲線，且峰值在x= ?處均值?和標(biāo)準(zhǔn)差?一旦確定，分布的具體形式也惟一確定，不同參數(shù)正態(tài)分布構(gòu)成一個(gè)

31、完整的“正態(tài)分布族” 均值?可取實(shí)數(shù)軸上的任意數(shù)值，決定正態(tài)曲線的具體位置；標(biāo)準(zhǔn)差決定曲線的“陡峭”或“扁平”程度。?越大，正態(tài)曲線越扁平；?越小，正態(tài)曲線越高越陡峭當(dāng)X的取值向橫軸左右兩個(gè)方向無(wú)限延伸時(shí)，曲線的兩個(gè)尾端也無(wú)限漸近橫軸，理論上永遠(yuǎn)不會(huì)與之相交正態(tài)隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的取值概率由正態(tài)曲線下的面積給出，而且其曲線下的總面積等于1,正態(tài)分布的概率,概率是曲線下的面積!,,,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standardize the

32、normal distribution),標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù),隨機(jī)變量具有均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布任何一個(gè)一般的正態(tài)分布，可通過(guò)下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù),標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用,,對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即Z~N(0,1)，有P (a? Z?b)? ? ?b? ?? ?a?P (|Z| ?a)? 2? ?a? ?1對(duì)于負(fù)的 z ，可由? (-z)???? ?z?得到對(duì)于一般正