切割線定理

1、切割線定理,杭十中 趙玉華,相交弦定理 :圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分 成的兩條線段長的積相等.,如圖,則有 PA ? PB=PC ?PD,T,,,P,,A,B,?,O,想一想,若P是圓外一點(diǎn),PT是⊙O的切線,過P點(diǎn)的割線與圓交于A、B兩點(diǎn),,PT、PB、PA三條線段有什么關(guān)系?,∠BPT=∠TPA∠PTB= ∠A,,,△PTB∽ △PAT,,,,,,P,,A,B,?,O,,D,C,,

2、,,切割線定理,從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長是這點(diǎn)到割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng).,推 論,從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等.,T,PT2=PB?PA,,PB?PA=PD?PC,從而得到,PT切⊙O于T,由切割線定理,PT2= ;,PD?PC,,,,,P,,A,B,D,C,,,,,想一想,你能想出其它的辦法來證明切割線定理的推論嗎?,(2) 若

3、PT=2,PB=1則AB= .,(3) 若PT=2,PA=4,BT=1則AT= .,3,2,(1) 若PA=3,PB=1則PT= .,3,1,小試身手,2,4,1,2.過圓外一點(diǎn)P引圓的兩條割線分別與圓交于 A、B和C 、D兩點(diǎn).(1)若PA=6,PB=1,PD=2則PC= . (2)若AB=5,PB=1,PC=3則PD=

4、 .(3)若PA=6,PD=2,BD=1則AC= .,3,2,3,,,P,A,B,?,O,,D,C,,,PB?PA=PD?PC,由推論得,6,1,,,2,5,3,1,例1 如圖過圓外一點(diǎn)P作兩條割線,分別交圓O于A、B和C、D. 再作圓O切線PE,E為切點(diǎn),連結(jié)CE、DE.已知 AB=3cm, PA=2cm,CD=4cm。,解:,,,,,,,B,A,P,C,D,E,∵A

5、B=3cm, PA=2cm,∴ PB=AB+PA=5(cm),∵CD=4cm,,∴PD=PC+CD=x+4,∴x(x+4)=2×5,化簡(jiǎn),整理得 x2+4x－10=0,解得 x= － 2 ± (負(fù)數(shù)不合題意,舍去),∴ x= ( －2)(cm),答:PC長是PC=( － 2)cm,由切割線定理,得PE2=PA?PB,2,3,4,x,設(shè)PC=x,∴PE2= 2×

6、5=10,∴PE= (cm).,由切割線定理推論得，PC?PD=PA?PB,(1) 求PC,PE的長,例1 如圖過圓外一點(diǎn)P作兩條割線,分別交⊙O于A、B和C、D.再作⊙O 切線PE,E為切點(diǎn),連結(jié)CE、DE.已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm.,解:,由弦切角定理,得∠CEP= ∠D,又∵∠CPE=∠EPD,,∴△CPE∽△EPD,∴,∵PD=PC+CD,,,,,,,B,A,P,C,D,E,2

7、,3,4,x,(2) 設(shè)CE=a,試用含a的代數(shù)式表示DE,a,判斷題,如圖所示，PT切⊙O于T。下面的判斷是否正確,,,,.,,P,B,A,C,D,T,O,,（1）PT2=PE?PD （ ）,（2）PA?PB=PE?PD （ ）,（3） PA?AB=PE?ED （ ）,（4） PT2=PC?PO （ ）,,,,E,,,.,P,B,A,C,O,,在上題中，若PO=5，r=2，你

8、能求出PA和PB的積嗎？,,D,思考,分析:,延長PO交⊙O于D,PC=PO－CO=5－2=3,PD=PO + OD=5 + 2=7,PA?PB=PC?PD=21,例2 如圖，A是圓O上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A的切線交直徑 CB的延長線于點(diǎn)P，AD⊥BC ，D為垂足。 求證：,D,,,證明： 連結(jié)OA,,PD?PO=PA2,PA切圓O于A,PB?PC=PA2,,PB?PC=PD?PO,PA切圓O

9、于A,OA⊥PA,AD⊥PC,1。若過圓外一點(diǎn)P的切線與⊙O相切于T點(diǎn)，P與圓心O的 連線與圓交于A點(diǎn)，若PO=5，半徑是4，求切線長PT。,,,O,B,練習(xí),2。如圖，過點(diǎn)A作圓的兩條割線分別交⊙O于B，C 和D，E。已知AD=4cm，DE=2cm，CE=5cm， AB=BC，求AB,BD。,,,,,,D,B,C,E,A,練習(xí),小結(jié),1.切割線定理及其推論,2.切割線定理及其推論和相交線定理一樣 是

10、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的另一種形 式。,3. 應(yīng)用切割線定理和推論可以運(yùn)用其乘積 式和比例式關(guān)系進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化。,想一想,,A,,,B,P,C,D,E,F,（1）如圖⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，P是 AB的延長線上的一點(diǎn)，過P點(diǎn)的割線分 別與⊙O1、⊙O2交于D、C；E，F(xiàn)。,O1,O2,試判斷PD?PC是否和PF?PE相等。 為什么？,,,,O,A,B,S,T,（2）如圖A、B是⊙O

11、割線上的兩點(diǎn)，AS切⊙O于S，BT切⊙O于T。若AC=BD，則AS和TB有什么關(guān)系？,C,D,； http://www.sjq315.com/ 設(shè)計(jì)師 nqx37kop 熘土豆絲嘛，也是咱娘最拿手的廚藝哇！”耿英瞪了弟弟一眼，說：“你奇怪什么??？難道說俺們這些年在南邊兒吃過這些菜嗎？”耿直忽然明白了，說：“可不是耶！江南沒有土豆?。俊鄙形湔f：“聽也不曾聽說過呢！”耿老爹說：“這土豆其實(shí)很好種的，估計(jì)江南也應(yīng)該能種！你走的時(shí)候帶一些

12、回去哇，試著種種！”尚武說：“唔，好好好，如果真能種得成，那可就太好啦！”大家一邊吃飯，一邊繼續(xù)聊著。耿正看到小妹妹耿蘭一直拘謹(jǐn)?shù)刈谀抢锬爻燥?，就站起來探手給她的碗里夾一塊兒紅燒肉，親切地說：“蘭蘭，這是爹、大哥、二哥和姐姐啊，你怎么不跟俺們說話呢？”看到耿蘭紅著臉不敢抬頭看大哥的樣子，耿直搖著頭說：“唉，蘭蘭啊，你忘記了嗎？咱爹帶哥哥姐姐和俺走之前，你可是二哥的小尾巴呢！二哥在南邊，像想娘一樣想你……”想起來離家一年之后的那個(gè)八

13、月十五夜里耿直哭著睡去的情景，耿老爹、耿正、耿英和耿直都聲噎了……郭氏趕快說：“蘭兒，你成天跟娘念叨爹和哥哥姐姐們，這會(huì)兒他們就在你的眼前兒了，你倒是叫?。〉?、大哥、二哥和姐姐想聽呢！”耿蘭怯怯地低著頭小聲兒說：“俺很想叫呢，可俺就是……”耿英含淚輕輕地推一推妹妹，小聲說：“這是咱爹！你快叫??！”耿蘭慢慢地抬起頭來，又怯怯地扭過頭望著身旁慈祥的爹爹正眼含熱淚，滿懷歉意和期待地看著自己……她囁嚅著，終于輕輕地叫了一聲：“爹！”“哎！”耿老

14、爹高興地答應(yīng)著，一串眼淚噗嚕嚕滾落下來。他顧不上抬手擦去眼淚，就低頭在耿蘭的額頭上輕輕親了一下?？吹矫妹棉D(zhuǎn)回頭來看著哥哥耿正遲疑著，耿英又含淚低聲兒催促她：“快叫大哥啊！”耿蘭又輕輕地叫了一聲：“大哥！”“哎！”耿正高興地答應(yīng)著，又往小妹妹的碗里夾了一大塊烤鴨！急性子耿直等不及了，說：“小尾巴，俺呢？”“二哥！”“哎！”耿直高興地跳起來，滿桌子尋找著說：“二哥看看俺的小尾巴最愛吃什么？”耿英擦一把眼淚，笑著說：“行了哇小直子，你小尾巴的

15、碗里好吃的多著呢，你就免了哇！”耿直也笑了，把胳膊搭在尚武的肩膀上，歪著頭說：“那二哥就送你一個(gè)更大的禮物，叫三哥！”“三哥！”“哎！”尚武答應(yīng)著，趕快站起身來給耿蘭施禮！耿英忍不住笑出聲來，說：“俺說三弟啊，你在咱家門口已經(jīng)給妹妹施過禮了，哪來的那么多禮節(jié)?。】熳鲁燥埻郏　鄙形湫χ铝??！敖憬?！”“哎！”耿英大聲答應(yīng)著抱住妹妹，在她的臉頰上“吧”地親了一大口！郭氏擦去滿臉的淚水，高興地說：“好啦，俺們的蘭兒好不容易叫出口了！”說罷