“存在性”和“最值”的解決方法

1、1“存在性存在性”和“最值最值”的解決方法的解決方法一、關(guān)于存在性問(wèn)題一、關(guān)于存在性問(wèn)題1、什么樣的情況會(huì)引發(fā)出“存在性問(wèn)題？從一個(gè)整體情況或一個(gè)變化過(guò)程中，判斷滿足某種特殊要求的情況是否存在，并在存在時(shí)將其尋找出來(lái)，這樣的問(wèn)題就是“存在性”問(wèn)題。如：題1如某月的月歷，像圖中那樣用方框框住4個(gè)數(shù)字，是否存在以下情況：使框住的4個(gè)數(shù)字和為100？為90？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出這4個(gè)數(shù)字，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。題2如圖（1），四邊形是邊長(zhǎng)為6的正方

2、形，動(dòng)點(diǎn)P從ABCDA點(diǎn)P出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)ABBQ從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿邊B運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P到達(dá)處B時(shí)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)停止，記的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為。QPt（1）是否存在時(shí)刻，使線段將正方形的周長(zhǎng)分為相等的兩部分？若存在，求出的值；若不存在，tPQABCDt請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）是否存在時(shí)刻，，使線段將正方形的面積分為1：2兩部分，若存在，求出的值；若不存在，tPQABCDt請(qǐng)說(shuō)明理由。（1）（2）題3如圖（2）

3、，在中，，在斜邊上是否存在點(diǎn)，使以為圓心，以為半徑的ABC????90CABOOOA圓，恰好與相切？BC若存在，請(qǐng)作出⊙（保留作圖痕跡）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。O像以上三個(gè)題目都屬于“存在性”問(wèn)題。2、“存在性存在性”問(wèn)題的基本類型和解決方法問(wèn)題的基本類型和解決方法“存在性”問(wèn)題大體可分為兩類：Ⅰ、由數(shù)量關(guān)系確定的“存在性”問(wèn)題（即要找的是滿足一個(gè)“特殊”數(shù)量方面的要求）；Ⅱ、由位置關(guān)系確定的“存在性”問(wèn)題（即要找的是滿足一個(gè)“特殊”位

4、置方面的要求）。日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930BCCDDAADBCQPABC3解：（1）①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在AB上，點(diǎn)在上，正方形的周長(zhǎng)被分成的兩部分中，頂20??tPQBCABCDPQ點(diǎn)B所在部分顯然小于（正方形的周長(zhǎng)），而另一部分大于（正方形的周長(zhǎng)）。因此，?21ABCD?21ABCD不可能有二者相等的時(shí)刻；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，頂點(diǎn)B所在的部分的“周長(zhǎng)”為，另

5、一部分的“周長(zhǎng)”為42??tQCDtt3)6(??。)318(tt??令，解得。tt3)6(???)318(tt??3?t（或令12，也得同樣的結(jié)果）。tt3)6(???③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在AB上，點(diǎn)在AD上，分成的兩部分中，含頂點(diǎn)B的部分的“周長(zhǎng)”顯然64??tPQPQ大于（的周長(zhǎng)），因此不存在二者相等的時(shí)刻。?21ABCD所以，存在，使將的周長(zhǎng)分為相等的兩部分（其實(shí)，此時(shí)和分別為邊AB，的中點(diǎn)）3?tPQABCDPQCD。（2）①當(dāng)時(shí)，，2

6、0??t36?ABCDS正方形?，ABCDPBQSttQBPBA正方形313)6(2121????????令，解得（與矛盾，舍去）。?36313)6(21????tt4221??tt2?t②當(dāng)時(shí)，令或42??t??????3631636621????????ttSPBCQ梯形，分別解得（矛盾，舍去），。??????363263621?????tt23?t42??t44?t③當(dāng)時(shí)，令，解得（舍去），（舍去）。64??t3631)318(2

7、121????????ttAQAPSAPQ25?t46?t所以，存在時(shí)刻和，使得把正方形的面積分為1：2的兩部分。2?t4?tPQABCD【說(shuō)明說(shuō)明】在，的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，正方形的周長(zhǎng)與面積總是被分為兩部分，且兩部分的值在運(yùn)動(dòng)中變化著，現(xiàn)PQ對(duì)變化著的值提出特定的要求，以確定這種特殊情況是否真的出現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程之中，這正是“存在性”問(wèn)題的典型特征，而構(gòu)造出相應(yīng)的方程來(lái)求解。也真是普遍適用的方法。例3如圖（3），在直角梯形中，。動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)ABCD