[高一數(shù)學(xué)]第七講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、第七第七講：三角函數(shù)的：三角函數(shù)的圖象與性象與性質(zhì)知識要點回顧：知識要點回顧：1三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)的定義域（1）函數(shù)函數(shù)sincosyxyx??的定義域均為的定義域均為R（2）函數(shù)函數(shù)tanyx?的定義域為的定義域為|2xxkkZ?????2三角函數(shù)的值域三角函數(shù)的值域（1）正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值域為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值域為[11]?，稱為有界性，稱為有界性|sin|1|cos|1xx≤≤；函數(shù)；函數(shù)tanyx?的值域為的值域為

2、R（2）三角函數(shù)式的值域問題較復(fù)雜，除了代數(shù)求值域的方法都可以適用外，還要注意三三角函數(shù)式的值域問題較復(fù)雜，除了代數(shù)求值域的方法都可以適用外，還要注意三角函數(shù)式本身的特點，特別是經(jīng)常需要先進行三角變換化簡再求值域角函數(shù)式本身的特點，特別是經(jīng)常需要先進行三角變換化簡再求值域下列與三角函數(shù)有關(guān)的常用一些函數(shù)的值域要熟悉下列與三角函數(shù)有關(guān)的常用一些函數(shù)的值域要熟悉①sincos2sin()4yxxx?????，當(dāng)，當(dāng)xR?時，時，[22]y?

3、?；當(dāng)；當(dāng)(0)2x??時，時，(12]y?；當(dāng)x為三角形的一個內(nèi)角時，為三角形的一個內(nèi)角時，(12]y??②sincos2sin()4yxxx?????，當(dāng)，當(dāng)xR?時，時，[22]y??；當(dāng)；當(dāng)(0)2x??時(11)y??③tancot(2][2)yxx?????????3三角函數(shù)的周期性三角函數(shù)的周期性（1）對周期函數(shù)的定義，要抓住兩個要點：對周期函數(shù)的定義，要抓住兩個要點：①周期性是函數(shù)的整體性質(zhì)，因此周期性是函數(shù)的整體性質(zhì)，

4、因此()()(0)fxTfxT???必須對定義域中每一個自變必須對定義域中每一個自變量x成立時，非零常數(shù)成立時，非零常數(shù)T才是才是()fx的周期周期是使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量的周期周期是使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量x的增加的增加值值正弦函數(shù)正弦函數(shù)sinyx?和余弦函數(shù)和余弦函數(shù)cosyx?都是以周期都是以周期2?為最小正周期的周期函數(shù)；正切函為最小正周期的周期函數(shù)；正切函數(shù)tanyx?和余切函數(shù)和余切函數(shù)cotyx?都是以都是以?為最小正

5、周期的周期函數(shù)為最小正周期的周期函數(shù)②在沒有特別說明的情況下，周期一般是指最小正周期在沒有特別說明的情況下，周期一般是指最小正周期（2）熟記周期公式：熟記周期公式：sin()cos()(00)yAxyAxA???????????的最小正周期為：的最小正周期為：2||T???；tan()(00)yAxA???????的最小正周期為：的最小正周期為：||T???（3）三角函數(shù)的周期性在三角函數(shù)性質(zhì)中的作用三角函數(shù)的周期性在三角函數(shù)性質(zhì)中的作

6、用先在一個周期內(nèi)研究其圖象和性質(zhì)，再由周期性推廣到整個定義域內(nèi)先在一個周期內(nèi)研究其圖象和性質(zhì)，再由周期性推廣到整個定義域內(nèi)（4）周期函數(shù)周期函數(shù)()fx的常見表現(xiàn)形式：的常見表現(xiàn)形式：①對定義域內(nèi)的每個對定義域內(nèi)的每個x，都有，都有()()(0)fxTfxT????成立，則成立，則2T是函數(shù)是函數(shù)()fx的一個周的一個周期期②對定義域內(nèi)的每個對定義域內(nèi)的每個x，都有，都有1()()fxTfx??或1()(0)()fxTTfx????成立

7、，則成立，則2T是函數(shù)函數(shù)()fx的一個周期的一個周期③對定義域內(nèi)的每個對定義域內(nèi)的每個x，都有，都有()()(0)fxTfxbb???，則，則2T是函數(shù)是函數(shù)()fx的一個周期的一個周期4三角函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性三角函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性（1）研究函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間研究函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間①sinyx?在的單調(diào)增區(qū)間是在的單調(diào)增區(qū)間是2222kk????????????，單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是322

8、22kk????????????，其中，其中kZ?②cosyx?在的單調(diào)增區(qū)間是在的單調(diào)增區(qū)間是[22]kk????，單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是[22]kk????，其，其中kZ?③tanyx?在的單調(diào)增區(qū)間是在的單調(diào)增區(qū)間是??22kk??????，其中，其中kZ?（4）三角函數(shù)的圖象的掌握體現(xiàn)在：把握圖象的主要特征三角函數(shù)的圖象的掌握體現(xiàn)在：把握圖象的主要特征（頂點、零點、對稱中心、對頂點、零點、對稱中心、對稱軸、單調(diào)性、漸近線等稱

9、軸、單調(diào)性、漸近線等）；應(yīng)熟練掌握用；應(yīng)熟練掌握用“五點法五點法”作圖的基本原理并能快速、準確地作作圖的基本原理并能快速、準確地作圖；圖；“五點法五點法”中五個點的坐標(biāo)與周期、單調(diào)區(qū)間的長度、對稱性、最值間的關(guān)系，明確中五個點的坐標(biāo)與周期、單調(diào)區(qū)間的長度、對稱性、最值間的關(guān)系，明確A??、、的取值對它們的制約與影響的取值對它們的制約與影響（5）在圖象變換中，注意周期與最值的大小變化與伸縮間的關(guān)系當(dāng)平移變換與伸縮在圖象變換中，注意周期與最

10、值的大小變化與伸縮間的關(guān)系當(dāng)平移變換與伸縮變換均需使用時，應(yīng)注意實施兩種變換的先后順序?qū)ψ儞Q結(jié)果的影響變換均需使用時，應(yīng)注意實施兩種變換的先后順序?qū)ψ儞Q結(jié)果的影響（6）角的取值區(qū)間或取值集合的正確表示，注意區(qū)分何時只能用區(qū)間，何時表示形式角的取值區(qū)間或取值集合的正確表示，注意區(qū)分何時只能用區(qū)間，何時表示形式不限，還要注意是否需要加注不限，還要注意是否需要加注“kZ?”解題方法與策略分析解題方法與策略分析1處理三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題時，

11、其基本解題方法與策略是通過三角變換將函數(shù)處理三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題時，其基本解題方法與策略是通過三角變換將函數(shù)的解析式化為的解析式化為sin()(00)AxBA???????或tan()(00)AxBA???????的形式，然后直的形式，然后直接利用函數(shù)接利用函數(shù)sin()Ax???或tan()Ax???的圖象與性質(zhì)，必要時充分利用的圖象與性質(zhì)，必要時充分利用“五點法五點法”用作出一用作出一個周期內(nèi)的簡圖，數(shù)形結(jié)合處理當(dāng)然，有時不能化

12、為上述形式，此時需考慮個周期內(nèi)的簡圖，數(shù)形結(jié)合處理當(dāng)然，有時不能化為上述形式，此時需考慮“二次型：二次型：2()()afxbfxc??”與分式型與分式型“22()()()()afxbfxcmfxnfxd????”兩種形式，其中兩種形式，其中()fx為確定的三角函數(shù)為確定的三角函數(shù)式式2解決函數(shù)圖象變換問題時應(yīng)抓住數(shù)形間的內(nèi)在關(guān)系，明確形變與數(shù)變的聯(lián)系解決函數(shù)圖象變換問題時應(yīng)抓住數(shù)形間的內(nèi)在關(guān)系，明確形變與數(shù)變的聯(lián)系（見附見附注），充分利

13、用對應(yīng)點的坐標(biāo)或圖象特殊點的變化過程，充分利用對應(yīng)點的坐標(biāo)或圖象特殊點的變化過程附注：函數(shù)圖象變換中形與數(shù)間的變化規(guī)律附注：函數(shù)圖象變換中形與數(shù)間的變化規(guī)律設(shè)00a???、，箭頭指向的一邊為平移變換的結(jié)果，則有：，箭頭指向的一邊為平移變換的結(jié)果，則有：(0)(0)()()amaxxaamaxaxfxfxa???????????????AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

14、AAAAAAAA上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上(0)(0)()()amaxxaamaxaxfxfxa???????????????AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上(0)(0)()()bnbyybbnbybyfxfxb???????????AAAAAAAAAAAAA

15、AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上(0)(0)()()bnbyybbnbybyfxfxb???????????AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上上2()(2)xaxaxfxfa

16、x?????????????上上上上上上上上0()()xyxxfaxfax?????????????????上上上上上上上上上上上上若1??，則：，則：1()()xxfxfx????????????????????上上上上上上上上上上上上上若01???，則：，則：1()()xxfxfx????????????????????上上上上上上上上上上上上上注意：三角函數(shù)的注意：三角函數(shù)的圖象變換變換當(dāng)沿當(dāng)沿x軸需進行平移和伸行平移和伸縮且沿且

17、沿y軸也需也需進行平移和伸行平移和伸縮時縮時，按實施變換變換的先后的先后順序的不同共有序的不同共有24種不同方法先平移種不同方法先平移變換變換后伸后伸縮變換縮變換與先伸與先伸縮變換縮變換再平移平移變換變換兩種兩種變換變換方式中伸方式中伸縮變換縮變換不變，平移的方向也不，平移的方向也不變，要特，要特別注意的是平移的注意的是平移的單位長度并不相同度并不相同事實上，設(shè)事實上，設(shè)0??，則有：，則有：1(0)()()()amfxfxmfxm??

18、?????????????????????????????????????????????????????????????????????橫坐標(biāo)伸長或縮短到原來的沿向量平移1(0)()()[()]amfxfxfxm???????????????????????????????????????????????????????????????????????橫坐標(biāo)伸長或縮短到原來的沿向量平移(0)()()[()]AbnfxfxnAfxn??

19、????????????????????????????????????????????????????????????????????縱坐標(biāo)伸長或縮短到原來的倍沿向量平移(0)()()()AanfxAfxAfxn???????????????????????????????????????????????????????????????????????縱橫坐標(biāo)伸長或縮短到原來的倍沿向量平移3對于涉及單調(diào)性、值域與最值、周期、對稱性等的

20、三角函數(shù)問題，大多需要把函數(shù)對于涉及單調(diào)性、值域與最值、周期、對稱性等的三角函數(shù)問題，大多需要把函數(shù)解析式化為解析式化為sin()Ax???的形式來處理，解題時要充分注意自變量的取值范圍，并由此求出的形式來處理，解題時要充分注意自變量的取值范圍，并由此求出角x???的范圍，再結(jié)合函數(shù)圖象解決，必要時可利用的范圍，再結(jié)合函數(shù)圖象解決，必要時可利用tx????換元化簡要充分留意最換元化簡要充分留意最值、對稱性、周期性、單調(diào)性之間的內(nèi)在聯(lián)系，