十九世紀(jì)數(shù)學(xué)35064_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

1、十九世紀(jì)數(shù)學(xué)十九世紀(jì)數(shù)學(xué)十九世紀(jì)是數(shù)學(xué)史上創(chuàng)造精神和嚴(yán)格精神高度發(fā)揚(yáng)的時(shí)代。復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)立和數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)格化,非歐幾何的問(wèn)世和射影幾何的完善,群論和非交換代數(shù)的誕生,是這一世紀(jì)典型的數(shù)學(xué)成就。它們所蘊(yùn)含的新思想,深刻地影響著二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)。十九世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的概貌十九世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的概貌十八世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的主流是微積分學(xué)的擴(kuò)展,它與力學(xué)和天文學(xué)的問(wèn)題緊密相聯(lián)。微積分的運(yùn)用使這些自然科學(xué)領(lǐng)域迅猛發(fā)展,至十八世紀(jì)末,它們達(dá)到了一種相對(duì)完美的程度

2、。然而,將數(shù)學(xué)和這些自然科學(xué)基本上視為一體的觀念,使當(dāng)時(shí)一些著名的數(shù)學(xué)家,如拉格朗日、歐拉、達(dá)朗貝爾等對(duì)數(shù)學(xué)的前途產(chǎn)生了悲觀情緒,他們覺(jué)得數(shù)學(xué)泉源已近枯竭。而實(shí)際上,此時(shí)的數(shù)學(xué)正處于興旺發(fā)達(dá)的前夜:18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家忙于獲取微積分的成果與應(yīng)用,較少顧及其概念與方法的嚴(yán)密性,到十八世紀(jì)末,為微積分奠基的工作已緊迫地?cái)[在數(shù)學(xué)家面前;另一方面,處于數(shù)學(xué)中心課題之外的數(shù)學(xué)分支已積累了一批重要問(wèn)題,如復(fù)數(shù)的意義、歐式幾何中平行公設(shè)的地位,高次代數(shù)方

3、程根式解的可能性等,它們大都是從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出的課題;再者,自十八世紀(jì)后期開(kāi)始,自然科學(xué)出現(xiàn)眾多新的研究領(lǐng)域,如熱力學(xué)、流體力學(xué)、電學(xué)、磁學(xué)、測(cè)地學(xué)等等,從數(shù)學(xué)外部給予數(shù)學(xué)以新的推動(dòng)力。上述因素促成了十九世紀(jì)數(shù)學(xué)充滿(mǎn)活力的創(chuàng)新與發(fā)展。十九世紀(jì)歐洲的社會(huì)環(huán)境也為數(shù)學(xué)發(fā)展提供了適宜的舞臺(tái),法國(guó)資產(chǎn)階級(jí)大革命所造成的民主精神和重視數(shù)學(xué)教育的風(fēng)尚,鼓勵(lì)大批有才干的青年步入數(shù)學(xué)教育和研究領(lǐng)地。法國(guó)在十九世紀(jì)一直是最活躍的數(shù)學(xué)中心之一,涌現(xiàn)出一批優(yōu)秀

4、人才,如傅里葉、泊松、彭賽列、柯西、劉維爾、伽羅華、埃爾米特、若爾當(dāng)、達(dá)布、龐加萊、阿達(dá)馬。他們?cè)趲缀跛械臄?shù)學(xué)分支中都作出了卓越貢獻(xiàn)。法國(guó)革命的影響波及歐洲各國(guó),使整個(gè)學(xué)術(shù)界思想十分活躍,突破了一切禁區(qū)。英國(guó)新一代數(shù)學(xué)家克服近一個(gè)世紀(jì)以來(lái)以牛頓為偶像的固步自封局面,成立了向歐洲大陸數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“分析學(xué)會(huì)”,使英國(guó)進(jìn)入世界數(shù)學(xué)發(fā)展的潮流。皮科克、格林、哈密頓、西爾維斯特、凱萊、布爾等英國(guó)數(shù)學(xué)界的杰出人物,在代數(shù)學(xué)、代數(shù)幾何、數(shù)學(xué)物理方面的

5、成就尤為突出。德國(guó)在1870年統(tǒng)一之前,資本主義發(fā)展比較緩慢,但從十八世紀(jì)下半葉起,它一直是思想意識(shí)領(lǐng)域十分活躍的地區(qū),特別是思辨哲學(xué)強(qiáng)調(diào)事物內(nèi)部矛盾促進(jìn)事物發(fā)展的思想,對(duì)純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了有益的影響。從高斯登上數(shù)學(xué)舞臺(tái)至十九世紀(jì)下半葉,德國(guó)逐漸發(fā)展成為與法國(guó)并駕齊驅(qū)的又一個(gè)世界數(shù)學(xué)中心,除高斯外,施陶特、普呂克、雅可比、狄利克雷、格拉斯曼、庫(kù)默爾、魏爾斯特拉斯、克羅內(nèi)克、黎曼、戴德金、康托爾、克萊因、希爾伯特都無(wú)愧為十九世紀(jì)最果系統(tǒng)

6、化,對(duì)問(wèn)題及方法加以分類(lèi),同時(shí)開(kāi)辟了全新的課題及方法。樹(shù)立了嚴(yán)格證明的典范,認(rèn)為找出簡(jiǎn)單漂亮的證明,有助于掌握問(wèn)題的實(shí)質(zhì)并發(fā)現(xiàn)不同問(wèn)題間的聯(lián)系(典型的是他給出了二次互反律的七個(gè)證明)。高斯的觀點(diǎn)代表了十九世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)嚴(yán)密性追求的時(shí)代精神,也指出了純粹數(shù)學(xué)發(fā)展的一條途徑。同年,高斯依據(jù)少量觀測(cè)數(shù)據(jù),運(yùn)用誤差分析等方法計(jì)算出谷神星的軌道,準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)了這顆小行星在天空出現(xiàn)的時(shí)刻,哄動(dòng)了科學(xué)界。高斯在一生中始終對(duì)理論與應(yīng)用同等重視,他的成就一直鼓

7、舞著最有才華的數(shù)學(xué)家。他和阿基米德、牛頓一起,被認(rèn)為是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家。1807年,傅里葉向巴黎科學(xué)院提交了一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)的文章,在解熱傳導(dǎo)方程時(shí),提出任意函數(shù)可用三角級(jí)數(shù)表示。這是分析學(xué)在十九世紀(jì)的首項(xiàng)重要工作,它不僅使分析方法進(jìn)入新的物理領(lǐng)域,而且擴(kuò)展了函數(shù)概念,推進(jìn)了偏微分方程理論。對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)收斂點(diǎn)的研究,最終導(dǎo)致康托爾創(chuàng)立集合論。由于傅里葉級(jí)數(shù)在應(yīng)用中的重要性,研究其收斂性成為分析嚴(yán)格化的動(dòng)力之一。十九世紀(jì)分析嚴(yán)格化的倡導(dǎo)

8、者有高斯、波爾查諾、柯西、阿貝爾和狄利克雷等人。1812年,高斯對(duì)一類(lèi)具體的級(jí)數(shù)──超幾何級(jí)數(shù),進(jìn)行了嚴(yán)密研究,這是歷史上第一項(xiàng)重要的有關(guān)級(jí)數(shù)收斂性的工作。1817年,波爾查諾首先拋棄無(wú)窮小量概念,用極限觀念給出導(dǎo)數(shù)和連續(xù)性的定義,并得到判別級(jí)數(shù)收斂的一般準(zhǔn)則(現(xiàn)稱(chēng)柯西準(zhǔn)則),由于他的工作長(zhǎng)期被埋沒(méi),因此對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的發(fā)展沒(méi)有產(chǎn)生影響,是數(shù)學(xué)史上一件憾事。柯西是對(duì)分析嚴(yán)格化影響最大的學(xué)者,1821年發(fā)表了《分析教程》,除獨(dú)立得到波爾查諾的

9、基本結(jié)果,還用極限概念定義了連續(xù)函數(shù)的定積分,這是建立分析嚴(yán)格理論的第一部重要著作。值得注意的是,柯西的分析理論基本上基于幾何直觀,按現(xiàn)代標(biāo)準(zhǔn)衡量仍不夠嚴(yán)密。阿貝爾一直強(qiáng)調(diào)分析中定理的嚴(yán)格證明,在1826年最早使用一致收斂的思想,證明了連續(xù)函數(shù)的一個(gè)一致收斂級(jí)數(shù)的和在收斂區(qū)域內(nèi)部連續(xù)。柯西在建立嚴(yán)格的分析理論的同時(shí),還為十九世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)創(chuàng)造──單復(fù)變函數(shù)論奠定了基礎(chǔ)。1814~1825年間,他得到了計(jì)算復(fù)函數(shù)沿復(fù)平面上路徑積分的基本

10、定理和留數(shù)計(jì)算公式。由于柯西的工作,復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)論在十九世紀(jì)20年代為廣大數(shù)學(xué)家所熟悉。1826年,阿貝爾和雅可比創(chuàng)立了橢圓函數(shù)理論,成為復(fù)變函數(shù)論蓬勃發(fā)展的生長(zhǎng)點(diǎn)。十九世紀(jì)最富革命性的創(chuàng)造當(dāng)屬非歐幾何。自古希臘時(shí)代始,歐氏幾何一直被認(rèn)為是客觀物質(zhì)空間惟一正確的理想模型,是嚴(yán)格推理的典范。16世紀(jì)后的數(shù)學(xué)家在論證代數(shù)或分析結(jié)果的合理性時(shí),都試圖歸之為歐氏幾何問(wèn)題。但歐氏幾何的平行公設(shè)曾引起數(shù)學(xué)家的持久的關(guān)注,以弄清它和其他公理、公設(shè)的

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