高等數(shù)學(xué)函數(shù)極限

1、1第一章第一章函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)極限與連續(xù)高等數(shù)學(xué)可以說是變量數(shù)學(xué)，它的研究對(duì)象、研究方法與初等數(shù)學(xué)相比都有相當(dāng)大的差異。它主要研究對(duì)象是函數(shù)，它的主要內(nèi)容是微積分學(xué)，它的主要手段是以極限為工具，并在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)研究函數(shù)的變化率及其規(guī)律性，從而產(chǎn)生微積分的基本概念及性質(zhì)。本章主要介紹函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)；數(shù)列與函數(shù)的極限及其基本性質(zhì)；連續(xù)函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)，為進(jìn)一步學(xué)好函數(shù)的微積分打下一個(gè)良好的基礎(chǔ)。第一節(jié)第一節(jié)函數(shù)的概念函數(shù)的概念

2、一、幾個(gè)基本概念一、幾個(gè)基本概念1常量與變量常量與變量在日常生活或生產(chǎn)實(shí)踐中，觀察某一個(gè)事件的結(jié)果往往是用一個(gè)量的形式來表現(xiàn)的，在觀察的某一個(gè)過程中始終保持不變的量稱之為常量常量，經(jīng)常變化的量稱之為變量變量。通常用小寫字母a、b、c……等表示常量，用小寫字母x、y、z、……表示變量。例如：例如：圓周率是永遠(yuǎn)不變的量，它是一個(gè)常量；某商品的價(jià)格在一定的時(shí)間?段內(nèi)是不變的，所以，在這段時(shí)間內(nèi)它也是常量；又如一天中的氣溫，工廠在生產(chǎn)過程中的產(chǎn)

3、量都是不斷變化的量，這些量都是變量。注意：注意：1常量和變量是相對(duì)的，它們依賴于所研究的過程和所研究的對(duì)象。在不同的過程中常量和變量是可以轉(zhuǎn)化的。如商品的價(jià)格，某段時(shí)間是常量，另一段時(shí)間就有可能是變量了；2從幾何意義上來表示，常量對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的定點(diǎn)，變量對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)。2集合、區(qū)間集合、區(qū)間集合是表示具有同一種屬性的全體。例如：例如：某班的全體學(xué)生組成一個(gè)集合；長(zhǎng)虹集團(tuán)05年度的所有產(chǎn)品組成一個(gè)集合；所有正有理數(shù)仍組成一個(gè)集合等等。有關(guān)

4、集合的運(yùn)算、集合的表示等方面的基本知識(shí)，中學(xué)數(shù)學(xué)已有介紹，這里就不一一贅述了下面向讀者介紹高等數(shù)學(xué)中常用的數(shù)集及其簡(jiǎn)明表示符號(hào)：3函數(shù)值；當(dāng)在區(qū)域上取遍時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的全體稱為函數(shù)的值域，記為RfxD。即??)(ffDxxfyyR???對(duì)于函數(shù)概念，以下幾點(diǎn)是值得注意的：對(duì)于函數(shù)概念，以下幾點(diǎn)是值得注意的：1以上函數(shù)定義基本上是按照初等數(shù)學(xué)中所描述的方式給出的，它指的是單值函數(shù)；2函數(shù)的實(shí)質(zhì)是對(duì)應(yīng)關(guān)系（或?qū)?yīng)法則），只要兩個(gè)變量之間

5、能找到一種對(duì)應(yīng)，我們就說它們之間確定了一個(gè)函數(shù)；3確定函數(shù)有兩個(gè)要素，這就是：定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系；4函數(shù)之間可以定義加、減、乘、除等運(yùn)算，但是運(yùn)算必須在所有函數(shù)都有意義的公共范圍內(nèi)進(jìn)行。有關(guān)函數(shù)的相等、函數(shù)的定義域、值域；函數(shù)的四則運(yùn)算等概念在中學(xué)數(shù)學(xué)課本中已有介紹，這里就不再?gòu)?fù)述了。下面我們來看幾個(gè)具體的例子：下面我們來看幾個(gè)具體的例子：例1由關(guān)系式能確定兩個(gè)變量x與y之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，可122??yx以說是一個(gè)函數(shù)關(guān)系，但它不是我們

6、所指的函數(shù)。比如x=0時(shí)，相應(yīng)的y可以等于1，也可以等于1。其實(shí)它們是這樣兩段函數(shù)，這類2211xyxy??????函數(shù)我們稱為多值函數(shù)。例2函數(shù)????????00xxxxxy的定義區(qū)域?yàn)镽，值區(qū)域?yàn)?，它稱為絕對(duì)值函數(shù)，其圖像如圖11。通常)0[??這類函數(shù)稱為分段函數(shù)。所謂分段函數(shù)是指：所謂分段函數(shù)是指：函數(shù)在定義域的不同范圍內(nèi)的函數(shù)表達(dá)式不同，它實(shí)質(zhì)上是一個(gè)函數(shù)，不能理解為兩個(gè)或多個(gè)函數(shù)。例3函數(shù)???????????010001