染色問題探究

1、1排列組合題型拓展排列組合題型拓展一、涂色問題一、涂色問題1、引例：、引例：引例1(2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第12題)在一個(gè)正六邊形的6個(gè)區(qū)域栽種觀賞植物，如右圖，要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物現(xiàn)有四種不同的植物可供選擇，則有________種栽種方案引例2(2003年全國高考——新課程卷理工第15題)某城市在中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分（如圖），現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同

2、樣顏色的花，不同的栽種方法有_____種（以數(shù)字作答）引例2分析：首先栽種第1部分，有種栽種方法；14C然后問題就轉(zhuǎn)化為用余下3種顏色的花，去栽種周圍的5個(gè)部分（如右圖所示），此問題和引例1是同一題型，因此我們有必要對(duì)這一題型的解法做一深入探討。2、剖析、剖析為了深入探討這一題型的解法，（1）讓我們首先用m（m≥3）種不同的顏色（可供選擇），去涂4個(gè)扇形的情形（要求每一個(gè)扇形著一種顏色，相鄰扇形著不同顏色），如圖所示以1和3（相間）涂色

3、相同與否為分類標(biāo)準(zhǔn)：①1和3涂同一種顏色，有m種涂法；2有m－1種涂法，4也有m－1種涂法，∴共有種涂法。(1)(1)mmm????②1和3涂不同種顏色，有種涂法；2有m－2種涂法，4也有m－2種涂法，2mA∴共有種涂法。2(2)(2)mAmm????綜合①和②，共有種涂法。(1)(1)mmm????2(2)(2)mAmm????432463mmmm????（２）下面來分析引例1(2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第12題)在一個(gè)正六邊形的6個(gè)

4、區(qū)域栽種觀賞植物，如右圖，要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物現(xiàn)有四種不同的植物可供選擇，則有____種栽種方案以A、C、E（相間）栽種植物情況作為分類標(biāo)準(zhǔn)：①A、C、E栽種同一種植物，有4種栽法；B、D、F各有3種栽法，∴共有4333＝108種栽法。②B、D、F共有322種栽法（：若A、C栽種同一種植物，則B有3種栽法，D、F各有2種栽法），3432463mmmm????]432343633318???????3、拓展、拓

5、展上面，我們分別就n為偶數(shù)和奇數(shù)給出了“設(shè)一個(gè)圓分成P1，P2，…，Pn，共n個(gè)扇形，用m種不同的顏色對(duì)這n個(gè)扇形著色（m≥3，n≥3），每一個(gè)扇形著一種顏色，相鄰扇形著不同顏色，共有多少種不同的著色方法”這類問題的解題思路。那么，這類問題有沒有更為一般的解法（即通法）呢？[n為不小于3的整數(shù)]分析：設(shè)為符合要求的對(duì)n個(gè)扇形的涂色方法。na對(duì)扇形P1有m種涂色方法，扇形P2有m－1種涂色方法，扇形P3也有m－1種涂色方法，…………扇形P

6、n也有m－1種涂色方法于是，共有種不同的涂色方法。但是，，因?yàn)檫@種涂色方法1(1)nmm???na?1(1)nmm???可能出現(xiàn)P1與Pn著色相同的情形，這是不符合題意的，因此，答案應(yīng)從中減去這1(1)nmm???些不符合題意的涂色方法。那么，這些不符合題意的涂色方法，又怎樣計(jì)算呢？這時(shí)，把P1與Pn看作一個(gè)扇形，其涂色方法相當(dāng)于用m種顏色對(duì)n－1個(gè)扇形涂色（這種轉(zhuǎn)換思維相當(dāng)巧妙），不同的涂色方法有種，于是，有1na?－（n≥3），①顯

7、然，na?1(1)nmm???1na?3(1)(2)ammm???上述的式①就是數(shù)列的遞推公式，由此，我們就可以推導(dǎo)出的通項(xiàng)公式：na（讀者若對(duì)這一推導(dǎo)有困難，我可以在人教論壇na?(1)(1)(1)(3)nnmmn?????的“高中數(shù)學(xué)論壇”:chat..cnlb5000fums.cgifum=38中發(fā)帖）至此，我們就找到了“設(shè)一個(gè)圓分成P1，P2，…，Pn，共n個(gè)扇形，用m種不同的顏色對(duì)這n個(gè)扇形著色（m≥3，n≥3），每一個(gè)扇形著

8、一種顏色，相鄰扇形著不同顏色，共有多少種不同的著色方法”這類問題的通項(xiàng)公式：即na?(1)(1)(1)(3)nnmmn?????注意：上述問題中的m種顏色是可供選擇的，而不是全部都要用上的。4、遷移練習(xí)、遷移練習(xí)1(2003年全國高考——新課程卷理工第15題改編)某城市在中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分（如圖），每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，現(xiàn)有5種不同顏色的花可供選擇，則不同的栽種方法有_____種；若要求5種不