第七章一維波動(dòng)方程的傅氏解

1、第七章第七章一維波動(dòng)方程的傅氏解一維波動(dòng)方程的傅氏解（20）一、內(nèi)容摘要1二階線性偏微分方程可以分為如下四類(lèi)：拋物型、雙曲型、橢圓型拋物型、雙曲型、橢圓型和超雙曲超雙曲型方程型方程。拋物型：拋物型：傳導(dǎo)和擴(kuò)散方程傳導(dǎo)和擴(kuò)散方程；??2txxyyzzuauuu???橢圓型：橢圓型：Laplace方程，穩(wěn)態(tài)問(wèn)題方程，穩(wěn)態(tài)問(wèn)題；0xxyyzzuuu???雙曲型：雙曲型：波動(dòng)或弦振動(dòng)方程波動(dòng)或弦振動(dòng)方程。??2ttxxyyzzuauuu???2

2、一般地，要完全描寫(xiě)一個(gè)具有確定解的物理問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上就是要構(gòu)成一個(gè)定解問(wèn)題定解問(wèn)題。除了微分方程之外，構(gòu)成定解問(wèn)題還必須有邊界條件和初始條件邊界條件和初始條件。(1)初始條件初始條件：初始條件用于確定體系的歷史狀況，當(dāng)所考察的物理現(xiàn)象是隨時(shí)間變化的時(shí)候，需要確定體系的初始條件來(lái)唯一確定地描述該現(xiàn)象。(2)邊界條件邊界條件：體系的邊界會(huì)影響體系的物理狀態(tài)體系的邊界情況由邊界條件確定.邊界條件反應(yīng)體系和外界的界面上的情況。常見(jiàn)的邊界條件可以

3、分為三類(lèi)：①第一類(lèi)邊界條件：第一類(lèi)邊界條件：????|rBuxyztfrt????②第二類(lèi)邊界條件第二類(lèi)邊界條件：??|rBufrtn??????③第三類(lèi)邊界條件：第三類(lèi)邊界條件：????|nrBucufrt?????上述三類(lèi)邊界條件當(dāng)函數(shù)時(shí)分別稱為第一、第二、第三類(lèi)齊次邊界條齊次邊界條??0frt??件。3定解問(wèn)題問(wèn)題的分類(lèi)：定解問(wèn)題問(wèn)題的分類(lèi)：數(shù)學(xué)物理方程（泛定方程）加上相應(yīng)的定解條件(1)有界弦的自由振動(dòng)有界弦的自由振動(dòng)(泛定方程

4、和邊界條件都是齊次的情形)一條兩端固定的弦的自由振動(dòng)，其定解問(wèn)題為：200000()0()0()()()ttxxxxlttuauxltuxtuxtuuxtxxt???????????????????????通過(guò)分離變量法可解得：，1()cossinsinnnnnatnatnxuxtCDlll??????????????，.02()sinlnnxCxdxll????02()sinlnnxDxdxnal?????解的物理意義：解的物理意義：

5、22cossinsinsincos.=tannnnnnnnnnnnnananxuAtBtlllBnxnaNtNABllA???????????????????????????????這樣，該定解問(wèn)題的解可以看作一系列（頻率、振幅、位相各異的）駐波波函數(shù)的疊加。所以分離變量法又稱為駐波法駐波法。各駐波的振幅、相位由初始條件決定；頻率則和初始條件無(wú)關(guān)，稱為弦的本征頻率。這種解又稱為付氏解付氏解。（2）有界弦的受迫振動(dòng)：有界弦的受迫振動(dòng)：??