03 第三節(jié) 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)

1、第三節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)對多維隨機變量隨機變量的數(shù)學期望和方差只反映了各自的平均值與偏離程度，并沒能反映隨機變量之間的關(guān)系.本節(jié)將要討論的協(xié)方差是反映隨機變量之間依賴關(guān)系的一個數(shù)字特征.分布圖示分布圖示★引言★協(xié)方差的定義★協(xié)方差的性質(zhì)★例1★例2★相關(guān)系數(shù)的定義★相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)★例3★例4★例5★例6★矩的概念★協(xié)方差矩陣★n維正態(tài)分布的概率密度★n維正態(tài)分布的幾個重要性質(zhì)★例7★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習★習題43內(nèi)容要點內(nèi)容要點一、協(xié)方差的

2、定義一、協(xié)方差的定義定義設(shè)為二維隨機向量若)(YX)]()][([YEYXEXE??存在則稱其為隨機變量和的協(xié)方差記為即XY)(YXCov)].()][([)cov(YEYXEXEYX???按定義若為離散型隨機向量其概率分布為)(YX)21(?????jipyYxXPijji則????jijiYEyXExEYX)].()][([)cov(若為連續(xù)型隨機向量其概率分布為則)(YX)(yxf.?????????????dxdyyxfYEyX

3、ExEYX)()]()][([)cov(此外利用數(shù)學期望的性質(zhì)易將協(xié)方差的計算化簡.).()()()()()()()()()()]()][([)cov(YEXEXYEYEXEXEYEYEXEXYEYEYXEXEYX?????????特別地當與獨立時有XY.0)cov(?YX4.設(shè)稱為用來近似Y的均方誤差則有下列結(jié)論.)]([2baXYEe???baX?設(shè)則使均方誤差達到最小.0)(0)(??YDXD)()()()cov(000XEaYE

4、bXDYXa???注:我們可用均方誤差e來衡量以近似表示Y的好壞程度e值越小表示baX?與Y的近似程度越好.且知最佳的線性近似為而其余均方誤差baX?.0bXa?.從這個側(cè)面也能說明.越接近1e越小.反之越近于0e就)1)((2XYYDe???||XY?||XY?越大.Y與X的線性相關(guān)性越小.五、矩的概念五、矩的概念定義設(shè)和為隨機變量為正整數(shù)稱XYlk為階原點矩(簡稱階矩陣))(kXEkk為階中心矩))](([kXEXE?k為階絕對原點

5、矩)|(|kXEk為階絕對中心矩)|)((|kXEXE?k為和的階混合矩)(lkYXEXYlk?為和的階混合中心矩)]([)]([lkYEYXEXE??XYlk?注:由定義可見:(1)的數(shù)學期望是的一階原點矩X)(XEX(2)的方差是的二階中心矩X)(XDX(3)協(xié)方差是和的二階混合中心矩.)(YXCovXY六、協(xié)方差矩陣六、協(xié)方差矩陣將二維隨機變量的四個二階中心矩)(21XX)].()][([)]()][([)]([)]([11222