全國中學生物理競賽輔導6

1、1,奧賽典型例題,分析(振動和波),2,1.如圖1所示的振動系統(tǒng)，輕彈簧的勁度系數(shù)為k，滑輪的質(zhì)量為M，細線與滑輪之間無摩擦，兩個小物塊的質(zhì)量分別為m1和m2，m1> m2，試求滑輪的振動周期.,M,3,由上一兩個方程可解得,天花板所受的拉力為,這表明原來系統(tǒng)對天花板的作用與圖3物體M′ 對天花板的作用等效，只要M′取值為,4,所以，系統(tǒng)的振動圓頻率為,系統(tǒng)的振動周期為,5,2.如圖2所示，物體的質(zhì)量為m，用彈簧懸掛吊于水平輕桿上

2、，桿的一端與光滑鉸鏈相連，另一端用彈簧懸掛，已知k1、k2、m及尺寸a、b，試求物體m的振動周期.,6,設當m處于平衡位置時，彈簧1、2的伸長量分別為?l10和?l20,則,對m有,對桿有,建立ox軸，如圖所示，當桿轉(zhuǎn)過一個微小的角θ時，,對m有,對桿有,由以上方程可得,7,,由(5)、(6)式可得,由(5)、(7)式消去θ可得,由這方程可知m的振動圓頻率為,故m的微振動周期為,8,3.如圖3所示，質(zhì)量為m的小球C由細繩AC和BC共同懸

3、掛，已知AC＝l，BC＝2l，∠ACO＝∠BCO＝30º,試求小球C在垂直紙面方向上的微振動周期.,9,方法1：以A為等效懸掛點,于是小球C在垂直屏幕面方向上的微小擺動的周期為,方法2：以AB線與CO線的交點O'為等效懸掛點,則等效擺長l'為CO'，根據(jù)幾何關系可求得,那么小球m的微振動周期為,把重力加速度 沿AC方向和AB方向分解，可得在AC方向的分量值為gcos30°.,10,4.半徑

4、為R的輕圓環(huán)上固定兩個質(zhì)量相同的小重物，在環(huán)上與兩個小重物距離相等的O處鉆一小孔，將這小孔穿過墻壁上的光滑小釘而把圓環(huán)掛起來，使圓環(huán)可以在豎直平面上作微振動，兩小重物的位置關系可以用它們之間的角距離2α表示，如圖4所示，試求圓環(huán)微振動的周期.,11,用能量法求周期,設每個重物的質(zhì)量為m，它作微振動時的最大角振幅為 ,如圖所示，那么它通過平衡位置時的最大速度 為,其中,故,于是擺的最大動能為,設擺的質(zhì)心C能上升的最大高度為h

5、Cm，則據(jù)機械能守恒定律有,12,在平衡位置時，質(zhì)心C據(jù)懸掛點O的距離為,因最大偏角為 ，故質(zhì)心上升的最大高度為,于是由 可得,解得,因為,所以,圓環(huán)微振動周期為,13,5.如圖5所示，在水平光滑桌面的中心有一個光滑小孔O，一條勁度系數(shù)為k的細彈性繩穿過小孔O，繩的一端系于小孔O正下方地面的A處，另一端系一質(zhì)量為 m的小物塊，彈性繩的自然長度等于OA，現(xiàn)將小物塊沿桌面拉至B點處，OB＝L，并給小物

6、塊一個與OB垂直的初速度v0沿桌面射出，試求：(1)小物塊繞O點轉(zhuǎn)過90°到達C點所需要的時間; (2)小物塊到達C點時的速度及CO的長度.,14,(1)據(jù)胡克定律，質(zhì)點在其運動軌跡上任一位置處所受彈力的大小為F＝kr,其中r為質(zhì)點所在位置與原點O的距離,也是彈性繩的伸長量.,由圖2得,可見，質(zhì)點在x方向和y方向都作簡諧振動.平衡位置都在原點，振動圓頻率都是,周期都是,15,質(zhì)點從起始位置B繞O點運動到C點

7、，對于x方向的簡諧振動來說，質(zhì)點是從最大位移的位置運動到平衡位置的，恰好經(jīng)歷了1/4T,所以,(2)在x方向上，質(zhì)點作簡諧振動，利用如圖3所示的參考圓，可確定其振幅和初相:,于是其在x方向的簡諧振動方程為,速度為,16,,可求得,利用公式 及初始條件,因質(zhì)點經(jīng)t=T/4時間到達C點，故在C點處，有,于是,17,6. 三根長為l＝2.00m的質(zhì)量均勻的直桿構成一個等邊三角形框架ABC，C點

8、懸掛在一光滑水平轉(zhuǎn)軸上，整個框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，桿AB是一導軌，一電動玩具松鼠可在導軌上運動，如圖6所示，現(xiàn)觀測到松鼠正在導軌上運動而框架卻靜止不動，試證明松鼠的運動應是一種什么樣的運動.,(96年13屆預賽題),18,得,那么，玩具松鼠也必然受到一個向右的大小等于F的力F'的作用.,19,由此可見，玩具松鼠的運動必然是簡諧振動.,其振動周期為,因玩具松鼠到達AB導軌兩端時應反向它的，所以其振幅不能大于1/2l,即,由以上論證可

9、知，玩具松鼠在導軌AB上的運動是以AB中點為平衡位置，振幅不大于1米，周期約為2.64s的簡諧振動.,20,7. A是某種材料制成的小球，B是某種材料制成的均勻剛性薄球殼，假設A與B的碰撞是完全彈性的，B與桌面的碰撞是完全非彈性的. 已知球殼質(zhì)量為m，內(nèi)半徑為r，放置在水平無彈性的桌面上，小球A的質(zhì)量也為m，通過一自然長度為r的柔軟彈性繩懸掛在球殼內(nèi)壁的最高處，且有kr=9mg/2，k為彈性繩的彈性系數(shù). 起初將小球A拉到球殼的最低點，

10、如圖7所示，然后輕輕釋放，試詳細地、定量地討論小球A以后的運動. (92年第9屆預賽題),21,設任一時刻，小球A偏離平衡位置，其坐標為x，那么它所受的回復力為,令 ，則小球的運動方程為,因為t=0時，,22,所以小球的振幅為,初相為,故小球運動方程為,運動速度為,加速度為,當 時，即小球A回到球心O處，由(1)式可得,23,所以,由(2)得此時小球的速度

11、為,由(3)得此時小球的加速度為,此后，小球向上運動，繩子不再拉緊小球，小球A作豎直上拋運動. 小球上升的最大高度不能超過r，故當小球A上升高度為r時，其速度大小為v，有,24,這表明小球A將與球殼相碰，由于兩者質(zhì)量相等，且碰撞為彈性碰撞，所以，A與B交換速度，B豎直上拋，而小球A則自由下落. B能上升的最大高度為,所用時間為,此后，B自由下落. 而當B 上升到最大高度時，小球A的下落高度為,由于,這表明此時繩子仍未拉緊.,25,令

12、 ，其中,由這三式可解得：,這表明經(jīng)歷時間t，繩子將被拉直，此時小球A回到球殼的球心O點，球殼B則經(jīng)歷一升一降，又回到原來位置，并與桌面作完全非彈性碰撞而靜止. 此時小球A的速度為,此后在繩子作用下又作簡諧振動. 其振動方程為,由初始條件： 可求得,26,故,于是,由于,所以小球A向下運動時不可能與球殼相碰，這是預料中的事

13、，因球殼B與桌面的碰撞是完全非彈性碰撞，能量有所損失. 故球殼B將一直靜止下去.,小球A的振動周期仍為,27,由圖2所示的參考圓可知，小球A從O點下落再回到O點需時間為,接著，小球A又做豎直上拋運動，上拋的初速度大小為,其上拋的最大高度為,到最高點時速度為零，故小球A只是與球殼輕輕接觸而不發(fā)生碰撞，然后又落回，球殼B則保持靜止. 小球A從上拋到回到O點需時間為,28,此后，球殼B一直保持靜止，而小球A則作簡諧振動→豎直上拋運動→簡諧振動

14、→豎直上拋運動→簡諧振動…這樣的周期性運動，其運動周期為,小球A與球殼B的運動情況可以用下圖來表示.,29,8. 如圖8所示，一只狼沿半徑為R的圓形島邊緣按逆時針方向勻速跑動，當狼經(jīng)過島邊緣某點時，一只獵犬以相同速率v從島中心O出發(fā)追趕狼，設在追趕過程中狼、獵犬、中心O三者始終在同一直線上，問獵犬應沿何種曲線追趕？它在何處可以追上狼？,30,例8 解：方法一（解析法）：,設犬在D點處的徑向速度和橫向速度分別為 和 .為保證任

15、何時候犬和狼都在同一直線上，則必須有,即,因v、ω都是恒量，,31,這表明在以ω轉(zhuǎn)動的參考系來看，在r方向上，犬做簡諧振動. 設其方程為,當 時， , ，速度沿r軸正方向，而且最大，為,在靜止參考系的固定坐標系o-xy中，在t時刻犬的坐標為,32,,由以上兩個方程消去t得犬的軌跡方程,這是一個圓心在（0，R/2），半徑為R/2的半圓. 這半圓與狼的軌跡圓的交點B就是犬可能追上狼的地方.,

16、犬沿這半圓從O點到達B點需時間為,狼沿圓從A點到達B點需時間為,因 ，這說明B點就是犬追上狼的地方.,33,方法二：猜想和證明法,開始時，犬在O點，狼在A點，犬的速度應該全是徑向速度，而無需橫向速度,速度方向應與軌跡相切，所以，犬的軌跡圓的圓心應在y軸上. 當犬在B點追上狼時，它們的速度方向應相同都與y軸垂直，犬的速度應該全是橫向速度. 此時犬的速度方向也應與其軌跡圓相切，故軌跡圓的圓心也應在y軸上，由此可知犬的軌跡圓

17、應是以OB為直徑的圓. 下面再證明這個圓滿足題目所給的條件.,34,設犬到達D點時狼到達C點，連接犬的軌跡圓的圓心O'和D點，因圓心角是對應的弦切角的兩倍，所以，∠DO'O=2θ.,則有犬在t時間內(nèi)通過的路程為,,又因狼的速率與犬的速率都是v，所以它們在相同的時間內(nèi)通過相同的路程，所以，應有,則表明C'與C點重合，實際上是同一個點.,也就表明任何時候，O點和犬、狼都在同一直線上. 滿足了題目所給的條件. 半圓O&

18、#39;確實是犬的軌跡.,35,9.到了晚上，地面輻射降溫使空氣層中產(chǎn)生溫度梯度，溫度隨高度遞增，這導致聲速v隨高度y變化，假定變化規(guī)律為 v=v0(1+a2y2) ，其中v0是地面（y＝0）處的聲速，a為比例常數(shù)，今遠方地面上某聲源發(fā)出一束聲波，發(fā)射方向與豎直方向成角，假定在波的傳播范圍內(nèi)ay<<1，試求該聲波在空間傳播的軌跡，并求地面上聽得最清楚的地點與聲源的距離.,36,例9 解：,本題要求的是聲波波線的軌跡，該波線與

19、地面的交點就是地面上聽得最清楚的地點.,據(jù)折射定律得,因此有,37,由于聲速沿y軸遞增，折射角也逐漸增大，也即各層的入射角逐漸增大，到某一層入射角超過了臨界角時，聲波就會發(fā)生全反射而折回地面.,由(1)、(2)式及題設條件可得：,38,由于中學未教積分，故采用下面方法來得到y(tǒng)與x的關系式.,因ay<<1,故可令 ，那么有,39,,于是有