四年級(jí)奧數(shù)-教師版-第六講幻方與數(shù)陣圖

1、指南針小升初0第六講第六講幻方與數(shù)陣圖幻方與數(shù)陣圖知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)導(dǎo)航三階幻方的性質(zhì)：1.中心位置上的數(shù)等于幻和除以3；2.角上得數(shù)等于和它不相鄰的兩條邊上的數(shù)的平均數(shù)；3.中心數(shù)兩頭的數(shù)等于中心數(shù)的2倍。例1：我們先來(lái)一起解決三道難度相差很大的題目，目的在于總結(jié)出三階幻方的若干重要性質(zhì)。如下圖，將1—9填入33的方格表中，使得每行每列以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都相等，你一共可以得到多少種填法？解析：解析：首先，我們思考要填出一個(gè)三階幻

2、方，什么量的求出是最重要的？立刻我們就知道，那個(gè)所謂的“幻和”，即每行、每列、每條對(duì)角線三個(gè)數(shù)的和是最重要的量。它是多少呢？哦，如果我們按照行（按照列也一樣）把幻方中的九個(gè)數(shù)加起來(lái)，那么它們的總和不就是3倍的“幻和”嗎？而另一方面，我們也知道，由于1到9這九個(gè)數(shù)字都只各用了一次，所以3倍的的“幻和”就等于123456789=45（請(qǐng)復(fù)習(xí)學(xué)過(guò)的等差數(shù)列知識(shí)）。于是最后，我們終于得到這個(gè)至關(guān)重要的“幻和”就是453=15。接下來(lái)第二步，我們

3、來(lái)關(guān)心一下中間一格應(yīng)該填哪個(gè)數(shù)字。同學(xué)們可能會(huì)說(shuō)，中間一定填5，因?yàn)?到9的中間數(shù)字就是5，而幻方又是上下左右對(duì)稱的。沒錯(cuò)，同學(xué)們有這樣的數(shù)學(xué)直觀很好，但是為了確定我們的判斷，還是需要嚴(yán)格地說(shuō)明一下。ABCDEFGHI看上面的表格，由于我們還沒有填入任何一個(gè)數(shù)字，所以就用了九個(gè)大寫字母來(lái)表示。下面就需要技巧了，我們現(xiàn)在只考慮包含E的四條直線：因?yàn)锳EI=15BEH=15CEG=15DEF=15所以如果我們把這四個(gè)式子的左右兩邊分別相加，

4、就可以得到（ABCDEFGHI）3E=60第1題指南針小升初2例2：下圖是一個(gè)三階幻方，請(qǐng)說(shuō)明幻和等于3倍的E且DF=2E。解析：解析：有了第1題的基礎(chǔ)，大家應(yīng)該對(duì)本題感到不是那么陌生了，只要把第1題的一部分解題過(guò)程搬過(guò)來(lái)就行。這道題也是讓大家看一看如何把一個(gè)特殊的解題過(guò)程變成一條普遍的規(guī)律或性質(zhì)。解：解：首先把題目中的空白格子標(biāo)上不同的字母，以便表述。ABCDEFGHI首先，只考慮包含E的四條直線，得到AEI=“幻和”，BEH=“幻和

5、”，CEG=“幻和”，DEF=“幻和”。然后，把這四個(gè)式子的左右兩邊分別相加，得到（ABCDEFGHI）3E=4倍的“幻和”而另一方面，如果我們只考慮幻方的三行，則有ABC=DEF=GHI=“幻和”，因此ABCDEFGHI=3倍的“幻和”。所以，3E=“幻和”，而“幻和”=DEF，于是DF=2E?？偨Y(jié)：總結(jié)：同樣的分析辦法，還可以得到AI=BH=CG=DF=2E(請(qǐng)大家自己說(shuō)明)。本題回答了例1評(píng)議中提出的兩個(gè)問(wèn)題，從而我們得到三階幻方