均值不等式?？碱}型

1、均值不等式及其應用均值不等式及其應用一均值不等式一均值不等式1.（1）若，則(2)若，則（當且僅當時取Rba?abba222??Rba?222baab??ba?“=”）2.(1)若，則(2)若，則（當且僅當時取“=”）Rba?abba??2Rba?abba2??ba?(3)若，則(當且僅當時取“=”）Rba?22????????baabba?3.若，則(當且僅當時取“=”）若，則(當且僅當時取0x?12xx??1x?0x?12xx???

2、1x??“=”）若，則(當且僅當時取“=”）0x?111222xxxxxx??????即或ba?3.若，則(當且僅當時取“=”）0?ab2??abbaba?若，則(當且僅當時取“=”）0ab?222abababbababa??????即或ba?4.若，則（當且僅當時取“=”）Rba?2)2(222baba???ba?注：（1）當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最

3、小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三相等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用應用一：求最值應用一：求最值例1：求下列函數(shù)的值域（1）y＝3x2＋（2）y＝x＋12x21x解：（1）y＝3x2＋≥2＝∴值域為[，∞）12x266（2）當x＞0時，y＝x＋≥2＝2；1x當x＜0時，y＝x＋=－（－x－）≤－2=－21x1x∴值域為（－∞，－2]∪[2，∞）解題技巧：解題

4、技巧：技巧一：湊項技巧一：湊項例1：已知，求函數(shù)的最大值。54x?14245yxx????解：因，所以首先要“調整”符號，又不是常數(shù)，所以對要進行拆、湊450x??1(42)45xx??A42x?項，，55404xx?????11425434554yxxxx?????????????????231????解：令，則24(2)xtt???2254xyx???22114(2)4xtttx???????因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單

5、調性。101ttt???1tt?1t????2??因為在區(qū)間單調遞增，所以在其子區(qū)間為單調遞增函數(shù)，故。1ytt????1????2??52y?所以，所求函數(shù)的值域為。52????????練習求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x的值.（1）（2）(3)231(0)xxyxx????1233yxxx????12sin(0)sinyxxx????2已知，求函數(shù)的最大值.；3，求函數(shù)的最大值.01x??(1)yxx??203x??(23)

6、yxx??條件求最值條件求最值1.若實數(shù)滿足，則的最小值是.2??baba33?分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值，ba33?解：都是正數(shù)，≥ba33和ba33?632332????baba當時等號成立，由及得即當時，的最小值是ba33?2??baba33?1??ba1??baba33?6變式：若，求的最小值.并求xy的值44loglog2xy??11xy?技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最

7、值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。。2：已知，且，求的最小值。00xy??191xy??xy?錯解錯解：，且，故?00xy??191xy?????1992212xyxyxyxyxy??????????????min12xy??。錯因：解法中兩次連用均值不等式，在等號成立條件是，在等號成立2xyxy??xy?1992xyxy??條件是即取等