2018北京大學(xué)“中學(xué)生數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”夏令營(yíng)初賽試題 含答案

1、北京大學(xué)北京大學(xué)“中學(xué)生數(shù)學(xué)獎(jiǎng)中學(xué)生數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”夏令營(yíng)初賽夏令營(yíng)初賽試題試題20182018年6月2323日本試卷共本試卷共4題，每題題，每題3030分，滿分分，滿分120120分.考試時(shí)間考試時(shí)間180180分鐘分鐘.1.已知、、為整數(shù)，且對(duì)任意正整數(shù)、，存在整數(shù)滿足如下關(guān)系：abcmnx??2mod.axbxcmn???求所有滿足要求的三元整數(shù)組.??abc2.已知實(shí)數(shù)兩兩不同，存在滿足（，并規(guī)定122018aaa?t11iiata??

2、?122018i??）.求實(shí)數(shù)的可能取值的個(gè)數(shù).20191aa?t3.給定正整數(shù)、.有一個(gè)密碼鎖，它有個(gè)按鈕，編號(hào)分別為.打開該鎖的密碼是長(zhǎng)nkn1n:度為的按鈕序列.當(dāng)且僅當(dāng)連續(xù)正確的按動(dòng)這個(gè)按鈕時(shí)，密碼鎖會(huì)被打開.（例如，kk3n?，密碼為時(shí)，依次按動(dòng)后可以打開該鎖，按動(dòng)后也可以打開2k?13123211322313該鎖.）要保證把這個(gè)密碼鎖打開，至少需要按動(dòng)多少次按鈕？4.如圖，中.點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的旁切圓圓分別與直線、、相切于ABC?A

3、BAC?AJBCCAAB點(diǎn)、、.點(diǎn)是線段的中點(diǎn).點(diǎn)在線段上，且滿足.求證：DEFMBCSJMASDSAE??.MSBDCDSJJD??兩式相除得，有，11iiiiaaaa?????????????2111111iiiiaaaaaa??????????????????????????從而，，40362019120191aaaa???????????40361??由對(duì)稱性，不妨設(shè)，，其中.2018kie?????40362018kie???

4、?12018k??另一方面，當(dāng)時(shí)，由知，，12018ij???ijaa?jijiaaaa?????????而.所以當(dāng)時(shí)，，??21jjtjtaaaa????????????12018t??21t??即，即對(duì)任意，都不是的倍數(shù)，2220181tkite????12018t??tk2018即，又因?yàn)椋??20181k?201821009??所以這樣的有個(gè)，所以有k11201811100821009?????????????????2cos2

5、018kt??????個(gè)取值.10083.最少需要按次.1knk??不同的密碼共有個(gè)，要保證打開密碼鎖，必須全部試過一遍.從第次按鍵開始，每次按knk動(dòng)按鈕都可以視為一個(gè)長(zhǎng)為的序列末位，故至少需要次.k1knk??下面給出按動(dòng)次可以滿足要求的存在性證明.1knk??當(dāng)時(shí)結(jié)論顯然成立，故下設(shè).1k?2k?構(gòu)造圖，共有個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)為一個(gè)長(zhǎng)為的序列.G1kn?1k?對(duì)頂點(diǎn)，，若點(diǎn)所對(duì)應(yīng)序列的后位與點(diǎn)所對(duì)應(yīng)序列的前位相同，則在ABA2k