數(shù)學(xué)分析習(xí)題答案第二章

1、第二章第二章數(shù)列極限數(shù)列極限P.27P.27習(xí)題習(xí)題2按N??定義證明：（1）11lim????nnn證明證明因為nnnn11111?????，所以0???，取?1?N，Nn??，必有?????nnn111.故11lim????nnn（2）23123lim22?????nnnn證明證明因為nnnnnnnnnnnnn32525)1(232)12(23223123222222?????????????)1(?n，于是0???，取31max?

2、?N，Nn??，有??????nnnn32312322.所以23123lim22?????nnnn（3）0!lim???nnnn證明證明因為nnnnnnnnnnnnnnnn11211)1(!0!????????????????，于是0???，取?1?N，Nn??，必有????nnnn10!.所以0!lim???nnnn（4）0sinlim???nn?證明證明因為nnn??????sin0sin，于是0???，取???N，Nn??，必有?

3、?????nn0sin.所以0sinlim???nn?（5）)1(0lim????aannn證明證明因為1?a，設(shè))0(1???hha，于是222)1(2)1(1)1(hnnhhnnnhhannn???????????，從而22)1(22)1(0hnhnnnanannn??????，所以0???，取122??hN?，Nn??，有?????2)1(20hnann.故0lim???nnan3根據(jù)例2，例4和例5的結(jié)果求出下列極限，并指出哪些

4、是無窮小數(shù)列：)11()(0???aaaU?之外，故數(shù)列)1(nn?不以任何數(shù)a為極限，即數(shù)列)1(nn?發(fā)散.6證明定理2.1，并應(yīng)用它證明數(shù)列????????nn)1(1的極限是1.定理2.1數(shù)列na收斂于a充要條件是：aan?為無窮小數(shù)列.（即aann???lim的充要條件是0)(lim????aann）證明證明（必要性）設(shè)aann???lim，由數(shù)列極限的定義，00????N?Nn??，有??????|0)(|||aaaann，

5、所以0)(lim????aann.（充分性）設(shè)0)(lim????aann，由數(shù)列極限的定義，00????N?Nn??，有??????|||0)(|aaaann，所以aann???lim.下面證明：數(shù)列下面證明：數(shù)列????????nn)1(1的極限是的極限是1.因為?????????????????nnnn)1(1)1(1是無窮小數(shù)列，所以數(shù)列????????nn)1(1的極限是1.7證明：若aann???lim，則||||limaa

6、nn???.當(dāng)且僅當(dāng)a為何值時反之也成立？證明證明設(shè)aann???lim，由數(shù)列極限的定義，00????N?Nn??，?????||||||aaaann，所以也有||||limaann???.但此結(jié)論反之不一定成立，例如數(shù)列)1(n?.當(dāng)且僅當(dāng)a=0時反之也成立.設(shè)0||lim???nna，于是00????N?Nn??，???||||nnaa，所以aann???lim.8按N??定義證明：（1）0)1(lim?????nnn；（2）03

7、21lim3???????nnn?（3）1lim???nna，其中??????????為奇數(shù)為偶數(shù)nnnnnnnan21證明證明（1）因為nnnnn111|1|??????.于是0???，取21??N，Nn??，必有?????nnn1|1|，從而0)1(lim?????nnn.（2）因為nnnnnnnnnnn12212)1(3212233????????????，于是0???，取?1?N，Nn??，必有????????nnn103213