點(diǎn)差法習(xí)題有答案

1、點(diǎn)差法習(xí)題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題是高考常見的題型，在選擇題、填空題和解答題中都是命題的熱點(diǎn)。它的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。若已知直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”，它的一般結(jié)論叫做點(diǎn)差法公式。使用說明及學(xué)

2、法指導(dǎo)】1、通過證明定理，熟悉“點(diǎn)差法”的運(yùn)用；2、記住點(diǎn)差法推導(dǎo)出的公式，并熟練應(yīng)用；若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為、，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得)(11yxA)(22yxB兩式作差，得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差A(yù)B法”。一、自主證明1、定理在橢圓12222??byax（a＞b＞0）中，若直線l與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn))(00yxP是弦MN的中點(diǎn)，弦MN

3、所在的直線l的斜率為MNk，則2200abxykMN???.同理可證，在橢圓12222??aybx（a＞b＞0）中，若直線l與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn))(00yxP是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線l的斜率為MNk，則2200baxykMN???.2、定理在雙曲線12222??byax（a＞0，b＞0）中，若直線l與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn))(00yxP是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線l的斜率為MNk，則2200abxykMN??.同理

4、可證，在雙曲線12222??bxay（a＞0，b＞0）中，若直線l與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn))(00yxP是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線l的斜率為MNk，則2200baxykMN??.3、定理在拋物線)0(22??mmxy中，若直線l與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn))(00yxP是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線l的斜率為MNk，則mykMN??0.答案例1.解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為、)(11yxA)(22yxB為的中點(diǎn)?)12(MAB?

5、421??xx221??yy又、兩點(diǎn)在橢圓上，則，?AB1642121??yx1642222??yx兩式相減得0)(4)(22212221????yyxx于是0))((4))((21212121??????yyyyxxxx?21244)(421212121???????????yyxxxxyy即，故所求直線的方程為，即。21??ABk)2(211????xy042???yx例2.解：設(shè)存在被點(diǎn)平分的弦，且、MAB)(11yxA)(22y

6、xB則，221??xx221??yy，122121??yx122222??yx兩式相減，得0))((21))((21212121??????yyyyxxxx?22121????xxyykAB故直線)1(21:???xyAB由消去，得??????????12)1(2122yxxyy03422???xx?08324)4(2?????????這說明直線與雙曲線不相交，故被點(diǎn)平分的弦不存在，即不存在這樣的直線。ABMl評(píng)述：本題如果忽視對(duì)判別式

7、的考察，將得出錯(cuò)誤的結(jié)果，請(qǐng)務(wù)必小心。由此題可看到中點(diǎn)弦問題中判斷點(diǎn)的位置非常重要。（1）若中點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)，則被點(diǎn)平分的弦一般存在；（2）若中點(diǎn)在圓錐曲線外，則MMMM被點(diǎn)平分的弦可能不存在。M例3.解：設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則)(11yxP)(22yxQPQ)(00yxM210?x，12021???xxx0212yyy??又，125752121??xy125752222??xy兩式相減得0))((75))((2521212121??

8、????xxxxyyyy即0)(3)(221210????xxyyy?0212123yxxyy????，即?32121????xxyyk?3230??y210??y點(diǎn)的坐標(biāo)為。?M)2121(?例4.解：設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則)(11yxP)(22yxQPQ)(yxM，xxx221??yyy221??又，125752121??xy125752222??xy兩式相減得0))((75))((2521212121??????xxxxyyyy