點(diǎn)差法求橢圓中點(diǎn)弦

1、用點(diǎn)差法解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題用點(diǎn)差法解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題與圓錐曲線的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，我們稱之為圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題。解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為、，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲)(11yxA)(22yxB線的方程并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。AB我

2、們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”。本文用這種方法作一些解題的探索。一、以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程例1、過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方141622??yx)12(MM程。解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為、)(11yxA)(22yxB為的中點(diǎn)?)12(MAB?421??xx221??yy又、兩點(diǎn)在橢圓上，則，?AB1642121??yx1642222??yx兩式相減得0)(4)(22212221????yyxx于是0

3、))((4))((21212121??????yyyyxxxx?21244)(421212121???????????yyxxxxyy即，故所求直線的方程為，即。21??ABk)2(211????xy042???yx例2、已知雙曲線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點(diǎn)1222??yx)11(MllAB是線段的中點(diǎn)。若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說(shuō)明理由。MABl策略：這是一道探索性習(xí)題，一般方法是假設(shè)存在這樣的直線

4、，然后驗(yàn)證它是否滿足題設(shè)的條件。本題屬于中點(diǎn)弦問(wèn)題，應(yīng)考慮點(diǎn)差法或韋達(dá)定理。解：設(shè)存在被點(diǎn)平分的弦，且、MAB)(11yxA)(22yxB則，221??xx221??yy，122121??yx122222??yx兩式相減，得0))((21))((21212121??????yyyyxxxx?22121????xxyykAB故直線)1(21:???xyAB由消去，得??????????12)1(2122yxxyy03422???xx?08

5、324)4(2?????????這說(shuō)明直線與雙曲線不相交，故被點(diǎn)平分的弦不存在，即不存在這樣的直線。ABMl評(píng)述：本題如果忽視對(duì)判別式的考察，將得出錯(cuò)誤的結(jié)果，請(qǐng)務(wù)必小心。由此題可看到中點(diǎn)弦問(wèn)題中判斷點(diǎn)的位置非常重要。（1）若中點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)，則被點(diǎn)平分的弦一般存在；MMM（2），，210?x212300????xy?12021???xxx12021????yyy又，1221221??bxay1222222??bxay兩式相減得0))(

6、())((2121221212??????xxxxayyyyb即0)()(212212?????xxayyb┅┅②?222121baxxyy????322?ba聯(lián)立①②解得，752?a252?b所求橢圓的方程是?1257522??xy四、圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱問(wèn)題例6、已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對(duì)于直線，橢圓上總有不同13422??yxmmxy??4的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱。解：設(shè)，為橢圓上關(guān)于直線的對(duì)稱兩點(diǎn)，為弦的中)(111

7、yxP)(222yxPmxy??4)(yxP21PP點(diǎn)，則，12432121??yx12432222??yx兩式相減得，0)(4)(322212221????yyxx即0))((4))((321212121??????yyyyxxxx，，?xxx221??yyy221??412121????xxyy這就是弦中點(diǎn)軌跡方程。?xy3?21PPP它與直線的交點(diǎn)必須在橢圓內(nèi)mxy??4聯(lián)立，得則必須滿足，??????mxyxy43???????