[學(xué)習(xí)]橢圓型方程的有限差分法

1、第四章橢圓型方程的有限差分法§1 差分逼近的基本概念§2 一維差分格式§3 矩形網(wǎng)的差分格式§4 三角網(wǎng)的差分格式§5 極值原理,第四章橢圓型方程的有限差分法,,,§1差分逼近的基本概念,區(qū)間的剖分,1 區(qū)間的剖分,,1 微分方程離散(差分方程）,1 微分方程離散(差分方程）,,,,定義1.1,定義1.2,定義1.3,定理1.1（相容+穩(wěn)定=收斂）,

2、§2 一維差分格式,,2.1直接差分化,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a,b,圖1,,,2.2 積分插值法,,,,2.3 變分-差分法,數(shù)值計算中，我們學(xué)習(xí)過Lagrange插值多項式公式：,Lagrange插值多項式 先從最簡單的線性插值(n=1)開始。這時插值問題就是求一次多項式P1(x)=a0+a1x 使它滿足條件P1(x0)=y0 , P1(x1)=y1 ,令P1(x)=

3、l0(x)y0+l1(x)y1 ,由于l0(x0)=1, l0(x1)=0,l0(x0)=0, l1(x1)=1. 這樣l0(x)含有因子x-x1, 令 l0(x)=λ(x-x1), 再利用 l0(x0)=1確定其中的系數(shù)，結(jié)果得到x-x1 l0(x)=------------ ,x0-x

4、1類似的可得到 x-x0 l1(x)=------------ , x1-x0這樣x-x1 x-x0P1(x)=---------y0 + --------y1 , x0-x1 x1-x0 l0(x), l1(x)稱為以x0 , x1 為節(jié)點

5、的插值基函數(shù)。,,,2.4 邊值條件的處理,,§3 矩形網(wǎng)的差分格式,3.1 五點差分格式,,,,,,,(i,j),(I,j-1),(i,j+1),(i+1,j),(i-1,j),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,B,C,D,3.2 邊值條件的處理,3.3 極坐標(biāo)形式的差分格式,§3 三角網(wǎng)的差分格式,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例子1,2,例子3,§3 極值定理,5.2 極值定

6、理,１. 差分方程、相容條件、穩(wěn)定性、LAX等價定理、先驗估計、極值定理等概念；,２.構(gòu)造差分方程方法(直接差分化、積分插值法和變分-差分法)，矩形網(wǎng)和三角網(wǎng)的差分格式，邊界條件的處理。 （重點）,３.如何將偏微分方程構(gòu)造成相應(yīng)的差分方程、對該格式的斂速估計．（難點）,主要內(nèi)容,重點：,LAX等價定理，構(gòu)造矩形網(wǎng)和三角網(wǎng)的各種差分格式。,難點：,如何將偏微分方程構(gòu)造成相應(yīng)的差分方程、對該格式的斂速估計。,重點難點,