橢圓型方程及其障礙問(wèn)題解的性質(zhì).pdf

1、在二階擬線性橢圓型偏微分方程的研究中,有關(guān)方程解的適定性是非常重要的。它們?cè)诹黧w力學(xué)和工程學(xué)中都有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。而其中的A-調(diào)和方程,在擬正則映射、彈性力學(xué)和物理學(xué)中都有諸多的應(yīng)用。因此對(duì)這類方程解的適定性的研究有著非常重要的意義。
　　 方程解的適定性即解的存在性、唯一性以及穩(wěn)定性。目前,關(guān)于二階擬線性橢圓型方程的弱解、很弱解在不同空間、不同限制條件下的存在性和唯一性已經(jīng)有了非常廣泛的研究。而對(duì)方程解的穩(wěn)定性即解的連續(xù)依賴性

2、的研究需要建立在存在性與唯一性的基礎(chǔ)上。方程解的正則性即研究解的光滑性,它包括古典解、弱解以及很弱解的正則性等。
　　 本文在已有結(jié)論的基礎(chǔ)上,研究了一類擬線性橢圓型方程弱解關(guān)于p-指標(biāo)的穩(wěn)定性、一類非齊次橢圓型方程障礙問(wèn)題的很弱解的局部正則性和整體正則性。其中關(guān)于p-指標(biāo)的穩(wěn)定性,在方程弱解梯度的一致估計(jì)的基礎(chǔ)上,利用一致p-厚的邊界Sobolev不等式,H(o)lder不等式和Young不等式,得到了擬線性方程弱解關(guān)于p-指

3、標(biāo)的穩(wěn)定性。關(guān)于方程障礙問(wèn)題的很弱解的局部正則性,在B(x,u.Du)中u和Du的較弱控制增長(zhǎng)條件下,對(duì)同一積分項(xiàng)使用兩次H(o)lder和Young不等式,得到了非齊次橢圓方程-divA(x,u,Du)=B(x,u,Du)障礙問(wèn)題很弱解的局部正則性結(jié)果。關(guān)于該方程障礙問(wèn)題的很弱解的整體正則性,在邊界(e)Ω為r-Poincaré厚條件下,我們使用了與局部正則性中類似的技巧,在處理邊界時(shí)使用了邊界Poincaré不等式和Minkowsk