橢圓型方程及其障礙問題解的性質(zhì).pdf

1、在二階擬線性橢圓型偏微分方程的研究中,有關(guān)方程解的適定性是非常重要的。它們在流體力學(xué)和工程學(xué)中都有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。而其中的A-調(diào)和方程,在擬正則映射、彈性力學(xué)和物理學(xué)中都有諸多的應(yīng)用。因此對這類方程解的適定性的研究有著非常重要的意義。
　　 方程解的適定性即解的存在性、唯一性以及穩(wěn)定性。目前,關(guān)于二階擬線性橢圓型方程的弱解、很弱解在不同空間、不同限制條件下的存在性和唯一性已經(jīng)有了非常廣泛的研究。而對方程解的穩(wěn)定性即解的連續(xù)依賴性

2、的研究需要建立在存在性與唯一性的基礎(chǔ)上。方程解的正則性即研究解的光滑性,它包括古典解、弱解以及很弱解的正則性等。
　　 本文在已有結(jié)論的基礎(chǔ)上,研究了一類擬線性橢圓型方程弱解關(guān)于p-指標(biāo)的穩(wěn)定性、一類非齊次橢圓型方程障礙問題的很弱解的局部正則性和整體正則性。其中關(guān)于p-指標(biāo)的穩(wěn)定性,在方程弱解梯度的一致估計的基礎(chǔ)上,利用一致p-厚的邊界Sobolev不等式,H(o)lder不等式和Young不等式,得到了擬線性方程弱解關(guān)于p-指

3、標(biāo)的穩(wěn)定性。關(guān)于方程障礙問題的很弱解的局部正則性,在B(x,u.Du)中u和Du的較弱控制增長條件下,對同一積分項使用兩次H(o)lder和Young不等式,得到了非齊次橢圓方程-divA(x,u,Du)=B(x,u,Du)障礙問題很弱解的局部正則性結(jié)果。關(guān)于該方程障礙問題的很弱解的整體正則性,在邊界(e)Ω為r-Poincaré厚條件下,我們使用了與局部正則性中類似的技巧,在處理邊界時使用了邊界Poincaré不等式和Minkowsk